Що таке "поверхневий код"? (Квантове виправлення помилок)

Я вивчаю квантові обчислення та інформацію. Я перекреслив фразу "Код поверхні", але не можу знайти короткого пояснення, що це таке і як воно працює. Сподіваюся, ви, хлопці, можете мені допомогти у цьому.

Примітка: Якщо вам подобається, ви можете використовувати складну математику, я певною мірою знайомий з квантовою механікою.

error-correction terminology

— Іванович
джерело

Ласкаво просимо! Для уточнення: чи повинні відповіді припускати, що ви вже проаналізували рівень вікіпедії на торичні коди та коди стабілізатора ?

— agaitaarino

Я не знаю про торичні коди або коди стабілізатора: | Але я прочитаю про це

— Іванович

Приємно! Тоді я повинен бути чудовим початком. Я пропоную, можливо, трохи поглянути на них і поставити ще кілька деталей у питання: речі, які ви вже вважаєте, що ви розумієте, та інші, які поки не мають такого сенсу. Після відповіді це може бути дуже корисним питанням для людей, які йдуть за вами: це важливі поняття, а термінологія насправді трохи заплутана.

— agaitaarino

Пов'язане: "Квантове виправлення помилок: поверхневий код та колірний код" від SE.Physics.

— Нат

Я не знаю про коротке, але arxiv.org/abs/1208.0928 - це звідки я почав дізнаватися про поверхневий код.

— Крейг Гідні

Відповіді:

Поверхневі коди - це сімейство квантових кодів, що виправляють помилки, визначені на двовимірній решітці кубітів. Кожен код цього сімейства має стабілізатори, які визначені еквівалентно масою, але відрізняються один від одного своїми граничними умовами.

Члени сімейства поверхневих кодів іноді також описуються більш конкретними назвами: Код торіка - це поверхневий код з періодичними граничними умовами, планарний код - один, визначений на площині, тощо. Іноді також використовується термін «поверхневий код». взаємозамінно з "планарним кодом", оскільки це найбільш реалістичний приклад сімейства поверхневих кодів.

На сьогоднішній день поверхневі коди є великою дослідницькою областю, тому я просто вкажу вам на деякі хороші вхідні точки (крім статті у Вікіпедії, зв'язаної вище).

Поверхневі коди можна також узагальнити до qudits. Більше про це дивіться тут .

— Джеймс Вуттон
джерело

Чи працює код поверхонь лише для топологічних квантових комп'ютерів?

— Іванович

Поверхневі коди будуть працювати для будь-яких кубітів. У деякому сенсі за допомогою поверхневих кодів ви створюєте топологічний квантовий комп'ютер, використовуючи нетопологічні кубіти.

— Джеймс Вуттон

Термінологія «поверхневого коду» трохи змінна. Це може стосуватися цілого класу речей, варіантів коду Торіка на різних гратах, або може посилатися на код Планар, конкретний варіант на квадратній решітці з відкритими граничними умовами.

Кодекс Торика

Я підсуму деякі основні властивості коду Торика. Уявіть квадратну решітку з періодичними граничними умовами, тобто верхній край приєднаний до нижнього краю, а лівий край приєднаний до правого краю. Якщо ви спробуєте це на аркуші паперу, ви побачите, що ви отримаєте форму пончика або торус. На цій решітці ми розміщуємо кубіт на кожному краї квадрата.

Стабілізатори

Далі ми визначаємо цілу купу операторів. Для кожного квадрата на решітці (що складається з 4 кубітів посередині кожного краю) запишемо обертання Pauli- на кожному з 4 кубітів. Етикетка позначає «плакетку» і є лише покажчиком, тому ми можемо згодом порахувати весь набір плакетів. На кожній вершині решітки (оточенні 4 кубітів), визначимо посилається на форму зірки, і знову ми будемо підсумовувати всі такі терміни.

B_{p} = X X X X,

$B_p=XXXX,$

X

$X$

p

$p$

A_{s} = Z Z Z Z .

