Що означає заплутати два кубіти?

Я провів якісь онлайн-дослідження щодо кубітів та факторів, які роблять їх сумнозвісними, тобто дозволяють кубітам одночасно утримувати 1 і 0, а інше - кубіти можна якось переплутати, щоб вони могли мати в них пов'язані дані незалежно від того, наскільки далеко вони є (навіть на протилежних сторонах галактик).

Читаючи про це у Вікіпедії, я побачив якесь рівняння, яке мені ще важко зрозуміти. Ось посилання на Вікіпедію .

Запитання:

1. Як вони заплутуються в першу чергу?

2. Як вони співвідносять свої дані?

Для простого прикладу припустимо, у вас є два кубіти у визначених станах і | 0 ⟩ . Комбінований стан системи є | 0 ⟩ ⊗ | 0 ⟩ або | 00 ⟩ в стенографії.$|0\rangle$$|0\rangle$$|0\rangle\otimes |0\rangle$$|00\rangle$

Тоді, якщо ми застосуємо до кубітів наступні оператори (зображення вирізане із сторінки вікі надмірного кодування ), отриманий стан є заплутаним станом, одним із станів дзвону .

По-перше, на зображенні у нас є гамамарові ворота, що діють на перший кубіт, який у більш довгій формі є так що це оператор ідентичності на другому кубіті.$H\otimes I$

Матриця гадамара виглядає як де впорядковано основу{| 0⟩,| 1⟩}.

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $\{|0\rangle,|1\rangle\}$

Тож після дії оператора гадамард держава зараз є

$$(H\otimes I)(|0\rangle\otimes|0\rangle)=H|0\rangle\otimes I |0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes (|0\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle)$$

Наступна частина схеми - це керований не затвор, який діє лише на другий кубіт, якщо перший кубіт є .$1$

Ви можете представляти як | 0 ⟩ ⟨ 0 | ⊗ I + | 1 ⟩ ⟨ 1 | ⊗ X , де | 0 ⟩ ⟨ 0 | є оператором проекції на біт 0 або в матричній формі ( 1 0 0 0 ) . Аналогічно | 1 ⟩ ⟨ 1 | є ( 0 0 0 1 ) .$CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$|0\rangle\langle0|$$0$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle\langle1|$$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Оператор - це оператор бітового перевороту, представлений у вигляді ( 0 1 1 0$X$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Загалом матриця становить ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0$CNOT$$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\0 & 0 &1 & 0 \\\end{pmatrix}$

Коли ми застосовуємо ми можемо використовувати матричне множення, записуючи наш стан як вектор ( $CNOT$, або ми можемо просто використовувати форму виробу тензора.$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\0 \end{pmatrix}$

$$CNOT (\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle))=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

Ми бачимо, що для першої частини держави перший біт дорівнює 0 , тому другий біт залишили в спокої; друга частина держави | 10 ⟩ перший біт дорівнює 1 , так що другий біт перевертається від 0 до $|00\rangle$$0$$|10\rangle$$1$$0$$1$ .

Наш остаточний стан -

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$ , який є одним з чотирьох станів Bell , які максимально заплутані стану.

$0$$0$

Порівняйте, наприклад, із цим станом:

$$\frac{1}{2}(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle).$$

$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|01\rangle)$$0$$1$

$0$$1$

---

Оновлення 1: Міні-посібник із позначення QM / QC / Dirac

$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$\mathcal{H}=\operatorname{span}\{|0\rangle,|1\rangle\}$ є векторний простір.

$|0\rangle$$\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle$$\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$$X$$\sigma_x$$|0\rangle\mapsto |1\rangle$$|1\rangle \mapsto |0\rangle$$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$n$$\mathcal{H}^{\otimes n}:=\overbrace{\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}}^{n-times}$$|0\rangle\otimes|1\rangle\otimes |1\rangle\otimes\ldots \otimes|0\rangle$$|011\ldots0\rangle$

$\mathcal{H}^{\otimes 2}=\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}$$\{|0\rangle\otimes|0\rangle,|0\rangle\otimes|1\rangle,|1\rangle\otimes|0\rangle,|1\rangle\otimes|1\rangle\}$$\{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\}$

