Кожен, хто написав документ і запитав себе, чи можна вдосконалити нотацію, чи подати аналіз дещо інакше, щоб зробити його більш елегантним, знайомий з тим, що вибір позначень, опису та аналізу може бути випадковістю - вибрано без глибоких мотивацій. У цьому немає нічого поганого, воно просто не має сильного виправдання бути певним чином. У великих громадах людей, які більше заклопотані (можливо, з розумом), аби робити справи, а не представляти найчистішу можливу картину, це відбувається постійно.
Я думаю, що остаточна відповідь на це питання буде за цими напрямками: це здебільшого історична випадковість. Я сумніваюся, що існують будь-які глибоко розглянуті причини того, що набір воріт є таким, яким він є, і більше, ніж є глибоко розглянуті причини, чому ми говоримо про стан Белла дещо частіше, ніж стан . | Ψ-⟩=(|01⟩-|10⟩) / √|Φ+⟩=(|00⟩+|11⟩)/2–√|Ψ−⟩=(|01⟩−|10⟩)/2–√
Але ми все ще можемо розглянути, як сталася аварія, і чи є щось, що ми можемо дізнатися про систематичні способи мислення, які, можливо, привели нас туди. Я очікую, що причини, зрештою, випливають із культурних пріоритетів комп'ютерних науковців, причому як глибокі, так і поверхневі упередження відіграють роль у тому, як ми описуємо речі.
Відступ від штату Белл
Якщо ви поводитеся зі мною, я хотів би зупинитися на прикладі двох станів Белла та як орієнтовний приклад того, як може в кінцевому підсумку довільна конвенція виникають випадково, частково через упередження, які не мають глибоких математичних коренів.| Ψ - ⟩|Φ+⟩|Ψ−⟩
Однією з очевидних причин перевагу над є те, що перше більш очевидно симетричне. Оскільки ми додаємо два компоненти для , немає чіткої необхідності захищати, чому ми пишемо це так, як це робимо. На відміну від цього, ми могли так само легко визначити з протилежним знаком, який не є кращим чи гіршим за мотивацію, ніж вибір . Від цього виникає відчуття, ніби ми робимо більше довільних виборів під час визначення .|Φ+⟩|Ψ−⟩|Φ+⟩|Ψ−⟩=(|10⟩−|01⟩)/2–√|Ψ−⟩=(|01⟩−|10⟩)/2–√|Ψ−⟩
Навіть вибір основи дещо гнучкий у випадку : ми можемо записати і отримаємо той самий стан. Але справи починають йти трохи гірше , якщо ви починаєте з урахуванням власних станів з оператора: ми маємо . Це все ще виглядає досить симетрично, але стає зрозуміло, що наш вибір базису відіграє нетривіальну роль у тому, як ми визначаємо .|Φ+⟩|Φ+⟩:=(|++⟩+|−−⟩)/2–√|±i⟩:=(|0⟩±i|1⟩)/2–√Y|Φ+⟩=(|+i⟩|−i⟩+|−i⟩|+i⟩)/2–√|Φ+⟩
Жарт на нас. Причина, чому здається "більш симетричною", ніж , тому що є буквально найменш симетричним двоквартирним станом, і це робить його кращим мотивований, ніж замість менш мотивованого. Стан є унікальним антисиметричним станом: унікальний стан, який є власним вектором операції SWAP, і, отже, задіяний у контрольному тесті SWAP для розрізнення стану кубіту, серед іншого.|Φ+⟩|Ψ−⟩|Ψ−⟩|Φ+⟩|Ψ−⟩−1
- Ми можемо описати до глобальної фази як для буквально будь-якого стану та ортогональний стан , тобто властивості, які роблять його цікавим, не залежать від вибору основи.|Ψ−⟩(|α⟩|α⊥⟩−|α⊥⟩|α⟩)/2–√|α⟩|α⊥⟩
- Навіть глобальна фаза, яку ви використовуєте для написання стану , не впливає на визначення до більш ніж глобальної фази. Це ж не стосується : як вправа для читача, якщо , то що таке ?|α⊥⟩|Ψ−⟩|Φ+⟩|1′⟩=i|1⟩(|00⟩+|1′1′⟩)/2–√
Між тим, - це лише один максимально заплутаний стан у тривимірному симетричному підпросторі на двох кубітах - підпростір власних векторів операції SWAP - і тому в принципі не відрізняється більше, ніж, скажімо, .|Φ+⟩+1|Φ−⟩∝|00⟩−|11⟩
Дізнавшись про річ чи дві про стан Белла, стає зрозуміло, що наш інтерес до зокрема мотивується лише поверхневою симетрією позначень, а не будь-якими справді значущими математичними властивостями. Це, звичайно, більш довільний вибір, ніж . Єдиною очевидною мотивацією перевагу є соціологічні причини, пов'язані з уникненням мінусових знаків та уявних одиниць. І єдиною виправданою причиною, яку я можу вважати для цього, є культурна: конкретно, для того, щоб краще розмістити студентів чи інформатиків.|Φ+⟩|Ψ−⟩|Φ+⟩
Хто замовив CNOT?
