Мета використання Fidelity у рандомізованому тестуванні

Часто, порівнюючи дві матриці щільності, $\rho$ і $\sigma$ (наприклад, коли $\rho$ - експериментальна реалізація ідеального $\sigma$ ), близькість цих двох станів задається квантовою вірністю

F = t r (\sqrt{\sqrt{ρ} σ \sqrt{ρ}}),

$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$ з невірністю визначається як

1 - F

$1-F$ .

Аналогічно, порівнюючи, наскільки близька реалізація затвору з ідеальною версією, вірність стає

F (U, \tilde{U}) = \int {[t r (\sqrt{\sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}} \tilde{U} | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\tilde{U}}^{†} \sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}}})]}^{2} d ψ,

$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$ де

d ψ

$d\psi$ -міра Хааранад чистими станами. Не дивно, що це може стати відносно неприємним для роботи.

Тепер визначимо матрицю у випадку матриць щільності, або при роботі з воротами. Тоді норми Шаттена ¹ , такі як $M = \rho - \sigma$ $M = U - \tilde U$ ,, або інші норми, такі якалмазна норма,можна обчислити. $\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$ $\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$

Ці норми часто простіше обчислити ^2, ніж вищенаведена Вірність. Що ще гірше - це те, що в рандомізованих підрахунках бенчмаркінгу невірність навіть не здається великою мірою , але це число, яке використовується щоразу, коли я бачив, коли дивився на значення бенчмаркінгу для квантових процесорів. ³

Отже, чому (не) достовірність є значенням "обчислення" для обчислення помилок в квантових процесорах (з використанням рандомізованого бенчмаркінгу), коли це, мабуть, не має корисного значення, а інші методи, такі як норми Schatten, простіше обчислити на класичному комп’ютері?

^{1 p-норма Шаттена з дорівнює $M$ $\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2, тобто підключіть шумову модель на (класичному) комп'ютері та імітуйте}

^{3 Такі як QMX5 IBM}

quantum-information randomised-benchmarking fidelity

— Мітрандір24601
джерело

Нільсен та Чуанг у своїй книзі "Квантове обчислення та квантова інформація" містять розділ (глава 9) про відстані вимірювання квантової інформації.

Дивно вони говорять у розділі 9.3 "Наскільки добре квантовий канал зберігає інформацію?" що при порівнянні вірності зі слідовою нормою:

Використовуючи властивості відстані сліду, встановлені в останньому розділі, здебільшого не важко дати паралельну розробку на основі відстані сліду. Однак виявляється, що вірність - це простіший інструмент для обчислення, і тому ми обмежуємо себе міркуваннями, заснованими на вірності.

Я думаю, це частково, чому використовується вірність. Здається, це досить корисно як статична міра відстані.

Також здається, що відносно прямолінійне розширення вірності ансамблям держав

F = \sum_{j} p_{j} F (ρ_{j}, E (ρ_{j}))^{2},

$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$

вірогідність підготовки системи в станах , а - особливий галасливий канал, що цікавить, . $p_j$ $\rho_j$ $\mathcal{E}$ $0\leq F\leq 1$

Існує також розширення до вірності заплутаності для вимірювання того, наскільки добре канал зберігає заплутаність. Враховуючи стан передбачається певним чином приєднаний до зовнішнього світу, і очищення стану (вигадана система ), таке, що є чистим. Стан піддається динаміки в каналі . Праймери вказують на стан після застосування квантової операції. тотожне відображення на систему . $Q$ $R$ $RQ$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{I}_R$ $R$

F (ρ, E) \equiv F (R Q, R' Q')^{2} = ⟨ R Q | (I_{R} \otimes E) (| R Q ⟩ ⟨ R Q |) | R Q ⟩

$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$

Існує декілька формул, що спрощуються для обчислень вірності та заплутаності, також наведених у главі.

Однією з привабливих властивостей вірності заплутування є те, що існує дуже проста формула, яка дає змогу точно її обчислити.

