Чи є пояснення мирян, чому алгоритм Гровера працює?

Цей поштовий журнал від Скотта Аронсона є дуже корисним та простим поясненням алгоритму Шор .

Мені цікаво, чи існує таке пояснення для другого найвідомішого квантового алгоритму: алгоритму Гровера для пошуку не упорядкованої бази даних розміром за час .O ( $O(n)$$O(\sqrt{n})$

Зокрема, я хотів би побачити якусь зрозумілу інтуїцію для початково дивного результату часу бігу!

Існує гарне пояснення Крейг Gidney тут (він також має інше великий вміст, в тому числі схеми симулятора, на своєму блозі ).

По суті, алгоритм Гровера застосовується, коли у вас є функція, яка повертається Trueдля одного з можливих входів, а також Falseдля всіх інших. Завдання алгоритму - знайти той, який повертається True.

Для цього ми виражаємо входи як бітові рядки та кодуємо їх за допомогою та станів рядків кубітів. Отже, бітова рядок буде кодована, наприклад, у чотирьох кубітному стані .$|0\rangle$$|1\rangle$0011$|0011\rangle$

Нам також потрібно вміти реалізовувати функцію за допомогою квантових воріт. Зокрема, нам потрібно знайти послідовність воріт, яка реалізує єдину таку, що$U$

$U | a \rangle = - | a \rangle, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, U | b \rangle = | b \rangle$

де - бітова рядок, для якої повертається функція, а - будь-яка, для якої вона повертається .$a$True$b$False

Якщо ми почнемо з суперпозицією всіх можливих бітових рядків, що досить легко зробити, просто Hadamarding все, всі входи починаються з однієї і тієї ж амплітудою (де є довжина бітових рядків, які ми шукаємо, і, отже, кількість кубітів, які ми використовуємо). Але якщо ми застосуємо оракул , амплітуда стану, який ми шукаємо, зміниться на .$\frac{1}{\sqrt{2^n}}$$n$$U$$-\frac{1}{\sqrt{2^n}}$

Це не будь-яка легко помітна різниця, тому нам потрібно її посилити. Для цього ми використовуємо Гровер Diffusion оператора , . Ефект цього оператора полягає в тому, щоб подивитися на те, чим кожна амплітуда відрізняється від середньої амплітуди, а потім обернути цю різницю. Отже, якщо певна амплітуда була на певну суму більше середньої амплітуди, вона стане на ту саму суму меншою, ніж середня, і навпаки.$D$

Зокрема, якщо у вас суперпозиція бітових рядків , дифузійний оператор має ефект$b_j$

$D: \,\,\,\, \sum_j \alpha_j \, | b_j \rangle \,\,\,\,\,\, \mapsto \,\,\,\,\,\, \sum_j (2\mu \, - \, \alpha_j) \, | b_j \rangle$

де - середня амплітуда. Тож будь-яка амплітуда перетворюється на μ - δ . Щоб дізнатися, чому він має такий ефект, і як його реалізувати, дивіться у цих конспектах лекцій .$\mu = \sum_j \alpha_j$$\mu + \delta$$\mu - \delta$

Більша частина амплітуд буде мініатюрною більшою, ніж середня (завдяки ефекту одинарного $-\frac{1}{\sqrt{2^n}}$ ), тому вони стануть крихітним трохи менше середнього за допомогою цієї операції. Не велика зміна.

На стан, який ми шукаємо, буде впливати сильніше. Його амплітуда набагато менша від середньої, і тому вона стане набагато більшою середньою після застосування оператора дифузії. Кінцевий ефект дифузійного оператора полягає в тому, щоб спричинити перешкодний вплив на стани, котрий амплітуда $\frac{1}{\sqrt{2^n}}$ з усіх неправильних відповідей і додає їх до правильної. Повторивши цей процес, ми можемо швидко дійти до того, що наше рішення виділяється з натовпу настільки, що ми можемо його ідентифікувати.

Звичайно, все це свідчить про те, що всю роботу виконує дифузійний оператор. Пошук - це лише програма, яку ми можемо підключити до неї.

Детальні відомості про те, як реалізуються функції та оператор дифузії, див. Відповіді на інші запитання .

Я вважаю, що графічний підхід є досить хорошим для того, щоб дати деяку розуміння, не надто надто технічно. Нам потрібні деякі входи:

• ми можемо створити стан з ненульовим перекриттям з «зазначеним» станом | х ⟩ : ⟨ х | г | ⟩ ≠ 0 .$|\psi\rangle$$|x\rangle$$\langle x|\psi\rangle\neq 0$
• ми можемо здійснити операцію $U_1=-(\mathbb{I}-2|\psi\rangle\langle\psi|)$
• ми можемо реалізувати операцію .$U_2=\mathbb{I}-2|x\rangle\langle x|$

$|\psi^\perp\rangle$$|x\rangle$$\{|x\rangle,|\psi^\perp\rangle\}$$\{|x\rangle,|\psi\rangle\}$$\{|x\rangle,|\psi^\perp\rangle\}$, і вони повертають стан у межах періоду. Більше того, обидва є унітарними, тому довжина вхідного вектора зберігається.

$|\psi^\perp\rangle$$|x\rangle$

$|\psi\rangle$$|x\rangle$$|\psi^\perp\rangle$$|\psi\rangle$$|\psi\rangle$$|\psi^\perp\rangle$$\theta$

$U_1$$|\psi\rangle$$U_2$$|\psi^\perp\rangle$

$U_2$$U_1$$2\theta$$|x\rangle$

$|\psi\rangle$$\theta$$|x\rangle$$x$

$|x\rangle$$|\psi\rangle$$p\ll 1$$O(1/p)$$\sqrt{p}=\sin\theta\approx\theta$$\theta$$r$$\sin((2r+1)\theta)\approx 1$$r\approx \frac{\pi}{2\theta}\approx \frac{\pi}{2\sqrt{p}}$

$1/\sqrt{N}$$\sqrt{N}$$1$