Явні межі швидкості Ліба-Робінсона

Межі Ліба-Робінсона описують, як ефекти поширюються через систему завдяки місцевому гамільтоніану. Вони часто описуються у формі де і - оператори, розділені на відстань на решітці, де гамільтонів мають локальні (наприклад , найближчі сусід) взаємодії на цій решітці, обмежені деякою силою . В доказ цього Lieb Робінсон пов'язані зазвичай показують існування швидкості (яка залежить від ). Це часто дуже корисно для обмеження властивостей у цих системах. Наприклад, були деякі дійсно гарні результати тут

| [A, B (t)] | \leq C e^{v t - l},

$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$

A

$A$

B

$B$

l

$l$

J

$J$

v

$v$

J

$J$ щодо того, скільки часу потрібно для створення штату GHZ, використовуючи найближчий сусід Гамільтоніан.

Проблема , що у мене було в тому , що докази є досить загальними , що важко отримати щільне значення на те , що на насправді швидкість є для будь-якої даної системи.

Для конкретності уявіть одновимірну ланцюжок кубітів, сполучених гамільтоніаном де для всіх . Тут , і являють собою оператор Паулі, який застосовується до даного кубіту , а скрізь в іншому місці. Чи можете ви дати хорошу (тобто максимально тугу) верхню межу для швидкості Ліба-Робінсона для системи в рівнянні. (1)?

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{n = 1}^{N} \frac{B_{n}}{2} Z_{n} + \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{J_{n}}{2} (X_{n} X_{n + 1} + Y_{n} Y_{n + 1}), \end{matrix}

$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$

J_{n} \leq J

$J_n\leq J$

n

$n$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

Z_{n}

$Z_n$

n

$n$

I

$\mathbb{I}$ $v$

Це питання можна задати в двох різних припущеннях:

Всі і фіксуються в часі $J_n$ $B_n$
і можуть змінюватися в часі. $J_n$ $B_n$

Перше є більш сильним припущенням, яке може полегшити докази, в той час як останнє, як правило, міститься у заяві про межі Ліба-Робінсона.

Мотивація

Квантове обчислення та загалом квантова інформація зводиться до створення цікавих квантових станів. Через таких робіт, як це , ми бачимо , що інформація займає певну кількість часу , щоб поширюватися від одного місця до іншого в квантовій системі , яка піддається еволюцію завдяки гамільтоновим , наприклад, у формулі. (1), і для того, що квантові стани, такі як стани GHZ, або стани з топологічним порядком, потребують певної кількості часу. На даний момент результат показує відношення масштабування, наприклад, необхідний час . $\Omega(N)$

Отже, давайте говорити , що я придумав схему , яка робить передачу інформації, або виробляє GHZ стану і т.д. таким чином , що ваги лінійно в . Наскільки хороша ця схема насправді? Якщо я маю явну швидкість, я можу побачити, наскільки тісно відповідає коефіцієнт масштабування в моїй схемі порівняно з нижньою межею. $N$

Якщо я думаю, що одного дня я хочу бачити протокол, реалізований в лабораторії, я дуже дбаю про оптимізацію цих коефіцієнтів масштабування, а не просто про широку функціональність масштабування, тому що чим швидше я можу реалізувати протокол, тим менше шансів це для шуму, щоб зійти і зіпсувати все.

Детальна інформація

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ Є деякі цікаві особливості цього гамильтониана, я вважаю розрахунок полегшить. Зокрема, Гамільтоніан має структуру підпростору, засновану на кількості 1s у стандартній основі (кажуть, що це збереження збудження), а ще краще, перетворення Йордана-Вігнера показує, що всі властивості підпросторів вищого збудження можуть бути отримані з підпростору 1-збудження. $N\times N$ $h$ $2^N\times 2^N$ $H$ , де Є деякі докази того, що швидкість Ліба-Робінсона , така як тут і тут , але всі вони використовують близьку до рівномірно зв'язаної ланцюга, яка має групову швидкість (і я припускаю, що швидкість групи тісно пов'язана з Швидкість Ліба-Робінсона). Це не доводить, що всі можливі варіанти сили з'єднання мають настільки обмежену швидкість.

h = \sum_{n = 1}^{N} B_{n} | n ⟩ ⟨ n | + \sum_{n = 1}^{N - 1} J_{n} (| n ⟩ ⟨ n + 1 | + | n + 1 ⟩ ⟨ n |) .

