Що таке квантове заплутування, і яку роль він відіграє у квантовій корекції помилок?

11

Я хочу зрозуміти, що таке квантове заплутування і яку роль він відіграє в квантовій корекції помилок.

ПРИМІТКА . Відповідно до пропозицій @JamesWootton та @NielDeBeaudrap, я задав окреме запитання щодо класичної аналогії тут .

entanglement error-correction

— Чінні
джерело

3

Я б заперечував, що це трохи занадто широко, як запитували. Можливо, щось на кшталт "чому потрібне заплутування для квантової корекції помилок", і є окреме питання для класичної аналогії.

— Джеймс Вуттон

1

Я відредагував одне питання, а потім зрозумів, що це буде упереджено ставитись до моєї відповіді щодо відповіді пірамід. Але @Chinni, я погоджуюся з Джеймсом, що ти повинен зосередитися на одному з двох питань.

— Ніль де Бодорап

@JamesWootton and Niel, Дякую за пораду. Я буду мати це на увазі відтепер. Але оскільки на це питання вже є три відповіді, чи буде добре, якщо я розділю його на два окремих питання?

— Чінні

@Chinni Я думаю, що це добре. Можливо, вам слід попередити відповідачів у коментарях нижче їхньої відповіді, що вони також можуть "розділити" свою відповідь (якщо це застосовується).

— Дискретна ящірка

6

Класична кореляція між змінними виникає тоді, коли змінні здаються випадковими, але знаходять, чиї значення систематично узгоджуються (або не згодні). Однак завжди знайдеться хтось (або щось), який «точно» знає, що саме використовують змінні в будь-якому випадку.

Заплутування між змінними однакове, за винятком останньої частини. Випадковість справді випадкова. Випадкові результати повністю не визначаються до моменту вимірювання. Але якось змінні, хоча вони можуть бути розділені галактиками, все ж знають, що вони погоджуються.

Отже, що це означає для виправлення помилок? Для початку подумаємо про виправлення помилок для простого біта .

Під час зберігання класичного біта типи помилок, про які потрібно турбуватися, - такі речі, як перегортання та стирання. Тож щось може змусити вас 0стати 1або навпаки. Або ваш шматочок може кудись скитатися.

Для захисту інформації ми можемо забезпечити, щоб наші логічні біти (фактична інформація, яку ми хочемо зберігати) не були зосереджені лише на одних фізичних бітах . Натомість ми його розкладаємо. Таким чином, ми могли використовувати просте кодування повторень, наприклад, де ми копіюємо нашу інформацію через багато фізичних бітів. Це дозволяє нам все-таки виводити нашу інформацію, навіть якщо деякі фізичні біти вийшли з ладу.

Це основна робота з виправлення помилок: ми поширюємо нашу інформацію, щоб помилитися з помилками.

Для кубітів існує більше видів помилок. Наприклад, ви можете знати, що кубіти можуть перебувати в станах суперпозиції, і що вимірювання змінюють їх. Тому небажані вимірювання є ще одним джерелом шуму, спричиненого взаємодією із середовищем (і, таким чином, в деякому сенсі "дивлячись" на наші кубіти). Цей тип шуму відомий як декогерентність.

То як це впливає на речі? Припустимо, ми використовуємо кодування повторення з кубітами. Таким чином, ми замінюємо у бажаному логічному стані кубіту на , повторений у багатьох фізичних кубітах, і замінюємо на . Це ще раз захищає від бітових перегородок та стирань, але робить його ще простішим для бродячих вимірювань. Тепер середовище вимірює, чи є у нас чи , дивлячись на будь-який із багатьох кубітів. Це зробить ефект декогерентності набагато сильнішим, чого ми зовсім не хотіли! $|0\rangle$ $|000...000\rangle$ $|1\rangle$ $|111...111\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

Щоб виправити це, нам потрібно зробити так, щоб декохерентність порушувала нашу логічну інформацію про кубіт, так само, як ми ускладнювали біт фліп і стирання. Для цього нам потрібно ускладнити вимірювання логічного кубіту. Не надто важко, щоб ми не могли це зробити, коли хочемо, звичайно, але занадто важко, щоб середовище це було легко. Це означає, що вимірювання одного фізичного кубіта не повинно нічого говорити про логічний кубіт. Насправді ми повинні зробити так, що потрібно виміряти цілу купу кубітів та їх результати порівняти, щоб отримати будь-яку інформацію про кубіт. У певному сенсі це форма шифрування. Вам потрібно достатньо шматочків головоломки, щоб мати уявлення про те, що таке малюнок.

Ми могли б спробувати це зробити класично. Інформація може бути поширена в складних кореляціях між багатьма бітами. Переглядаючи достатню кількість бітів і аналізуючи кореляції, ми можемо отримати деяку інформацію про логічний біт.

