Альтернатива Bloch-сфері представляти єдиний кубіт

Для того, щоб представити єдиний кубіт $|\psi\rangle$ ми використовуємо унітарний вектор в $\mathbb{C}^2$ гільбертовому просторі, (один з) ортонормированного базису є $(|0\rangle, |1\rangle)$ .

Ми можемо намалювати $|\psi\rangle$ використовуючи м'яч Блоха . Однак я вважав це позначення досить заплутаним, оскільки ортогональні вектори є просторово антипаралельними ( коротке пояснення у цьому питанні щодо фізики Stackexchange ).

Чи знаєте ви якесь інше графічне зображення для одного кубіта?

У посиланні, що міститься у вашому запитанні, про інше запитання, написане користувачем098876, "Розуміння сфери Блоха", Даніель робить корисний коментар:

"Нанесення точок на сферу для відображення стану квантової дворівневої системи не означає, що ви повинні вважати ці точки справжніми векторами в тривимірному просторі. - DanielSank 3 вересня '15 о 20:17".

Пояснене пояснення: це двостороння площина (або дві площини), спроектовані на сферу.

"Я вважав це позначення досить заплутаним, оскільки ортогональні вектори є просторово антипаралельними ( коротке пояснення у цьому питанні щодо Physics Stackexchange ). Чи знаєте ви якесь інше графічне зображення для одного кубіта?"

Проводиться ряд зусиль для створення більш загального представлення, яке поширюється від кубітів до квітів. Це пояснення та подання за допомогою сфери Majorana не настільки різне , це все-таки сфера, але, можливо, вона менш заплутана:

Для кубітів у сфері Majorana див .: " N-кубіт станів як точки на сфері Bloch ".

"Анотація. Ми показуємо, як представлення мажорани можна використовувати для вираження чистих станів N-кубітної системи ... На закінчення, представлення мажорани корисно при вивченні частинок спін- , тоді як альтернативне подання є кращим, коли обговорюються стану N- кубітної системи, окрім сприяння візуалізації N- кубітних станів та способів їх перетворення в обертаннях та інших операціях, останнє представлення може також допомогти визначити деякі спеціальні N- кубітні стани, як, наприклад, представлення Majorana в контекст спінорних конденсатів Бозе-Ейнштейна. "$S$$N$$N$$N$

Дивіться: " Представлення Majorana, qutrit простір Гільберта та реалізація ЯМР воріт qutrit ":

Сторінка 1:

"Сфера Блоха забезпечує подання квантових станів одного кубіта на (одинична сфера в трьох реальних вимірах), із чистими станами, відображеними на поверхні, і змішаними станами, що лежать у внутрішніх приміщеннях. Це геометричне зображення корисне в забезпечення візуалізації квантових станів та їх перетворень, особливо у випадку квантових обчислень на основі ЯМР, де спін- 1$\mathcal S^2$$\frac{1}{2}$ намагніченість та її перетворення за допомогою ЯМР rf імпульсів візуалізується на сфері Блоха. Існувало кілька пропозицій щодо геометричного зображення для квантових систем вищого рівня, проте розширення картини, подібної до Блоха, на вищі спини не є однозначною. Майорана запропонувала геометричне зображення, в якому, чистий стан спина '' представленеточками'2s' на поверхні одиничної сфери, що називається сферою Majorana.$s$$_s$

Подання майорановского для систем знайшло широке застосування , наприклад , як визначення геометричній фази спинив, що становить N СПІНОР на N точки, геометричне уявлення мульти-кубіт заплутаних станів, статистику хаотичних систем квантових динамічних і характеризують поляризоване світло. Одиночний кюрит (трирівнева квантова система) має особливе значення в квантових схемах квантування ( d -рівень квантової системи) . Кютрит - це найменша система, яка виявляє притаманні квантові особливості, такі як контекстуальність, яку, як можна було зрозуміти, є ресурсом для квантових обчислень . Квантові обчислення ЯМР можна виконати за допомогою ядер зі спіном s> 1$s$$N$$N$$d$$\frac{1}{2}$ або може бути змодельована двома або більше сполученими спинами-$\frac{1}{2}$ ядра. У цій роботі ми використовуємо опис сфери Majorana одного qutrit, де стани qutrit представлені парою точок на одиничній сфері для надання розуміння простору стану qutrit.