$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$

v = 2 J

$v=2J$

2 J

$2J$

Я можу трохи додати мотивацію. Розглянемо еволюцію часу одного збудження, що починається з одного кінця ланцюга, , і яка його амплітуда для надходження на інший кінець ланцюга , за короткий час пізніше. Для першого порядку в це Ви можете бачити експоненціальну функціональність, яку ви очікували б поза «світловим конусом», визначеним системою Ліба-Робінсона, але що ще важливіше, якби ви хотіли досягти максимальної амплітуди, ви встановили б усі $\ket{1}$ $\ket{N}$ $\delta t$ $\delta t$

⟨ N | e^{- i h δ t} | 1 ⟩ = \frac{δ t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} + O (δ t^{N}) .

$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$

J_{n} = J

$J_n=J$ . Отже, за короткий час рівномірно пов'язана система призводить до найбільш швидкої передачі. Намагаючись просунути це далі, ви можете трохи запитати, коли можна великої граничної та використання формули Стірлінга на факторіалі призводить до що говорить про максимальну швидкість приблизно . Близький, але навряд чи суворий (оскільки умови вищого порядку є незначними)!

\frac{t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} \sim 1

$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$

N

$N$

\frac{e t J}{N - 1} \sim 1,

$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$

e J

$eJ$

simulation performance many-body-systems

— DaftWullie
джерело

Ви обчислили найкращі межі LR з доказів для цієї моделі? Як вона порівнюється зі швидкістю, яку ви цитуєте?

— Норберт Шуч

Гаразд, я визнаю, що це питання квантових обчислень, принаймні так, як я його інтерпретую зараз: "Який вибір та (за умови певних обмежень), який дає максимальну швидкість передачі інформації / стану / ... " --- Це правильне тлумачення?

J_{n}

$J_n$

B_{n}

$B_n$

— Норберт Шуч

@NorbertSchuch Не зовсім. Я хочу бути в змозі сказати: "Я придумав набір муфт, який досягає протоколу з певним масштабуванням. Цей протокол, як відомо, обмежений межами Ліба-Робінсона. Наскільки я близький до насичення цього обмеження?" як міру швидкості мого протоколу.

— DaftWullie

@DaftWullie Отже - у вас запитання: «Наскільки я близький до того, щоб бути оптимальним», або «Наскільки я близький до якогось зв’язаного (з можливістю найтяжчого)»?

— Норберт Шуч

@ user1271772 Це правильно.

B (t) = e^{- i H t} B (0) e^{i H t}

$B(t)=e^{-iHt}B(0)e^{iHt}$

— DaftWullie

Дозвольте спершу відповісти на загальне питання, як отримати досить тугу швидкість Ліба-Робінсона (LR), коли ви стикаєтесь із загальною локально взаємодіючою решітковою моделлю, а потім я повернусь до 1D-моделі XY у вашому запитанні, що дуже спеціальні, щоб бути точно вирішуваними.

Загальний метод

Метод отримання найбільш жорсткого зв'язаного на сьогоднішній день (для загальної моделі взаємодії короткого діапазону) введено в Ref1 = arXiv: 1908.03997 . Основна думка полягає в тому, що норма нерівного комутатора часуміж довільними локальними операторами може бути верхньо обмежена рішенням набору лінійних диференціальних рівнянь першого порядку, що живуть на графіку комутативності моделі. Графік комутативності, введений у сек. II A Ref1, легко вивести з моделі Гамільтонів і призначений для відображення комутаційних зв’язків між різними локальними операторами, представленими в $\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$ $\hat{H}$ $\hat{H}$ . В інваріантних системах перекладу цей набір диференціальних рівнянь можна легко вирішити шляхом перетворення Фур'є, і верхня межа швидкості LR може бути обчислена з найбільшої власної частоти використовуючи Рівень (31) з Ref1 . Далі я застосую цей метод до моделі 1D XY як педагогічний приклад. Для простоти я зупинюся на випадку, незалежному від часу та інваріантному перекладі , (отримана межа не залежить від знаків $\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$ $|B_n|=B>0$ $|J_n|=J>0$ $B_n,J_n$ ). Для неінваріантного випадку, залежного від часу, ви можете або розв'язати диференціальне рівняння чисельно (що є простою обчислювальною задачею для систем тисяч сайтів), або ви можете використовувати загальну верхню межу і переходимо до використання наведеного нижче методу (але це трохи погіршує герметичність порівняно з числовим методом). $|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$