Але це не був би єдиний спосіб отримати цю інформацію. Як я вже згадував, класично завжди є хтось чи щось, що вже все знає. Не має значення, чи це людина, чи просто візерунки у повітрі, що виникли під час шифрування. Так чи інакше, інформація існує поза нашим кодуванням, і це, по суті, середовище, яке знає все. Саме його існування означає, що декогерентність сталася непоправною мірою.

Тож тому нам потрібне заплутування. За допомогою цього ми можемо приховати інформацію за допомогою кореляцій у істинних та непізнаваних випадкових результатах квантових змінних.

— Джеймс Вуттон
джерело

5

Заплутування - це природна частина квантової інформації та квантових обчислень. Якщо його немає --- якщо ви намагаєтеся робити речі таким чином, щоб заплутування не виникало --- тоді ви не отримаєте користі від квантових обчислень. І якщо квантовий комп'ютер робить щось цікаве, він створить багато заплутань, принаймні як побічний ефект.

Однак це не означає, що заплутаність - це "те, що змушує працювати квантові комп'ютери". Заплутування - це як прядильні передачі машини: нічого не відбувається, якщо вони не обертаються, але це не означає, що швидкість обертання цих передач достатня для того, щоб машина зробила те, що ви хочете. (Заплутаність - це примітивний ресурс, таким чином для спілкування , але не для обчислень, наскільки хтось бачив.)

Це справедливо для квантового виправлення помилок, як і для обчислення. Як і всі форми виправлення помилок, квантова корекція помилок працює, поширюючи інформацію по більшій системі, зокрема, у співвідношенні певних вимірюваних частин інформації. Заплутування - це лише звичайний спосіб співвідношення квантових систем, тому не дивно, що хороший квантовий код виправлення помилок передбачає багато заплутань. Але це не означає, що намагатися "накачати вашу систему, сповнену заплутаності", як якийсь повітряний куля з гелієм, - це щось корисне або значуще зробити для захисту квантової інформації.

Хоча квантове виправлення помилок іноді нечітко описується з точки зору заплутування, важливішим є те, як воно передбачає перевірку паритетності, використовуючи різні "спостережувані". Найважливішим інструментом для опису цього є формалізм стабілізатора. Формалізм стабілізатора може бути використаний для опису деяких станів з великою кількістю заплутаності, але, що ще важливіше, він дозволяє досить легко міркувати про властивості багатокубітів ("спостережувані"). З цієї точки зору можна зрозуміти, що квантова корекція помилок набагато тісніше пов’язана з низько енергетичною фізикою багатьох тіл спінових гамільтонів, ніж просто заплутування в цілому.

— Ніль де Бодорап
джерело

4

Не існує класичного еквівалента заплутування. Заплутування, можливо, найкраще зрозуміти, використовуючи позначення Dirac (bra-ket).

Неважливо, що в цьому прикладі заплутані кубіти трапляються у протилежних станах: вони також можуть перебувати в одному стані та все ж заплутуватися. Важливо те, що їхні держави не залежать один від одного. Це спричинило великі головні болі для фізиків, оскільки це означає, що кубіти (або частинки, що переносять їх) не можуть одночасно мати строго локальні властивості і керуватися концепцією, що називається реалізмом (відображають їхні стану як внутрішню властивість). Ейнштейн чудово називав отриманий парадокс (якщо ви все-таки припускаєте локальність і реалізм) "моторошною дією на відстані".

Заплутування не відіграє особливої ролі в квантовій корекції помилок: виправлення помилок повинно працювати для кожного стану в обчислювальній основі (у якого немає заплутування). Тоді воно автоматично працює також для суперпозицій цих станів (які можуть бути заплутаними станами).

— піраміди
джерело

Я хочу це зрозуміти краще, якщо буде заплутаність, то покращиться чи ефективність цих алгоритмів виправлення помилок чи погіршиться? Також, чи можна мати квантову систему без заплутування?

— Чінні

\otimes

$\otimes$

@pyramids: Я думаю, що твердження "не існує класичного еквівалента заплутаності" є (хоча це прийнято говорити) - дещо сильне твердження. Є класичний аналог , хоча він аж ніяк не є глибоко таємничим. поясніть, що таке заплутаність ---, а потім сміливо заявляйте, що "заблукання не має класичного аналога", щоб уберегти людей від плутаного заплутування з тим самим класичним аналогом. Але в контексті виправлення помилок роль цього класичного аналога полягає саме в тому, що є питання, тому що саме це робить класичну роботу з виправлення помилок

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap Наскільки я розумію заплутаність (стан непродукту), це твердження є точним, а не надмірно сильним.

— піраміди

Пара корельованих класичних випадкових величин також є непродуктним станом, і саме таким чином є класичним аналогом заплутування. Те, що робить ваше твердження «сильним», полягає в тому, що існує свобода вибору, де можна провести лінію, між «аналогічними», а не «не аналогічними» явищами, і ви трапили лінію на високому порозі (як це звичайно робити з заплутуванням з історичних причин).

