Якщо всі квантові ворота повинні бути єдиними, що з вимірюванням?

Всі квантові операції повинні бути єдиними, щоб дозволити оборотність, а як щодо вимірювання? Вимірювання може бути представлене як матриця, і ця матриця застосовується до кубітів, так що це здається еквівалентним функціонуванню квантового затвора. Це остаточно не оборотно. Чи існують ситуації, коли можуть бути дозволені не унітарні ворота?

Унітарні операції - це лише окремий випадок квантових операцій , що представляють собою лінійні, повністю позитивні карти ("канали"), які відображають оператори щільності на оператори щільності. Це стає очевидним у Kraus-представленні каналу де так звані оператори Kraus виконують ( позначення ). Часто враховують лише квантові операції, що зберігають сліди, для яких існує рівність у попередній нерівності. Якщо додатково є лише один оператор Крауса (так ), то ми бачимо, що квантова операція є єдиною.

Однак квантові ворота є унітарними, тому що вони реалізуються через дію Гамільтоняна протягом певного часу, що дає унітарну еволюцію часу згідно рівняння Шредінгера.

Коротка відповідь

Квантові операції не повинні бути єдиними. Насправді багато квантових алгоритмів і протоколів використовують не унітаріальність.

Довга відповідь

Вимірювання, мабуть, є найбільш очевидним прикладом не унітарних переходів, що є основним компонентом алгоритмів (в тому сенсі, що "вимірювання" еквівалентне вибірці з розподілу ймовірностей, отриманого після операції декогеренції ).$\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$

Більш загально, будь-який квантовий алгоритм, що включає ймовірнісні кроки, вимагає не унітарних операцій. Примітним прикладом, який спадає на думку, є алгоритм HHL09 для вирішення лінійних систем рівнянь (див. 0811.3171 ). Вирішальним кроком цього алгоритму є відображення , де є власними векторами деякого оператора. Таке відображення обов'язково є імовірнісним і, отже, не унітарним.| λ J$|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$$|\lambda_j\rangle$

Будь-який алгоритм або протокол, що використовує (класичний) подача подачі, також використовує не унітарні операції. Це цілий протокол квантових обчислень в одну сторону (які, як випливає з назви, вимагають незворотних операцій).

Найбільш помітні схеми оптичного квантового обчислення з одинарними фотонами також вимагають вимірювань, а іноді і після виділення, щоб заплутати стани різних фотонів. Наприклад, протокол KLM створює ймовірнісні ворота, які, принаймні, частково незворотні. Приємний огляд на цю тему - Quant-ph / 0512071 .

Менш інтуїтивні приклади подаються методом квантової інженерії, спричиненої дисипацією (наприклад, 1402.0529 або srep10656 ). У цих протоколах використовується дисипативна динаміка відкритої карти та інженер взаємодії держави з навколишнім середовищем таким чином, щоб довговічний стаціонарний стан системи був бажаним.

Загрожуючи вийти з теми з квантових обчислень та фізики, я відповім, що, на мою думку, є відповідним підпитом цієї теми, і використаю це для інформування про обговорення унітарних воріт у квантових обчисленнях.

Тут питання: Чому ми хочемо єдиномірності у квантових воротах?

Менш конкретна відповідь, як зазначено вище, дає нам "оборотність", або, як фізики часто говорять про це, тип симетрії для системи. Я беру курс квантової механіки прямо зараз, і то , як унітарні ворота спливли в цьому курсі був продиктований бажанням мати фізичні перетворення U : цей акт як симетрії. Це накладені дві умови на перетворення U :$\hat{U}$$\hat{U}$

1. Перетворення повинні діяти лінійно на стан (саме це дає нам матричне подання).
2. Перетворення повинні зберігати ймовірність, точніше внутрішній продукт . Це означає, що якщо ми визначимо:

Збереження національних засобів продукту, . З цієї другої специфікації можна одержати унітарність (детальну інформацію див. В примітках доктора Ван Рамсдонка тут ).$\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$

Отже, це відповідає на питання, чому операції, які зберігають речі "оборотні", повинні бути єдиними.

Питання, чому саме вимірювання не є унітарним, більше пов'язане з квантовими обчисленнями. Вимірювання - це проекція на базу; по суті, він повинен "відповідати" одним або декількома базовими станами як сама держава. Він також залишає стан таким чином, що відповідає "відповіді" на вимірювання, а не відповідає основним імовірностям, з яких починався стан. Отже операція задовольняє специфікації 1. нашого перетворення , але остаточно не відповідає специфікації 2. Не всі матриці створюються рівними!$U$

Щоб повернути речі до квантових обчислень, те, що вимірювання є руйнівними та проективними (тобто ми можемо реконструювати суперпозицію лише за допомогою повторних вимірювань однакових станів, і кожне вимірювання дає лише відповідь 0/1), є частиною того, що робить розмежування між квантовими обчисленнями та звичайними обчислювачами є найтоншими (і тим, чому важко це визначити). Можна припустити, що квантові обчислення є більш потужними завдяки простому розміру простору Гільберта, з усіма цими державними суперпозиціями. Але наша здатність добувати цю інформацію сильно обмежена.