Спочатку ми малюємо графік комутативності, як показано нижче. Кожен оператор у гамільтоніані ~ ( , , ) представлений вершиною, і ми дві вершини, якщо і тільки якщо відповідні оператори не комутують ( або, у поточному випадку, проти коммутації). $X_{n}X_{n+1}$ $Y_nY_{n+1}$ $Z_n$
Потім запишіть диференціальні рівняння (10) від Ref1 :
$\begin{array}{rcl} {\dot{\bar{γ}}}_{α, n} & = & J [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n + 1} (t)] + B [{\bar{γ}}_{3, n} (t) + {\bar{γ}}_{3, n + 1} (t)], α = 1, 2, \\ {\dot{\bar{γ}}}_{3, n} & = & J \sum_{α = 1, 2} [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n} (t)] . \end{array}$ $\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$
Фур’є, перетворюючи вищевказане рівняння, маємо Властиві частоти - . Швидкість LR задається рівнянням (31) від Ref1 : де
$\frac{d}{d t} (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 J \cos k & 0 & B (1 + e^{i k}) \\ 0 & 2 J \cos k & B (1 + e^{i k}) \\ J (1 + e^{- i k}) & J (1 + e^{- i k}) & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) .$ $\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$ $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ $v_{LR} \leq min_{κ > 0} \frac{ω_{max} (i κ)}{κ} = Z_{\frac{B}{2 J}} J,$ $v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$ $Z_{y} \equiv min_{κ > 0} \frac{\cosh κ + \sqrt{\cosh^{2} κ + 4 y (1 + \cosh κ)}}{κ} .$ $\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$

Примітка. Ця межа відрізняється, коли , тоді як швидкість поширення фізичної інформації залишається кінцевою. Ми можемо позбутися цієї проблеми за допомогою методу в сек. VI від Ref1 . Результатом є у цій межі, де визначається як рішення рівняння . $B/J\to \infty$ $v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$ $\mathcal{X}_y$ $x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$

Межі швидкості для деяких класичних моделей

Вищеописаний метод є абсолютно загальним. У випадку, якщо вас цікавить більше, я перерахував межі швидкості для деяких класичних моделей у наступній таблиці, отримані аналогічно. Зауважте, що швидкість LR є верхньою межею найменшою з усіх перерахованих виразів (тому в різних областях параметрів слід використовувати різні вирази). Функція визначається як найбільший коріньВсі параметри вважаються позитивними (просто прийміть абсолютне значення для від'ємних випадків). $v_{\text{LR}}$ $F(J_x,J_y,J_z)$ $x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$

\begin{array}{cl} Model & v_{LR} \\ d -dimensional TFIM & 2 X_{0} \sqrt{d J h} = 3.02 \sqrt{d J h} \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩} X_{m} X_{n} + h \sum_{n} Z_{n} & 4 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 8.93 d J \\ 4 X_{0} d h = 6.04 d h \\ d -dimensional Fermi-Hubbard & 2 X_{\frac{3 U}{4 d J}} d J \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩, s =↑, ↓} (a_{m, s}^{†} a_{n, s} + H . c .) & 8 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 17.9 d J \\ + U \sum_{n} a_{n ↑}^{†} a_{n ↑} a_{n ↓}^{†} a_{n ↓} & Z_{U / J} J (d = 1) \\ 1D Heisenberg XYZ & 4 X_{0} F (J_{x}, J_{y}, J_{z}) \\ \hat{H} = \sum_{n} (J_{x} X_{n} X_{n + 1} + J_{y} Y_{n} Y_{n + 1} + J_{z} Z_{n} Z_{n + 1}) & 34.6 max {J_{x}, J_{y}} \end{array}