Ви запитуєте, чому ми більше не розмовляємо про . Для мене більш цікаве питання, яке ви також задаєте: чи ми так багато говоримо про , коли робить багато одних і тих же речей? Я бачив розмови, проведені експериментальними оптичними фізиками студентам, які навіть описують виконання у стандартному стані як виконання ворота Адамара: але це ворота були насправді більш природними для нього. Очевидно, що оператор також більше безпосередньо пов'язаний з операторами Паулі. Серйозний фізик може вважати цікавим, що замість цього ми зупиняємось на Хадамарі.(X+Y)/2–√H=(X+Z)/2–√Y−−√Y−−√Y−−√Y−−√
Але в кімнаті є більший слон - коли ми говоримо про CNOT, то чому ми говоримо про CNOT, а не про інший заплутаний хвірт що симетрично за тензорними коефіцієнтами, а ще краще що більш тісно пов'язане з природною динамікою багатьох фізичних систем? Не кажучи вже про такий унітар, як або інші подібні варіанти.CZ=diag(+1,+1,+1,−1)U=exp(−iπ(Z⊗Z)/2)U′=exp(−iπ(X⊗X)/2)
Причина, звичайно, полягає в тому, що нас чітко цікавлять обчислення, а не фізика. Ми дбаємо про CNOT, оскільки те, як вона перетворює стандартну основу (основу, яка надається перевагу не з математичних чи фізичних причин, а з людських міркувань). Ворота вище трохи таємничий з точкою комп'ютера вчений: це не очевидно на поверхні його , що це за , і гірше, вона сповнена непривабливих комплексних коефіцієнтів. А ворота ще гірше. Навпаки, CNOT - це оператор перестановки, повний 1s і 0s, що переймає стандартну основу таким чином, що, очевидно, стосується комп'ютерного вченого.UU′
Хоча я тут трохи веселяться, врешті-решт саме для цього ми вивчаємо квантові обчислення . Фізик може глибше зрозуміти екологію елементарних операцій, але те, що піклується комп’ютерним науковцем наприкінці дня, - це як примітивні речі можуть бути складені в зрозумілі процедури, що включають класичні дані. А це означає не надто піклуватися про симетрію на нижчих логічних рівнях, щоб вони могли отримати те, що хочуть, з цих нижчих рівнів.
