Як у квантовій машині Тюрінга приймається рішення про переміщення по стрічці пам'яті?

Нехай для машини квантового Тюрінга (QTM) встановлений стан буде , а алфавіт символів ∑ = { 0 , 1 } , який з’являється на голові стрічки. Тоді, наскільки я розумію, у будь-який момент, коли QTM обчислює, кубіт, який з’являється на його голові, буде містити довільний вектор V ∑ = a | 1 ⟩ + б | 0 ⟩ . Також, якщо | д 0 ⟩ , | д 1 ⟩ , . . . ∈ $Q$$\sum=\{0,1\}$$V_\sum = a|1\rangle+b|0\rangle$$|q_0\rangle , |q_1\rangle, ... \in Q$, тоді вектор стану в цьому випадку також буде довільним вектором .$V_q=b_0|q_0\rangle + b_1 |q_1\rangle+ ...$

Тепер, після завершення циклу інструкцій, вектори і V q вирішать, чи буде QTM рухатися вліво або вправо по стрічці Qubit. Моє запитання: оскільки простір Гільберта, утворений Q ⊗ ∑, є незліченним нескінченним набором, а { Зліва, Вправо } - дискретний набір, відображення між ними буде складно створити.$V_\sum$$V_q$$Q \otimes \sum$$\{\text{Left,Right}\}$

Отже, як приймається рішення про рух ліворуч або праворуч? Рухатися чи QTM зліва і справа , в той же час, це означає , що безліч також утворює інше гільбертовому просторі, і , отже , рух QTM стає ніж - щось на зразок | Лівий ⟩ + б | Право ⟩ .$\{\text{Left,Right}\}$$a|\text{Left}\rangle+b|\text{Right}\rangle$

Або, подібно до класичної машини Тьюрінга, QTM рухається ліворуч або праворуч, але не обидва одночасно?

Якщо у нас є QTM із набором стану та алфавітом стрічки Σ = { 0 , 1 } , ми не можемо сказати, що кубіт, який сканується головою стрічки, "утримує" вектор a | 0 ⟩ + б | 1 ⟩ або що (внутрішнє) стан являє собою вектор з базисними станами , відповідними Q . Кубіти на стрічці можна співвіднести один з одним та із внутрішнім станом, а також із положенням головки стрічки.$Q$$\Sigma = \{0,1\}$$a|0\rangle + b|1\rangle$$Q$

Як аналогія, ми б не описали глобальний стан імовірнісної машини машини Тьюрінга, незалежно вказавши розподіл на внутрішній стан та для кожного квадрату стрічки. Швидше, ми повинні описати все разом, щоб правильно представити кореляції між різними частинами машини. Наприклад, біти, що зберігаються у двох віддалених квадратиках стрічки, можуть бути ідеально співвіднесені: обидва 0 з вірогідністю 1/2 та обидва 1 з вірогідністю 1/2.

Так, у квантовому випадку, і якщо припустити, що ми говоримо про чисті стани квантових машин Тьюрінга з унітарними еволюціями (на відміну від більш загальної моделі, заснованої на змішаних станах), глобальний стан представлений вектором, записи якого індексуються конфігурації (тобто класичні описи внутрішнього стану, розташування головки стрічки та вміст кожного квадратного стрічки) машини Тюрінга. Слід зазначити, що ми, як правило, припускаємо, що в алфавіті стрічки є спеціальний порожній символ (який може бути 0, якщо ми хочемо, щоб наші квадрати стрічки зберігали кубіти), і що ми починаємо обчислення, принаймні кінцево багато квадратів не є порожніми, так що набір усіх доступних конфігурацій є підрахунковим. Це означає, що стан буде представлений одиничним вектором у відокремленому просторі Гільберта.

$(q,\sigma)$

$Q = \{0,1\}$$\Sigma = \{0,1\}$(і пустим символом ми візьмемо 0). Починаємо з стану 0, скануючи квадрат, на якому зберігається 1, а всі інші квадрати зберігають 0. Я не запишу явно перехідну функцію, а просто опишу поведінку словами. На кожному русі вміст відсканованого квадрата стрічки інтерпретується як контрольний біт для операції Адамара над внутрішнім станом. Після виконання контрольованого Адамара голова рухається вліво, якщо стан (новий) дорівнює 0, і рухається праворуч, якщо (новий) стан дорівнює 1. (У цьому прикладі ми ніколи фактично не змінюємо вміст стрічки.) Після одного кроку , QTM буде в однаково зваженому суперпозиції між тим, що перебуває в стані 0 з квадратним скануванням головки стрічки -1, і перебуває в стані 1 з квадратним скануванням головки стрічки +1. На всіх наступних рухах контрольований Адамард нічого не робить, тому що кожен квадрат вбік від квадрата 0 містить символ 0. Тому головка стрічки буде продовжувати рухатися одночасно і вліво, і вправо, як частинка, яка рухається вліво і вправо в суперпозиції.

Якби ви цього хотіли, можна, звичайно, визначити варіант квантової моделі машини Тюрінга, для якого розташування та рух головки стрічки є детермінованими, і це не руйнує обчислювальну універсальність моделі, а "класичне" визначення квантового Тьюрінга машини не накладають цього обмеження.

Квантова машина Тьюрінга може переміститися в суперпозицію, що рухається вліво і вправо. Це відрізняється від класичної машини Тьюрінга, яка може рухатись лише вліво або вправо.