F (ρ, E) = \sum_{i} tr | (ρ E_{i}) |^{2}

$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$

де 'елементи експлуатації' задовольняю відношення повноти. Можливо, хтось ще може прокоментувати більш практичні втілення, але це те, що я зібрав із читання. $E_i$

Оновлення 1: Re M.Stern

Це та ж довідка Нільсена та Чуанга. Вони коментують це тим, що говорять: "Ви можете задатись питанням, чому вірність, що з’являється в правій частині визначення, має квадрат. Є два відповіді на це питання, один простий і один складний. Проста відповідь полягає в тому, що включення цього квадратного терміна означає вірність ансамблю більш природно пов'язана з вірністю заплутаності, як визначено нижче. Більш складна відповідь полягає в тому, що квантова інформація в даний час знаходиться в стані немовляти, і не зовсім зрозуміло, які "правильні" визначення для таких понять, як інформація збереження є! Проте, як ми побачимо в главі 12, середня вірність ансамблю та вірність заплутаності породжують багату теорію квантової інформації, що призводить нас до думки, що ці заходи на правильному шляху,

Щоб відповісти на ваше друге запитання, чому б не подивитися на вірність , є точка добре згадується в «заходи розрізнення між ансамблями квантових станів» , які я думаю , що в PhysRevA але є версія Arxiv тут . $\bar{\rho}$

Точка, яку вони згадують на pg 4, припустимо, що у вас є два ансамблі і які мають однакову матрицю середньої щільності ансамблю, , то вірність не може розрізняти їх. $rho$ $\sigma$ $\bar{\rho}=\bar{\sigma}$ $F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

Оновлення 2: Re Mithrandir24601 Отже, одне визначення вірності воріт мотивоване думкою про те, що є найгіршим поведінкою каналу для даного стану входу. $\mathcal{E}$

F_{m i n} = min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩ ⟨ ψ |, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |)) \equiv min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

Через увігнутість в обох аргументах ви можете обмежитися чистими станами при цьому мінімізації, еквівалентність у другій частині - це лише позначення.

Визначаючи, наскільки добре реалізований затвор, можна також виглядати в гіршому випадку впровадження унітарного затвора каналом шляхом визначення $U$ $\mathcal{E}$

F (U, E) = min_{| ψ ⟩} F (U | ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

У формулу, яку ви подали, і папір, який ви зв'язали, вони інтегруються над , відповідною мірою . Це змушує мене вважати, що це слід розглядати натомість як середню , яка, на вашу думку, може бути кориснішою у практичних експериментах, особливо якщо ви повторюєте експеримент. Мабуть, навряд чи вдасться досягти точного мінімуму. $\psi$ $^*$ $\bar{F}(U,\tilde{U})$

Там є версія Arxiv з паперу тут Майкл Нільсен , де він говорить про середню вірності ворота.

Єдина додаткова різниця між вірністю для воріт і середньою вірністю воріт, згаданою проти формули, яку ви спочатку надали, - це квадрат сліду: вас є. Як і в Оновлення 1, деякі люди вважають за краще використовувати як вірність, а не , оскільки це нібито може бути пов'язано легше до вірності заплутаності. Мені потрібно прочитати трохи більше про це, щоб правильно коментувати. $[\operatorname{trace}]^2$ $F^2$ $F$

( $\,^*$ $\Bbb{CP}^n$ $n$ $U(n)$

— snulty
джерело

Це дає розумне пояснення, чому це може бути корисним для держав, і дещо про вірність заплутаності, безумовно, цікаво, звичайно. Однак у мене виникає проблема (згідно з цим документом ), що робити те саме для воріт просто не працює таким же чином. (якщо тільки я чогось іншого не пропускаю)

— Mithrandir24601

\sum_{j} p_{j} ρ_{j}

$\sum_j p_j \rho_j$

@ M.Stern Я перемістив свої коментарі до оновлення.

— snulty

@ Mithrandir24601 Вибачте за те, що ми відповідали повільно, я намагався знайти час, щоб прочитати зв'язаний вами документ і час написати відповідь! Дивіться оновлення 2.

— безтурботний

Що стосується вашої сторони, ви маєте рацію - я просто ледачий фізик. Це є (до мого знання) міру Хаара, але називати це «міра Хаара по станам» є, так, але не зовсім найбільш технічно точне твердження ніколи ... Що трохи більше турбує те , що Arxiv в даний час , здається, вниз :(

— Mithrandir24601