$3$

$$\{|000\rangle,|001\rangle,|010\rangle,|011\rangle,|100\rangle,|101\rangle,|110\rangle,|111\rangle\}.$$

$$|0\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

і

$$|0\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

тощо

$$|1\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\1\\0 \end{pmatrix},\quad |1\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

$X_1X_2:=X\otimes X$

$$X_1X_2=X\otimes X=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 0\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &0&0&1\\ 0 &0&1&0\\0 &1&0&0\\1 &0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

$CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$^*$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$CNOT$

$2^n$$n$$8\times 8$$4$$16\times 16$

$^*$$|0\rangle$$\langle 0|$$\langle 0|1\rangle$$|0\rangle$$|1\rangle$$X=|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|$

$P_0=|0\rangle\langle0|$$P^2=P$$P^\dagger=P$

Хоча пов’язана стаття з Вікіпедії намагається використати заплутаність як відмітну особливість від класичної фізики, я думаю, що можна почати певне розуміння щодо заплутаності, дивлячись на класичні речі, де наша інтуїція працює трохи краще ...

Уявіть, що у вас є генератор випадкових чисел, який кожного разу виписує число 0,1,2 або 3. Зазвичай ви робите це однаковою ймовірністю, але ми можемо призначити будь-яку ймовірність кожному результату, який ми хочемо. Наприклад, давайте 1 і 2 з вірогідністю 1/2, а ніколи не даємо 0 або 3. Отже, кожен раз, коли генератор випадкових чисел щось вибирає, він дає 1 або 2, і ви не знаєте заздалегідь, що це відбувається бути. Тепер давайте запишемо ці числа у двійковій формі: 1 як 01, а 2 - як 10. Тоді ми даємо кожен шматочок іншій людині, скажімо, Еліс та Боб. Тепер, коли генератор випадкових чисел набирає значення або 01, або 10, Аліса має одну частину, а Боб - іншу. Отже, Аліса може поглянути на її шматочки, і яке б значення вона не отримала, вона знає, що у Боба є протилежне значення. Ми кажемо, що ці біти ідеально співвідносяться.

$$\left|\psi\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|01\right\rangle-\left|10\right\rangle\right)$$ $\left|\psi\right\rangle$

Різниця полягає в тому, що це справедливо для кожної можливої ​​основи вимірювання, і щоб це було так, результат вимірювання повинен бути непередбачуваним, і саме тут він відрізняється від класичного випадку (можливо, ви хочете прочитати про тести Белла , зокрема тест CHSH ). У класичному прикладі випадкових чисел, який я описав на початку, після того, як генератор випадкових чисел щось вибрав, немає жодної причини, чому його неможливо скопіювати. Хтось ще міг би знати, яку відповідь отримають і Аліса, і Боб. Однак у квантовій версії відповіді, які отримують Аліса та Боб, не є заздалегідь, і тому ніхто інший не може їх знати. Якби хтось їх знав, ці два відповіді не були б ідеально співвіднесеними. Це основа квантового розподілу ключів як це в основному описує можливість виявити наявність підслуховувача.

Щось далі, що може допомогти зрозуміти заплутаність: математично це не відрізняється від суперпозиції, це просто те, що в якийсь момент ви розділяєте накладені частини на велику відстань, і те, що це в певному сенсі важко зробити, означає що розділення надає вам ресурс, з яким ви можете робити цікаві речі. Дійсно, заплутаність - це ресурс того, що можна назвати «розподіленою суперпозицією».

Заплутування - це квантове фізичне явище, продемонстроване в практичних експериментах, математично модельоване в квантовій механіці. Ми можемо придумати кілька творчих спекуляцій про те, що це (філософськи), але наприкінці дня ми просто мусимо це прийняти і довіряти математиці.

З точки зору статистики ми можемо вважати це повним співвідношенням (1 або -1) між двома випадковими змінними (кубітами). Ми можемо не знати попередніх результатів цих змінних, але коли ми виміряємо одну з них, завдяки кореляції, інша буде непередбачуваною. Нещодавно я написав статтю про те, як квантовим заплутуванням керує симулятор квантових обчислень, який також може бути корисним.