Чому квантові ворота є унітарними, а не спеціальними унітарними?

11

Зважаючи на те, що глобальні фази станів неможливо фізично розрізнити, чому так виникають, що квантові ланцюги формулюються в термінах одиниць, а не спеціальних одиниць? Одну відповідь я отримав: це просто для зручності, але я все ще не впевнений.

Питання пов'язане з цим: чи є різниці у фізичній реалізації унітарної (математичної матриці) та , скажімо, в частині деяких елементарних воріт? Припустимо, що немає (що я розумію). Тоді фізична реалізація і повинна бути однаковою (просто додайте елементи керування до елементарних воріт). Але потім я вступаю в протиріччя, що і $U$ $V: =e^{i\alpha}U$ $c\text{-}U$ $c\text{-}V$ $c\text{-}U$ $c\text{-}V$ цих двох унітаріїв можуть не бути еквівалентними до фази (як математичні матриці), тому здається правдоподібним, що вони відповідають різним фізичним реалізаціям.

Що я зробив неправильно в своїх міркуваннях, тому що тепер це говорить про те, що і повинні бути реалізовані по-різному, хоча вони є рівнозначними до фази? $U$ $V$

Інший пов'язаний з цим питання (насправді походження моєї плутанини, я був би додатковий вдячний за відповідь на цей): мені здається , що можна використовувати квантову схему для оцінки як модуля і фази комплексного перекриття (див https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016 ). Але це не означає ще раз, що і помірно різні? $\langle\psi|U|\psi\rangle$ $U$ $e^{i\alpha}U$

quantum-gate unitarity

— дкв
джерело

Філософськи точніше сказати натомість проективну унітарну групу

Це тому, що операція полягає в тому, щоб взяти довільну унітарну матрицю і втратити фазу проти підмножини, для якої ця фаза дорівнює

. Карти йдуть

тому вони знаходяться на протилежних сторонах стрілок.

P U

$PU$

1

$1$

S U \to U \to P U

$SU \to U \to PU$

— AHusain

@AHusain Що таке "Карти"? З точки зору Факторізуя, воно буде йти

.

U \to S U \to P U

$U\to SU\to PU$

— Норберт Шуч

№ СУ - це підмножина з визначником 1, тому вона включає в себе карту в U. PU - це коефіцієнт. Можна взяти проективний унітар і дати представника в СУ з визначником 1, але це не автоматично.

— AHusain

9

Навіть якщо ви обмежитеся лише спеціальними унітарними операціями, держави все одно накопичуватимуть глобальну фазу. Наприклад, є спеціально-унітарним, але . $Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$ $Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

Якщо держави збираються накопичувати неспостережуваних глобальну фазу в будь-якому випадку , яку користь ми отримуємо з обмежившись спеціальних унітарних операцій?

$U$ $V :=e^{i\alpha}U$

Поки ви не робите нічого, що могло б зробити глобальні фази актуальними, вони можуть мати таку ж реалізацію. Але якщо ти збираєшся робити щось на кшталт,

додати елементи керування до елементарних воріт

Так, так. Якщо ви робите подібні речі, то ви не можете ігнорувати глобальні фази. Управління перетворює глобальні фази у відносні фази. Якщо ви хочете повністю проігнорувати глобальну фазу, у вас не може бути чорного поля "додати контроль" модифікатора операції.

— Крейг Гідні
джерело

U

$U$

V

$V$

X

$X$

1

@Daochen Так, ви можете це зробити, але це не приклад додавання елемента керування при ігноруванні глобальної фази суб-операції. Вам потрібно буде чітко визначитися з глобальною фазою суб-операції, вирішивши, що саме має робити загальна контрольована операція та як її розкласти.

— Крейг Гідні

8

Те, що квантові ворота є унітарними, кореняться у тому, що еволюція (замкнутих) квантових систем відбувається за рівнянням Шредінера. Для часового інтервалу, в якому ми намагаємось реалізувати певну унітарну трансформацію з постійною швидкістю, ми використовуємо незалежне від часу рівняння Шредінгера:

\frac{d}{d t} | ψ (t) ⟩ = \frac{1}{i ℏ} H | ψ (t) ⟩,

$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$

$H$ $H$

| ψ (t) ⟩ = \exp (- i H t / ℏ) | ψ (0) ⟩

$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$

U = \exp (- i H t / ℏ)

$U = \exp(-iHt/\hbar)$

H

$H$

E

$E$

e^{i E t / ℏ}

$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$ . Таким чином, з матриці з реальними власними значеннями ми отримуємо матрицю, власні значення якої є складними числами з одиничною нормою.

$1$ $1$ $H$ $H$ сума його власних значень дорівнює нулю, залежить від того, як ви вирішили зафіксувати, яка ваша нульова енергетична точка - що фактично є суб'єктивним вибором системи відліку. (Зокрема, якщо ви вирішили прийняти конвенцію про те, що всі ваші енергетичні рівні негативні, це означає, що жодна цікава система ніколи не матиме властивості власних енергетичних значень, що становлять нуль.)

Коротше кажучи, ворота є унітарними, а не спеціальними унітарними, оскільки детермінант затвору не відповідає фізично значущим властивостям - в явному сенсі, що ворота виникають з фізики, та умовам, які відповідають визначальному значенню воріт 1 є умовою власної системи відліку, а не фізичної динаміки.

— Ніль де Бодорап
джерело

4

При написанні ворота для, наприклад, діаграма , квантова схема, ви могли завжди писати їх , використовуючи умовність , що має визначник один (зі спеціальної унітарної групи), але це всього лише умовність. Це не має ніякої фізичної різниці для ланцюга, який ви реалізуєте. Як сказано в іншому місці , чи те, що ви, природно, виробляєте, відповідає безпосередньо спеціальній унітарі, це дійсно вибір конвенції, і де ви визначаєте свою енергію 0.

$U$ $V=e^{i\alpha}$ $V$ $U$ $U$ $\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$ $U$ $\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

— DaftWullie
джерело

0

$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$ $H$

— користувач1271772
джерело