Найкоротша послідовність універсальних квантових воріт, які відповідають даній унітарній

Питання: Дана унітарна матриця, що діє на $n$ кубіти, чи можемо ми знайти найкоротшу послідовність воріт Clifford + T, що відповідають цьому унітарному?

Для вирішення питання два важливі посилання:

1. Швидкий та ефективний точний синтез одиночних кубітних одиниць, породжених воротами Кліффорда та Т Ключниками, Масловом та Моска
2. Точний синтез багатоквіткових схем Clifford + T від Giles і Selinger.

Отримання оптимального розкладання, безумовно, є відкритою проблемою. (І, звичайно, розкладання є незламним,$\exp(n)$ ворота для великих $n$.) "Простіше" питання, яке ви можете задати спочатку, - це яка найкоротша послідовність обрізків та обертів одного кубіта на будь-який кут (що зараз пропонують IBM, Rigetti та незабаром Google), ця універсальна основа воріт може бути виражена через ваша основа Cliffords та t-gate). Це "простіше" питання також є відкритим і має унікальну відповідь. Пов'язане питання полягає в тому, що є точним оптимальним розкладанням воріт від універсальної основи для переходу від основного стану до заданого остаточного стану.

Я припускаю, що ви маєте на увазі точні розклади. Якщо ви хочете наблизити розкладення, для цього існують різні методи, такі як розпад Троттера-Сузукі або наближення точного розкладання.

"Квантовий компілятор csd" у Qubiter робить неоптимізовану декомпозицію будь-якого n-кубітного унітарного на вузли та однокубітні гнилі, використовуючи відому підпрограму csd (Cosine-Sine Decomposition) від LAPACK. Деяка заповзятлива людина може спробувати знайти оптимізацію для квантового компілятора Кубітера. Наприклад, ви можете використовувати компілятор Qubiter (я написав доповідь про це), щоб ваш класичний комп'ютер відкрив для себе розкладення квантової трансформації Фур'є Копперсміта!

Qubiter є відкритим кодом і доступний у github (повне розкриття - я це написав).

Припустимо, що точний синтез був можливим для вашого наданого унітарного (кількість теоретичних обмежень на записи), і тому алгоритми, описані в запитанні, дали вам послідовність воріт Clifford + T, які реалізували цю унітарію. Як зазначено в роботі Giles-Selinger, ви отримуєте послідовність, яка дуже далека від оптимальної. Тож у цей момент ви звелися до проблеми зі словом у групі, створеній набором воріт Clifford + T. Деякі групи мають алгоритми для скорочення заданого слова, все ще представляючи один і той же елемент групи в нормальну форму, найкоротшу в цьому класі. Інші - ні.

Детальніше, щоб проілюструвати принцип: Скажімо, що вони є $2$кубіти. Позначимо$S_1$ і т. д. для генератора, який робить фазовий затвор на кубіті $1$, $CNOT_{12}$ для $1$як контроль та ін. Кожне з них трактується як лист. Алгоритм виплюне якесь слово в ці генератори. Група - це група з цими генераторами і багато подібних стосунків$S_i^4=1$ і $X_i Y_j = Y_j X_i$ коли $i \neq j$серед багатьох інших відносин. Отже, це визначає деяку кінцево сформовану групу. Оскільки у нас є слово із запропонованих алгоритмів, але воно не було оптимізовано, завдання полягає у наданні зручної якнайкоротшої нормальної форми в задачі слова для цієї групи. Тож якщо дано слово$S_1 S_1 S_2 S_1 S_1$ можна використати відношення $S_1 S_2 = S_2 S_1$ двічі та $S_1^4=1$ відношення один раз отримати $S_2$як коротше слово, яке представляє той самий груповий елемент. Для даної групової презентації хотілося б алгоритм, який приймає довільне слово і зменшує його. Загалом це неможливо.

Відмова від відповідальності нижче: майбутній проект / спільна реалізація Haskell з Jon Aytac.

Я не знаю про розв’язуваність проблеми слова для набору воріт Clifford + T, але можна зробити щось простіше лише з інволюціями (називайте їх $r_i$) у тій сукупності і лише відносини форми $(r_i r_j)^{m_{ij}}=1$. Це група Coxeter, пов'язана з набором воріт Clifford + T, але з ефективно розв’язуваною проблемою слова. Таким чином, можна взяти результат алгоритму Гілза-Селінгера і потенційно скоротити його, використовуючи лише ці дуже прості відносини (після перегляду сегментів лише з цими літерами інволюції). Насправді будь-який алгоритм, який приймає заданий унітарний і наближає або точно синтезує його в Clifford + T, може бути поданий у цю процедуру, щоб потенційно її трохи скоротити.