Як слідкувати за заплутуваннями при емуляції квантових обчислень?

Я намагаюся створити бібліотеку квантових обчислень як мій університетський проект. Я все ще вивчаю всі аспекти галузі квантових обчислень. Я знаю, що вже існують ефективні бібліотеки для квантової емуляції. Я просто хочу зробити своє, що допоможе мені зрозуміти деякі основні поняття квантових обчислень.

я знаю це $n$ кубіти можна зберігати за допомогою $2^n$елемент складного масиву. Також, a$n$ кубітна брама - це $2^n \times 2^n$2D масив. Отже, мої сумніви (в основному пов'язані із заплутуванням):

1. Коли мені потрібно знайти тензорний виріб воріт (наприклад $I \otimes H \otimes I$, для $3$кубітна система)? Чи завжди потрібно обчислити тензорний добуток порядку$2^n \times 2^n$, навіть якщо кубіти не заплуталися?

2. Маючи лише a $2^n$Елемент масиву (в якому я зберігаю коефіцієнти), чи можу я якось якось обчислити, які кубіти заплутані? Або мені потрібно зробити іншу структуру даних, щоб зберігати інформацію про заплутаність моєї$n$ кубіти (про які кубіти заплуталися)?

3. Чи моє 2-е питання насправді актуальне? Чи потрібно взагалі відслідковувати інформацію про заплутаність? Я маю на увазі, я не знаю, чи достатньо множення воріт із коефіцієнтами (навіть якщо система заплутана). Можливо, це актуально лише під час вимірювання.

Безумовно, достатньо завжди обчислювати повне $2^n\times 2^n$ унітарна матриця, а потім застосуйте її до $2^n$-вкладний вектор стану. Якщо це ви вирішили зробити, це все, що вам потрібно зробити, оскільки вся інформація про заплутування міститься в цьому векторі. Швидкий і простий спосіб зрозуміти, чи заплутався той чи інший кубіт - це простежити частковий слід вашого (чистого) вектора стану над усіма іншими кубітами. Якщо отримана матриця має ранг 1, цей кубіт знаходиться в роздільному стані, інакше він заплутаний.

Я припускаю, що питання вашого питання насправді "Як можна уникнути цієї величезної обчислювальної вартості?". Взагалі, це не може - якщо ви використовуєте повну потужність квантового комп'ютера, вам завжди знадобиться це$2^n$-вкладний вектор стану. Однак існують різні хитрощі, які знижують обчислювальні витрати, такі як затримка потреби в такому великому векторі стану шляхом відстеження заплутаності.

Підвищення ефективності

Найбільша економія, яку ви можете зробити в порівнянні з наївним реалізацією вище, - це уникати $2^n\times 2^n$унітарні матриці. Наприклад, якщо ви використовуєте лише 1-або 2-кубітні ворота, просто використання розрідженості матриць означає, що вам потрібно лише$O(2^n)$ зберігання замість $O(2^{2n})$.

Тоді є інші тактики, які ви можете використовувати. Наприклад, уявіть, що ви хочете застосувати унітарні двері з двома кубітами$U$ на кубітах $i$ і $j$. Ви можете взяти набори з 4 елементів із вашого вектора стану ($|x\rangle_{1,2,\ldots n\setminus i,j}|y\rangle_{i,j}$ для фіксованих $x\in\{0,1\}^{n-2}$ приймаючи всіх різних $y\in\{0,1\}^2$) та просто застосування $4\times 4$ унітарний $U$на цьому 4-елементному векторі. Повторюючи це для кожного$x$ повернеться $U$ діє на вихідний вектор стану.

Я думаю, є й інші стратегії, які можна було б придумати. Той, який запропонував себе з оригінального питання, - це відстеження заплутаності. Це забезпечує покращення пам’яті та швидкості на початку обчислення, але в кінцевому підсумку стає рівноцінним, оскільки (імовірно) все в квантовому комп’ютері в кінцевому підсумку заплутається.

Відстеження заплутаності

Припустимо, що ваше обчислення складається лише з унітарної еволюції та вимірювання на множині$n$ кубіти, тобто немає декогерентності, імовірнісних карт тощо. Давайте припустимо, що ви починаєте з повністю відокремленого стану, такого як $|0\rangle^{\otimes n}$. У цей момент кожен кубіт відокремлений, і його достатньо для утримання$n$різні регістри, кожен з яких передає стан відокремленого кубіта. Якщо ваш перший хвірт - це лише операція з одним кубітом$U$ на кубіт $i$, тоді ви просто оновите стан, збережений на кубіті $i$ як $|\psi_i\rangle\mapsto U|\psi_i\rangle$, і більше нічого не потрібно чіпати.

Якщо ви хочете зробити двоквітні ворота $V$ між кубітами $i$ і $j$, скажімо, тоді вам доведеться поєднувати штати на обох сайтах. Отже, ви замінюєте два регістри розмірності 2 на один регістр розмірності 4, що містить стан$V|\psi_i\rangle|\psi_j\rangle$. Проблема полягає в тому, що тепер ви не можете знову розділити цей стан, тому вам доведеться зберігати ці два кубіти в реєстрі назавжди після. Звичайно, якщо у вас коли-небудь є 1-кубітна брама$U$ подати заявку на кубіт $i$тепер вам доведеться подати заявку $|\psi_{i,j}\rangle\mapsto U\otimes\mathbb{I}|\psi_{i,j}\rangle$. Потім, наступного разу, коли ви захочете 2-кубітний ворота між, скажімо,$j$ і $k$, вам доведеться поєднати пробіли для $(i,j)$ і $k$. Ці простори будуть постійно зростати, але якщо ворота локалізовані лише на одному просторі, потрібно лише застосувати його там (використовуючи$\mathbb{I}$ оператори розміщують його на решті кубітів), і вам не потрібно нічого робити в інших просторах.

Якщо ви робите такі речі, у вас не буде (принаймні, протягом перших кроків алгоритму) жодного $2^n$реєстр елементів. Вам доведеться мати купу різних регістрів і відслідковувати, які кубіти описуються, які реєструються в окремому масиві. Кожного разу, коли ви поєднуєте пробіли деяких кубітів, ви оновлюватимете цей додатковий масив.

Ось кілька дуже грубих псевдокодів, які можуть допомогти передати мій сенс:

#initialise variables
entangled_blocks={{1},{2},{3},...,{n}}
quantum_states={{1,0},{1,0},...,{1,0}}

#apply action of each gate
for each gate
   for each gate_target
       target_block=entangled_blocks entry containing gate_target
   next gate_target
   if all target_blocks equal then
      apply gate on target_block (pad with identity on other qubits)
   else
      new_entangled_block=union(target_blocks)
      new_state_vec=tensor_product(quantum_states for each target block)
      apply gate on new_state_vec (pad with identity on other qubits)
      replace all target_blocks in entangled_blocks with new_entangled_block
      replace all quantum_states(all target blocks) with new_state_vec
   end if
next gate

Інші параметри

(Ні в якому разі не вичерпний)

Можливо, вам буде цікаво почитати про стани Matrix Product, які є приємним способом інкапсуляції інформації про не надто заплутані стани, і які можуть запропонувати вам альтернативний шлях, залежно від того, що саме ви намагаєтеся досягти.