Що розуміється під терміном "обчислювальна основа"?

Що означає термін "обчислювальна основа" в контексті квантових обчислень та квантових алгоритмів?

Коли у нас є лише один кубіт, немає нічого особливо особливого в обчислювальній основі; просто приємно мати канонічну основу. На практиці ви могли б подумати, що спочатку ви реалізуєте ворота з і , а потім ви говорите, що обчислювальною основою є власнеоснова цього воріт.Z 2 = I Z ≠ $Z$$Z^2 = I$$Z\neq I$

Однак, коли ми говоримо про багатоквартирні системи, обчислювальна основа є змістовною. Це відбувається з вибору основи для кожного кубіта, а потім взяття основи, яка є тензорним добутком усіх цих баз. Підбирати однакову основу для кожного кубіта приємно лише для того, щоб все було рівномірним, а називати їх і - хороший нотаційний вибір. Що насправді важливо, це те, що наші базові стани - це стани продуктів у всіх наших кубітах: обчислювальні базові стани можна підготувати, ініціалізуючи наші кубіти окремо, а потім об'єднавши їх. Це не вірно для довільних держав! Наприклад, для котячого стану потрібна схема глибини журналу для того, щоб підготувати його із стану продукту.1 $0$$1$$\frac1{\sqrt2}\left(|0^n\rangle + |1^n\rangle\right)$

Квантові обчислення мають справу (в основному) з кінцевими розмірними квантовими системами, які називаються кубітами . Якщо ви знаєте базову квантову механіку, то ви знаєте, що кубіт Гільберта є , тобто двовимірний комплексний простір Гільберта над (для більш технічних людей простір Гільберта насправді ).C C P $\mathbb{C}^2$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}P^1$

Тому для опису векторів (або фізично - квантового стану кубіта) у цьому двовимірному просторі Гільберта нам потрібно щонайменше два базових елемента. Якщо ви думаєте про стан кубіта як вектор стовпчика,

a,ba,b-| г |

$${{\bigl [}{\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}}{\bigr ]}},$$ тоді вам потрібно буде вказати, що таке - щоб вказати стан кубіта. Зауважимо, що те, що залежить від того, на чому лежить основа системи можуть бути два різних векторів стовпців (у різних базах), що представляють один і той же стан кубіта. У будь-якому випадку нам потрібна якась основа, з якою ми працюємо, і саме тут починає грати "обчислювальна основа".$a,b$$a,b$$-$$|\psi\rangle$

Основа обчислення - це просто два базових стани, складені (будь-яким) двома різними квантовими станами, у яких кубіт може бути фізично. Однак так само, як і в лінійній алгебрі, яку ви обираєте два ( лінійно незалежні ) стани - це начебто довільне (я кажу, що це так, тому що в деяких фізичних ситуаціях існує природний вибір основи; див. Ейнелекція ).

Наприклад, якщо у вас є електрон в магнітному полі (вказує на осі z), то стани спіна, спрямовані вгору і вниз по осі z, є типовим вибором для обчислювальної основи це, очевидно, не єдиний вибір, оскільки вісь z може вказувати в будь-якому довільному напрямку. Ці два стани, та вказують на стан спіна електрона, є власними станами оператора (Pauli-z) і їх зазвичай називають "обчислювальною основою".| ↑ ⟩ | ↓ ⟩ σ $-$$|\uparrow\rangle$$|\downarrow\rangle$$\sigma_z$

Ні, обчислювальна основа не має якогось особливого значення, вона є лише тією основою, яка є "найбільш природною" в даному контексті і умовно позначається у кубітах та .| 1 $|0\rangle$$|1\rangle$

Наведіть кілька прикладів:

1. Якщо кубіти закодовані в поляризацію одиничних фотонів, обчислювальна основа, як правило, є основою, утвореною горизонтальним і вертикальним станами поляризації фотона.
2. Якщо кубіти закодовані в спини чогось подібного до іонів, атомів чи електронів, тоді зазвичай вважається "обчислювальна основа" основою власних , тобто імпульсом кута спіна, вертикальним напрямком (звичайно, , що означає "вертикаль", також залежить від контексту).$S_z$
3. Якщо кубіт кодується в присутності або відсутності фотона в заданому режимі, то "обчислювальна основа" - це, втім, професійний стан цього режиму.

Я міг би продовжувати. Також часто говорять про "обчислювальну основу" для вищих розмірних станів (qudits), і в цьому випадку застосовується те саме: основа називається "обчислювальною", коли вона є найбільш "природною" в даному контексті.

З чисто теоретичної точки зору "обчислювальна основа" - це не що інше, як певна основа, яку зазвичай позначають , щоб відрізнити її від якоїсь іншої основи, яка має деяку відношення до нього. Принципово розуміти, що з чисто теоретичної точки зору всі бази рівнозначні одна одній, і вони набувають сенсу лише тоді, коли хто вирішить, що дана основа являє собою певний набір станів певної фізичної системи.$\{|0\rangle, |1\rangle,...\}$

Квантовий стан - це вектор у просторовому векторному просторі (простір Гільберта). Існує одна основа, яка є природною для будь-якого квантового алгоритму (або квантового комп'ютера), заснованого на кубітах: Стани, які відповідають двійковій числу, є особливими, вони є так званими обчислювальними базовими станами.