Чому важливо, щоб початковий гамільтоніан не мінявся з кінцевим гамільтоніаном в адіабатичних квантових обчисленнях?

Я читав у багатьох джерелах та книгах про адіабатичні квантові обчислення (AQC), що для початкового гамільтонівського важливо, щоб він не спілкувався з кінцевим гамільтоніаном , тобто . Але я ніколи не бачив аргументу, чому це так важливо.$\hat{H}_i$ [ Н я, Н е]≠$\hat{H}_f$$\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

Якщо припустити лінійну залежність від часу, то гамільтоніан AQC є де - адіабатична шкала часу.

Отже, моє запитання таке: Чому важливо, щоб початковий гамільтоніан не переміщався з кінцевим гамільтоніаном?

У адіабатичному QC ви кодуєте свою проблему в гамільтоніані таким чином, що ваш результат можна отримати з основного стану. Підготувати цей основний стан важко безпосередньо, тому замість цього ви підготуєте основний стан «легкого» гамільтониана, а потім повільно інтерполюєте між ними. Якщо ви рухаєтесь досить повільно, стан вашої системи залишатиметься в основному стані. Наприкінці процесу ви отримаєте рішення.

Це працює згідно з теоремою про Адіабати . Для виконання теореми повинен бути енергетичний розрив між основним станом та першим збудженим станом. Чим менше зазор стає, тим повільніше потрібно інтерполювати, щоб запобігти змішанню між основним та першим збудженим станами. Якщо зазор закриється, подібне перемішування не може запобігти, і ви не можете пройти досить повільно. Процедура не вдається в цей момент.

Якщо початковий і кінцевий гамільтонові маршрути, це означає, що вони мають однакові енергетичні властивості. Тож вони домовляються про те, яким державам призначається енергія, і лише не згодні з отриманими енергіями. Інтерполяція між двома Гамільтонянами просто змінює енергії. Таким чином, кінцевий основний стан був би збудженим станом на початку, а вихідний основний стан в кінці збуджується. У якийсь момент, проходячи один біля одного, енергії цих станів будуть рівні, і тому щілина між ними закривається. Цього достатньо, щоб побачити, що енергетичний розрив повинен закритися в якийсь момент.

Отже, наявність гамільтоніян, які не виїжджають із пасажирів, є необхідною умовою збереження розриву, а отже, і для AQC.

Якщо дві матриці (в даному випадку гамільтоніани) комутуються, вони мають однакові вектори. Отже, якщо ви підготуєте основний стан першого гамільтоніана, то це (грубо кажучи) залишатиметься власним станом протягом усієї адіабатичної еволюції, і таким чином ви вийдете саме з того, що вкладаєте. Цього немає для цього значення.

Якщо ви хочете бути трохи більш суворими, то, можливо, ваш початковий гамільтоніан має виродження, яке піднімається другим гамільтоніаном, і ви можете сподіватися змусити систему перетворитися в унікальний наземний стан. Зауважте, однак, що виродження піднімається миттєво, є не нульова кількість другого гамільтонина. Який би ефект не був миттєвим. Я вважаю, що ви не отримаєте належної адіабатичної еволюції. Натомість ви повинні написати свій початковий стан як суперпозицію нових власних держав, і вони починають розвиватися з часом, але ви ніколи не збільшуєте накладення свого стану з цільовим станом (основним станом).

$\sigma^Z$$t$

Більше того, навіть виходячи за суворі межі AQC (наприклад, квантовий відпал відкритої системи, QAOA тощо), якщо рушійний гамільтоніанський комутується, то він не може викликати переходи між власними станами проблеми Гамільтоніана, а лише змінить фазу амплітуд у хвильовій функції ; і ви хочете, щоб драйвер, який здатний викликати віджимання, щоб вивчити простір пошуку.

$H_i$$H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H_i$$|1\rangle$$H_f$$|0\rangle$

$\epsilon$
$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

Це дано та пояснено у рівнянні. 2 Tanburn et al. (2015) .

• Скажімо, ми хочемо .$\epsilon = 0.1$
• Зауважте, що відповідно до рівняння. 4 того ж паперу.$||H_i - H_f||^2 = 0.1$
• Зауважте, що (я вибрав щоб це сталося, але це не має значення).$\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$$\epsilon$
• Тепер у нас є$\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

Отже, який мінімальний розрив між основним та першим збудженим станом (який дає )? Коли , гамільтоніан дорівнює:$\max_t$
$t=20\tau/29$

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

Тому , коли , ми маємо , а нижня межа на , по суті .Ega$t=\frac{20}{29}\tau$$E_{\rm{gap}}=0$$\tau$$\infty$

Отже, теорія про адіабати все ще застосовується, але коли в ній йдеться про те, що Гамільтоніану потрібно змінюватись "досить повільно", виявляється, що йому потрібно змінюватись "нескінченно повільно", а це означає, що ви, швидше за все, не отримаєте відповіді за допомогою AQC.