$A_s=ZZZZ.$

s

$s$

Ми спостерігаємо, що всі ці терміни взаємно комутуються. Тривіально для тому що оператори Паулі рухаються з собою і $[A_s,A_{s'}]=[B_p,B_{p'}]=0$ $\mathbb{I}$ . Потрібно більше обережності при , бот зауважимо, що ці два терміни мають або 0, або 2 ділянки спільного, і пари різних операторів Паулі здійснюють комутацію, $[A_s,B_p]=0$ $[XX,ZZ]=0$ .

Код простору

Оскільки всі ці оператори переміщаються, ми можемо визначити одночасне власне стан їх усіх, стан такі , що $|\psi\rangle$ Це визначає кодову область коду. Ми повинні визначити, наскільки вона велика.

\forall s : A_{s} | ψ ⟩ = | ψ ⟩ \forall p : B_{p} | ψ ⟩ = | ψ ⟩ .

$\forall s:A_s|\psi\rangle=|\psi\rangle\qquad\forall p:B_p|\psi\rangle=|\psi\rangle.$

Для решітки існує кубітів, тому розмірність простору Гільберта дорівнює . Є терміни або , які ми в сукупності називаємо стабілізаторами. Кожен має власні значення (щоб побачити, просто зауважте, що $N\times N$ $N^2$ $2^{N^2}$ $N^2$ $A_s$ $B_p$ $\pm 1$ ) в рівній кількості, і коли ми поєднуємо їх, кожен вдвічі зменшує розмір Гільбертового простору, тобто мидумаємо,що це однозначно визначає a держава. $A_s^2=B_p^2=\mathbb{I}$

Однак тепер зауважте, що : кожен кубіт включений у дві зірки та два плакети. Це означає, що одна з і одна з є лінійно залежною від усіх інших і не додатково зменшує розміри простору Гільберта. Іншими словами, відносини стабілізатора визначають простір Гільберта розмірності 4; код може кодувати два кубіти. $\prod_sA_s=\prod_pB_p=\mathbb{I}$ $A_s$ $B_p$

Логічні оператори

$X_{1,L}$ $Z_{1,L}$ $X_{2,L}$ $Z_{2,L}$

[X_{1, L}, X_{2, L}] = 0 [X_{1, L}, Z_{2, L}] = 0 [Z_{1, L}, Z_{2, L}] = 0 [Z_{1, L}, X_{2, L}] = 0

$[X_{1,L},X_{2,L}]=0\quad [X_{1,L},Z_{2,L}]=0 \quad [Z_{1,L},Z_{2,L}]=0\quad [Z_{1,L},X_{2,L}]=0$

{X_{1, L}, Z_{1, L}} = 0 {X_{2, L}, Z_{2, L}} = 0

$\{X_{1,L},Z_{1,L}\}=0\qquad\{X_{2,L},Z_{2,L}\}=0$

Існує кілька різних умов, як позначити різних операторів. Я піду з улюбленим (який, мабуть, менш популярний):

$Z$ $Z_{1,L}$
$Z$ $X_{2,L}$ $Z_{2,L}$
$X$ $Z_{2,L}$
$X$ $X_{1,L}$

$X$ $Z$

| ψ_{x, y} ⟩ : Z_{1, L} | ψ_{x, y} ⟩ = (- 1)^{x} | ψ_{x, y} ⟩, Z_{2, L} | ψ_{x, y} ⟩ = (- 1)^{y} | ψ_{x, y} ⟩

$|\psi_{x,y}\rangle: Z_{1,L}|\psi_{x,y}\rangle=(-1)^x|\psi_{x,y}\rangle,\qquad Z_{2,L}|\psi_{x,y}\rangle=(-1)^y|\psi_{x,y}\rangle$

$N$ $N$

Виявлення та виправлення помилок

$A_s$ $B_p$ $\pm 1$

$X$ $-1$ $+1$ $X$ $X$ $X$

Помилка виправлення порогу

$N$ $N$ $N$ $X$ $Z$ $p$ $p=0.11$ $11\%$ . Він також має обмежений поріг відмови (де ви допускаєте несправні вимірювання та виправлення з деякою швидкістю помилок на кубіт)

Планарний кодекс

Деталі більш ідентичні коду Торіка, за винятком того, що граничні умови решітки відкриті замість періодичних. Це люди, які по краях стабілізатори визначаються дещо інакше. У цьому випадку в коді є лише один логічний кубіт замість двох.

— DaftWullie
джерело