Ми говоримо про CNOT, оскільки саме про ворота ми хочемо витратити час на роздуми. З фізичної точки зору ворота, такі як і як зазначено вище, у багатьох випадках є операціями, про які ми могли б подумати, щоб реалізувати CNOT, але CNOT - це те, що нас хвилює.UU′
Глибокі і не настільки глибокі причини віддавати перевагу воротам Адамара
Я очікую, що пріоритети комп'ютерних фахівців мотивують багато наших конвенцій, наприклад, чому ми говоримо про , а не .(X+Z)/2–√Y−−√∝(1−iY)/2–√
Операція Адамара вже трохи лякає комп’ютерів, які ще не знайомі з теорією квантової інформації. (Те, як він використовується, звучить як недетермінізм, і він навіть використовує ірраціональні числа!) Але як тільки комп'ютерний вчений пройде повз первісну ревульсію, ворота Адамара мають властивості, які їм можуть сподобатися: принаймні, це включає лише реальні коефіцієнти, це самообернене, і ви навіть можете описати власне базу з просто реальними коефіцієнтами.H
Один із способів часто виникає Адамара - це опис перемикання між стандартною базою та "кон'югованою основою (тобто, власне базу оператора , на відміну від оператора ) - так звані бази "біт" і "фаза", які є двома сполученими базами, які можна виразити, використовуючи лише реальні коефіцієнти. Звичайно,|0⟩,|1⟩|+⟩,|−⟩XYY−−√також перетворюється між цими базами, але також вводить нетривіальну трансформацію, якщо виконати її двічі. Якщо ви хочете подумати про «перемикання між двома різними базами, в яких ви можете зберігати інформацію», кращий хід Адамара. Але - це можна захистити, лише якщо ви вважаєте, що це важливо конкретно мати
- ворота перетворюється між стандартною базою і дуже специфічною основою ;H|+⟩,|−⟩
- якщо ви конкретно переймаєтесь тим, що має замовлення .2H2
Ви можете протестувати і сказати, що дуже природно розглянути можливість перемикання між базами "біт" і "фаза". Але звідки ми взяли це поняття про дві конкретні основи для "біт" і "фаза"? Єдина причина, чому ми виділяємо як фазу "фази", на відміну, наприклад, від , це тому, що вона може бути виражена з єдиними реальними коефіцієнтами в стандартній основі. Що стосується переваги оператора з порядком , щоб поєднатись з поняттям перемикання, то, схоже, це вказує на особливу перевагу розгляду речей шляхом "перевертання", а не оборотних змін бази. Ці пріоритети притаманні інтересам інформатики.|+⟩,|−⟩|+i⟩,|−i⟩2
На відміну від випадку між порівняно з , у комп'ютерного вченого є один дійсно хороший аргумент високого рівня для переваги над|Φ+⟩|Ψ−⟩HY−−√: ворота Адамара - це унітарна репрезентація булевого перетворення Фур'є (тобто це квантове перетворення Фур'є на кубітах). Це не дуже важливо з фізичної точки зору, але це дуже корисно з обчислювальної точки зору, і дуже велика частка теоретичних результатів у квантовому обчисленні та комунікації в кінцевому підсумку спирається на це спостереження. Але булеві перетворення Фур'є вже вписуються в асиметрії інформатики, попередньо припускаючи важливість стандартної бази та використовуючи лише реальні коефіцієнти: такий оператор, як , ніколи не вважатиметься з цих підстав.(X+Y)/2–√
Діагональний аргумент
Якщо ви є комп'ютерним вченим, після того, як у вас є Адамард і CNOT, все, що залишилося, - це відбити ці примхливі складні фази, відсортовані як задум. Звичайно, ці фази є надзвичайно важливими. Але саме те, як ми говоримо про відносні фази, виявляє дискомфорт від ідеї. Навіть описуючи стандартну основу як "бітну" основу, для зберігання інформації робиться сильний акцент, що будь-яка "фаза", це не звичайний спосіб, який би ви розглядали як зберігання інформації. Фази різного роду - це те, що слід вирішувати після «справжнього» бізнесу, що стосується величин амплітуд; після протистояння тому, що можна зберігати інформацію на більш ніж одній основі. Ми ледве не говоримо про навіть суто уявні відносні фази, якщо зможемо допомогти.
Можна досить легко впоратися з відносними фазами за допомогою діагональних операторів. Вони мають перевагу в тому, що вони є рідкісними (стосовно стандартної основи ...) і лише впливають на відносну фазу, яка є зрештою деталлю, яку ми намагаємося розглянути на цьому етапі. Отже . І як тільки ви це зробили, навіщо робити більше? Звичайно, ми могли б так само легко розглядати довільні ротацію (і з - за розкладання Ейлера, ми дійсно граємо деякі губи обслуговування цих операції) і довільні ротацію, яка спонукає і . Але це насправді не викликає нічого цікавого для вченого-комп’ютера, який вважає роботу вже виконаною. XY4 √T∝Z−−√4XY 4 √X−−√4Y−−√4
І ні хвилини занадто рано - адже комп'ютерним фахівцям не дуже важливо, які саме примітивні операції використовуються, як тільки вони можуть виправдати перехід до чогось вищого рівня.
Підсумок
Я не думаю, що, ймовірно, є якась дуже цікава фізично мотивована причина, чому ми використовуємо певний набір воріт. Але, безумовно, можна дослідити психологічно мотивовані причини, чому ми це робимо. Викладене - це спекуляція в цьому напрямку, повідомлена багаторічним досвідом.