Сторінка 5:

Величина вектора намагніченості → М | в чистому ансамблі одного квадрату можна приймати значення в діапазоні [ 0 , 1 ] . Навпаки, чистий ансамбль кубіта завжди має одиничну величину пов'язаного з ним вектора намагніченості$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$ . Геометричне зображення одинарного вектора намагніченості в кватрі забезпечується поданням Мажорана. Значення → М | залежить від довжини бісектриси O O ′ і лежить вздовж $\vert-$$\vec{M}$$\vert$$OO'$$z$-ось і має ротаційний інваріант. Таким чином, відповідно до заданого значення довжини бісектриси, можна вважати концентричні сфери з постійно змінюються радіусами, поверхні яких є поверхнями постійної намагніченості. Радіуси цих сфер дорівнюють → М | , які варіюються в межах [ 0 , 1 ] .$\vert-$$\vec{M}$$\vert$$[0,1]$

Сторінка 10:

ЗАКЛЮЧНІ ЗАУВАЖЕННЯ

У цій роботі описано геометричне зображення кютріту, де стани кватріту представлені двома точками на одиничній сфері відповідно до подання Майорани. Отримана параметризація одноквадритних станів для генерації довільних станів з однопараметричного сімейства канонічних станів за допомогою дії . Вектор намагніченостіспіна- 1 був представлений у сфері мажорана, і стани були ідентифіковані як "вказівні" або "невказуючі" залежно від нульового або ненульового значення намагніченості спіна. Перетворення, породжені дією S U ( 3 $SO(3)$$1$$SU(3)$генератори також були інтегровані в геометричну картину Майорана. На відміну від кубітів, розкладання одноквартних квантових воріт за допомогою радіочастотних імпульсів не є простим, і представлення сфери мажорана дає спосіб геометрично описати ці ворота. Ретельні спостереження за динамікою точок, що представляють кютрит на сферу Майорана під дією різних квантових воріт, були використані для отримання розкладання імпульсів rf, а основні одноквартні ворота були експериментально реалізовані за допомогою ЯМР.

Фіг. 1. Кутрит на мажоранській кулі представлений двома точками і P 2 , з'єднаними з центром сфери лініями, показаними червоним і синім кольорами відповідно. θ 1 , ϕ 1 - полярний і азимутальний кути, відповідні точці P 1 ( θ 2 , ϕ 2 - кути для точки P 2 ). (a) Коріння многочлена мажорани показані в площині z = 0 точками P ′ 1 і P ′ $P_1$$P_2$$\theta_1$$\phi_1$$P_1$$\theta_2$$\phi_2$$P_2$$z = 0$$P'_1$$P'_2$, стереографічна проекція якої породжує уявлення мажорана. Показано три приклади, що відповідають мажоранському представленню базисних векторів з одноквартними , ( з $(b)\;\vert+1\rangle$ і ( д $(c)\;\vert0\rangle$ . Одна з точок зображена суцільним (червоним) колом, а інша точка - порожнім (синім) колом.$(d)\;\vert-1\rangle$

Дивіться: " Представлення мажорана вищих спинових держав " (.PDF) від Wheeler (Веб-сайт) або " Томографія Вігнера з багатоквартирними квантовими станами ":

Як виглядає використання томографії - "У цій роботі ми теоретично розробляємо схему томографії для сферичних функцій довільних багатоквартирних квантових станів. Ми вивчаємо експериментальні схеми реконструкції узагальненого представлення Вігнера заданого оператора щільності (що представляє змішані чи чисті квантові стани ) ".

Порівняйте це зі складністю сфери Блоха, зображеною в: " Блох-сфера представлення тривершинних геометричних фаз ". Форма однакова, це все, як ви візуалізуєте використану проекцію.

Ось менш зайняте зображення:

Подумайте про сферу Блоха, розрізану навпіл дуже великим аркушем паперу. На краю паперу (нескінченності) будь-яка точка у верхній частині аркуша проводить лінію до (нескінченності) вершини кулі (нижня частина кулі для нижньої сторони аркуша). Точки, найближчі до центру паперу (змішані стани), проводять лінії до центру сфери. Це являє собою відстань до нескінченності на крихітному кулі, кубіт / квідит - кінцевий, тому папір не такий великий.