$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$

Щодо гарних цих меж, я взагалі не досліджував, але для 1D TFIM у критичній точці точне рішення дає , тоді як вищевказане обмеження дає . Аналогічно, в точці FH і точка Гейзенберга XYZ, вищевказана межа є більшою за точний розв'язок на коефіцієнт . [Насправді в цих спеціальних точках останні два еквівалентні роз'єднаним ланцюгам TFIM, про що можна безпосередньо судити з їх графіку комутативності.] $J=h$ $v_{\text{LR}}=2J$ $2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$ $U=0$ $J_x=J_y,J_z=0$ $\mathcal{X}_0\approx 1.50888$

Щільніша прив'язка для 1D XY шляхом відображення до вільних ферміонів

Тепер поговоримо докладніше про модель 1D XY. Як ви помітили, це точно вирішується, відображаючи вільні ферміони: Загалом вам потрібно вирішити проблему вільного ферміона чисельно, але дозвольте зазначити два особливих випадки, які можна прослідкувати аналітично.

\hat{H} = \sum_{n} B_{n} (a_{n}^{†} a_{n} - 1 / 2) + \sum_{n} J_{n} (a_{n}^{†} a_{n + 1} + H . c .) .

$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$

B_{n} (t), J_{n} (t)

$B_n(t),J_n(t)$

$B_n(t)=B,J_n(t)=J$ є фіксованими та інваріантними перекладами. Тоді точне рішення - де - функція Бесселя порядку. Отже швидкість LR .
$\begin{array}{rcl} a_{n} (t) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} {\tilde{a}}_{k} e^{- i 2 J t \cos k} e^{i k x} d k \\ = & \sum_{m} J_{| n - m |} (2 J t) a_{m} (0), \end{array}$ $\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$ $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$ $|n-m|$ $\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$
$B_n,J_n$ є фіксованими в часі, але є абсолютно випадковими (загартований розлад). Тоді через локалізацію багатьох тіл (або локалізацію Андерсона на малюнку Ферміона) інформація не поширюється в цій системі, тому . Більш суворо, в arXiv: quant-ph / 0703209 , для невпорядкованого випадку доведено таке обмеження: з уповільнюючим логарифмічним світловим конусом . $v_{\text{LR}}=0$
$[A_{X} (t), B_{Y} (0)] \leq c o n s t . t e^{- d_{X Y} / ξ},$ $[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$ $d_{XY}=\xi \ln t$

— Лагренг
джерело

Чи слід робити висновок з того, що ви говорите, що для кожної моделі (включаючи і без інваріантності перекладу) з , швидкість ?

X Y

$XY$

| J_{n} | \leq J

$|J_n|\leq J$

v_{L R}^{X Y} \leq 2 J

$v_{LR}^{XY}\leq 2J$

— DaftWullie

@DaftWullie Ні, ви можете використовувати лише загальну верхню межу для параметрів у загальному методі, оскільки загальний метод завжди дає межу, яка абсолютно не зменшується в абсолютному значенні будь-якого коефіцієнта. Зв'язаний виходить із точного розчину вільного ферміона, в якому не можна використовувати загальну верхню межу для параметрів, і доводиться вирішувати кожен випадок. Якщо є інваріантним для перекладу, то ви можете встановити в загальному методі, оскільки член рухається з , і отримуйте .

2 J

$2J$

B_{n} (t)

$B_n(t)$

B = 0

$B=0$

B

$B$

\hat{H}

$\hat{H}$

v_{LR} \leq 2 X_{0} J = 3.02 J

$v_{\text{LR}}\leq 2\mathcal{X}_0 J=3.02 J$

— Лагренг

@DaftWullie Шановний DaftWullie, якщо ти вважаєш, що у моїй відповіді все ще не вистачає, або будь-який момент все ще незрозумілий, будь ласка, дай мені знати.

— Лагренг

відповідь виглядає потенційно корисною. Я ще не встиг переглянути ваші документи (це може пройти пару тижнів). Якщо припустити, що я все розумію добре, саме тоді я прийму вашу відповідь.

— DaftWullie