Наскільки я це розумію, це показує, що для цілей зберігання інформації кубіт є настільки ж хорошим, як звичайний біт, і не краще. Але ми можемо бути розумними в квантових обчисленнях з тим, як торгується інформацією навколо, внаслідок основної лінійно-алгебраїчної структури.

Тут є декілька помилок, більшість з яких походить від впливу лише чистого стану формалізму квантової механіки, тому давайте вирішимо їх по черзі:

1. Всі квантові операції повинні бути єдиними, щоб дозволити оборотність, а як щодо вимірювання?

Це помилково. Загалом, стани квантової системи - це не просто вектори в просторі Гільберта а матриці щільності - одиничні сліди, позитивні семидефінітні оператори, що діють на простір Гільберта H, тобто, ρ : H → H , T r ( ρ ) = 1 , і ρ ≥ 0 (Зауважимо, що вектори чистого стану - це не вектори в просторі Гільберта, а промені у складному проекційному просторі ; для кубіта це означає, що простір Гільберта становить C P 1, а не C$\mathcal{H}$ $-$$\mathcal{H}$$\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$$Tr(\rho) = 1$$\rho \geq 0$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}^2$). Матриці щільності використовуються для опису статистичного ансамблю квантових станів.

Матриця щільності називається чистою, якщо і змішана, якщо ρ 2 < ρ . Після того, як ми маємо справу з чистою матрицею щільності стану (тобто немає статистичної невизначеності), оскільки ρ 2 = ρ , матриця щільності насправді є оператором проекції, і можна знайти | г | ⟩ ∈ H така , що ρ = | г | ⟩ ⟨ г | | .$\rho^2 = \rho$$\rho^2 < \rho$$\rho^2 = \rho$$|\psi\rangle \in \mathcal{H}$$\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$

Найбільш загальною квантовою операцією є CP-карта (повністю позитивна карта), тобто така, що Φ ( ρ ) = ∑ i K i ρ K † i ; ∑ i K † i K i ≤ I (якщо ∑ i K † i K i = I, то вони називаються CPTP (повністю позитивною і зберігає слід ) картою або$\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$

Тепер, приходячи до твердження ОП про те, що всі квантові операції є єдиними для забезпечення оборотності - це просто не відповідає дійсності. Унітарність оператора еволюції часу ( ) в квантовій механіці (для квантової еволюції закритої системи) є просто наслідком рівняння Шредінгера.$e^{-iHt/\hbar}$

Однак, коли ми розглядаємо матриці щільності, найбільш загальною еволюцією є CP-карта (або CPTP для закритої системи для збереження сліду і, отже, ймовірності).

2. Чи є ситуації, коли можуть бути дозволені не унітарні ворота?

Так. Важливим прикладом, який спадає на думку, є відкриті квантові системи, де оператори Крауса (які не є унітарними) - це «ворота», за допомогою яких розвивається система.

$\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$$i$$K^\dagger K = \mathbb{I}$$K$$\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$

До кінцевого пункту:

3. Вимірювання може бути представлене як матриця, і ця матриця застосовується до кубітів, так що це здається еквівалентним функціонуванню квантового затвора. Це остаточно не оборотно.

$-$$-$$|\phi\rangle \langle\phi|$$|\psi\rangle$$|\langle\phi|\psi\rangle|^2$$|\phi\rangle$

$\{M_{i}\}$$\mathcal{H}$$\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$

$\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$$M_i$$\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$$p_i$

Редагування 1: Вас також може зацікавити теорема розширення Stinespring, яка дає вам ізоморфізм між CPTP-карткою та унітарною операцією на великому просторі Гільберта з подальшим частковим відстеженням (тензоване) простору Гільберта (див. 1 , 2 ).

Я додам невеличку частину, доповнивши інші відповіді, саме про ідею вимірювання.

Вимірювання зазвичай приймається як постулат квантової механіки. Зазвичай існують деякі попередні постулати про простори Гільберта, але слідуючи цьому

• $A$$\hat{A}$$\mathcal{H}$
• $A$$\psi$$a_n$ $$\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|},$$ $\hat{P}_n$$a_n$

$\hat{P}^\dagger=\hat{P}$$\hat{P}^2=\hat{P}$$1$$0$$\hat{P}_n$$1,0$$a_n$$|\psi\rangle$

Вимірювання теж є одиничними операціями, ви просто не бачите їх: вимірювання еквівалентне деякій складній (квантовій) операції, яка діє не тільки на систему, але і на її оточення. Якби можна було моделювати все як квантову систему (включаючи навколишнє середовище), все б проводили унітарні операції.

Однак зазвичай це мало сенсу, тому що ми зазвичай не знаємо точної дії на навколишнє середовище і зазвичай не байдуже. Якщо ми розглянемо лише систему, то результатом є добре відомий колапс хвильової функції, що справді є неодиничною операцією.

Квантові стани можуть змінюватися двома способами: 1. квантово , 2. класично .

1. Всі зміни держави, які відбуваються в кількісному відношенні , є унітарними. Всі квантові ворота, квантові помилки тощо - це квантові зміни .

2. Там немає ніяких зобов'язань по класичним змін унітарною, наприклад , вимір являє собою класичне зміни .

Тим більше, чому кажуть, що квантовий стан "порушується", коли його вимірюють.