— Ніль де Бодорап

4

Для певного класу кодів, які називаються чистими , наявність заплутаності є необхідною і достатньою вимогою для квантового виправлення помилок, тобто для виправлення всіх помилок, що стосуються певної кількості підсистем.

$\{E_\alpha\}$ $|i_\mathcal{Q}\rangle$ $E_\alpha$

⟨ i_{Q} | E_{α} | j_{Q} ⟩ = δ_{i j} C (E_{α}) . (1)

$\begin{equation} \langle i_\mathcal{Q} | E_\alpha | j_\mathcal{Q} \rangle = \delta_{ij} C(E_\alpha). \quad\quad\quad (1) \end{equation}$

$C(E_\alpha)$ $E_\alpha$ $i$ $j$ $E_\alpha$ $C(E_\alpha) \propto \operatorname{tr}(E_\alpha)$

$E_\alpha$ $(d-1)$ $d$ $\lfloor(d-1)/2\rfloor$

$d$ $(d-1)$ $E_\alpha \neq \mathbb{1}$ $|v_\mathcal{Q} \rangle$

⟨ E ⟩ = tr (E | v_{Q} ⟩ ⟨ v_{Q} |) = ⟨ v_{Q} | E_{α} | v_{Q} ⟩ = tr (E) = 0.

$\begin{equation} \langle E \rangle = \operatorname{tr}(E |v_\mathcal{Q} \rangle\langle v_\mathcal{Q}|) = \langle v_\mathcal{Q} |E_\alpha|v_\mathcal{Q} \rangle = \operatorname{tr}(E) = 0. \end{equation}$

$(d-1)$ $(d-1)$ $|v_\mathcal{Q}\rangle$ $(d-1)$

$E_\alpha$ $d$ $|v\rangle, |w\rangle$

⟨ v | E_{α} | v ⟩ = ⟨ w | E_{α} | w ⟩ .

$\begin{equation} \langle v| E_\alpha | v\rangle = \langle w | E_\alpha| w\rangle. \end{equation}$

$d$

Додаток: ми розглянули це питання далі, детальну інформацію можна знайти в статті Квантові коди максимальної відстані та сильно заплутаних підпросторів . Є компроміс: чим більше помилок квантовий код може виправити, тим більше заплутаним повинен бути кожен вектор у кодовому просторі. Це має сенс, тому що якщо інформація, де не поширюється серед багатьох частинок, навколишнє середовище - прочитавши кілька кубітів - могло б відновити повідомлення в просторі коду. Потім це обов'язково знищить кодоване повідомлення, завдяки теоремі про не клонування. Таким чином, велика відстань потребує високого заплутування.

— Фелікс Хубер
джерело

3

Ось спосіб подумати про роль заплутаності в квантових кодах, які, на мою думку, доповнюють відповідь Фелікса Хаберса.

$|\Psi\rangle_{RQ}$ $Q$ $Q$ $S_1,S_2,S_3$

Потім існує ентропічний спосіб мислення про умови виправлення помилок (порівняно з більш алгебраїчними умовами Кнілла-Лафламма). Зокрема, якщо

I (R : S_{3}) = 0

$I(R:S_3) = 0$

$Q$ $S_1S_2$

Використовуючи цей ентропічний підхід до виправлення помилок, існує досить прямий шлях до розуміння заплутування в кодах. Наприклад, ми можемо довести, що,

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) \geq 2 \log d_{R}

$I(S_1S_2:S_3) \geq 2\log d_R$

наступним чином. Спочатку ми виписуємо цю взаємну інформацію з точки зору її визначення,

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{1} S_{2}) + S (S_{3}) - S (S_{1} S_{2} S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_1S_2) + S(S_3) - S(S_1S_2S_3)$

$X$ $RS_1S_2S_3X$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} X R) + S (S_{3}) - S (X R)

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3XR) + S(S_3) - S(XR)$

$Q$ $S_1S_2$ $I(R:S_3X)=I(R:X)=0$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} | X) + S (S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3|X) + S(S_3)$

$2 \log d_R$ $S_3$ $S_1$ $Q$ $S_3$ $Q$ $S_3$ $2\log d_R$ $2\log d_R$ $I(R:S_1S_3) - I(R:S_1)$

I (R : S_{1} S_{3}) - I (R : S_{1}) = S (S_{3} | S_{1}) + S (S_{3} | X S_{2}) \leq S (S_{3}) + S (S_{3} | X)

$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1) = S(S_3|S_1) + S(S_3|XS_2) \leq S(S_3) + S(S_3|X)$

$I(R:S_1S_3) \geq 2\log d_R$ $S_1S_3$ $Q$ $I(R:S_1)=0$ $S(S_3) + S(S_3|X)$ $I(S_1S_2:S_3)$

— Алекс Мей
джерело