Тепер намалюйте точки на 2D папері, намалюйте лінії від паперу до кулі, вийміть папір і подивіться на чи через чіткий кульку, щоб побачити іншу кінцеву точку лінії.

Набагато точніше і складніше пояснення пропонується у посиланнях вище.

Додавши до того, що @pyramids передав у своїй відповіді :

Стан кубіта, як правило, записується як , де α , β ∈ C і | α | 2 + | β | 2 = 1 .$\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$\alpha, \beta \in \Bbb{C}$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

- чотиривимірний векторний простір, над полем дійсних чисел. Оскількибудь- n n- мірний реальний векторний простір ізоморфний R n ( R ) , ви можете представляти будь-який стан кубіта як точку в4-мірному реальному просторі, базовими векторами якого ви можете вважати(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,$\Bbb{C}^2(\Bbb{R})$$n$$\Bbb{R}^n(\Bbb{R})$$4$ . У такому випадку стан кубіта буде представлено у вигляді ( 1 , 0 , 0 , 0 ) + b ( 0 , 1 , 0 , 0 ) + c ( 0 , 0 , 1 , 0 ) + d ( 0 , 0 , 0 , 1 $(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$.

Скажіть, (де a , b ∈ R ) і β = c + i d (де c , d ∈ R ). Вам потрібна умова | a + i b $\alpha = a + i b$$a,b\in \Bbb{R}$$\beta = c + id$$c,d\in \Bbb{R}$ , яким слід задовольнити, що означає, що стан кубіта буде точкою на3-кулі.$|a+ib|^2+|c+id|^2=1\implies a^2+b^2+c^2+d^2=1$

Як відомо, складно ефективно зобразити мірний простір на 2- мірній поверхні, як папір або ваш екран. Отже, ви не бачите, що представлення використовується часто. Куля Bloch є набагато найбільш ефективним представленням там (для одного кубіта), оскільки вона зменшує один ступінь свободи (із складних чисел α , β, кожне з яких має два ступені свободи) через те, що стан кубіта зазвичай нормалізується до величини 1, тобто | α $4$$2$$\alpha,\beta$$1$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$.

Тепер, використовуючи координати Хопфа , скажімо:

$$\alpha = e^{i\psi}\cos(\theta/2)$$

$$\beta = e^{i(\psi+\phi)}\sin(\theta/2)$$

Тут може працювати від 0 до π, тоді як ψ і ϕ + ψ можуть приймати значення від 0 до π .$\theta$$0$$\pi$$\psi$$\phi+\psi$$0$$\pi$

$\theta/2$$\theta$

$\psi,\phi,\theta$

$\phi$$\alpha$$\beta$$\psi$$\alpha,\beta$$\phi$$\psi$$\alpha,\beta$$|e^{i\varphi}|=1$$\varphi$$\psi$$\alpha,\beta$ і ми можемо довільно вибирати $\alpha$ to be real by eliminating the factor of $e^{i\psi}$.

Thus we end up with:

$$\alpha = \cos(\theta/2)$$ and $$\beta=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$$ Where $\theta$ can run from $0$ to $\pi$, and $\phi$ can run from $0$ to $2\pi$.

This practical simplification allows you to represent a qubit's state using just $2$ degrees of freedom on $3$-dimensional spherical surface having unit radius, which again can again efficiently be "drawn" on a $2$-dimensional surface, as shown in the following image.

Mathematically, it is not possible to reduce the degrees of freedom any further, and so, I'd say there is no other "more efficient" geometrical representation of a single qubit than the Bloch sphere.

_{Source: Wikipedia:Bloch_Sphere}

The Bloch sphere historically came about to describe spins where up and down can actually be viewed as being (anti)parallel rather than (mathematically) orthogonal.

You can naturally (and perhaps more naturally!) depict a qubit's state in a way that orthogonal states are indeed orthogonal. Then a pure 1-qubit state occupies a point on the surface of a 4-dimensional sphere.

(Firstly, the "reputation points" requirement is stupid - this remark should be a comment on the previous post.)

A single qubit in a pure state has 2 real degrees of freedom, not 3, when you quotient out both magnitude and phase (i.e., complex normalization). So, most reasonable two-dimensional surfaces could be used (e.g., the 2-sphere or anything topologically equivalent).

Finding a useful representation is another story. The Bloch sphere has a natural extension to mixed states (which have 3 degrees of freedom), whereas this does not appear to be the case otherwise..