Використовується алгоритм Гровера, серед іншого, шукати потрібний пункт $\mathbf{y}$ в неврегульованих списку елементів $[\mathbf{x}_0, \mathbf{x}_1, ..., \mathbf{x}_{n-1}]$ довжини $n$ . Незважаючи на те, що тут є багато питань щодо цієї теми, я все одно пропускаю суть.

Пошук у списку, класичним способом

Як правило, я б розробити функцію пошуку таким способом

$$\mathrm{search}([\mathbf{x}_0, \mathbf{x}_1, ..., \mathbf{x}_{n-1}], \mathbf{y}) = i \in \mathbb{N} \quad \text{such that } \mathbf{x}_i = \mathbf{y}$$ Отже, я даю список і шуканий елемент як вхідні дані, і я отримую позицію елемента в списку як вихід. Здаєтьсяя зрозумівщо інформація про$\mathbf{y}$ вбудовується в алгоритмі через оракула воріт$O$ , такнаша функція стає $$\mathrm{search}_\mathbf{y}([\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, ..., \mathbf{x}_n] ) = i \in \mathbb{N} \quad \text{such that } \mathbf{x}_i = \mathbf{y}$$ Давайте зробимо практичний приклад. Розглянемо пошук лопат туза$1\spadesuit$ у послідовності 8 карт зістандартної колоди на 52 картки:

Список довжини $8$ дорівнює $[ \mathbf{x}_0 = J\clubsuit,$ $\mathbf{x}_1 = 10\diamondsuit,$ $\mathbf{x}_2 = 4\heartsuit,$ $\mathbf{x}_3 = Q\clubsuit,$ $\mathbf{x}_4 = 3\spadesuit,$ $\mathbf{x}_5 = 1\spadesuit,$ $\mathbf{x}_6 = 6\spadesuit,$ $\mathbf{x}_7 = 6\clubsuit]$ .

Шуканий елемент - $\mathbf{x}_5$ . Я повинен отримати $\mathrm{search}_{\spadesuit}(cards) = 5$ . Кожна карта може бути закодована $\lceil{\log_2 52}\rceil = 6$ біт, у списку є $8$ елементів, тому для кодування списку нам потрібно $6\times 8 = 48$ біт. У цьому випадку oracle $O$ реалізує функцію:

$$f(\mathbf{x}) = \begin{cases} 1, & \mathbf{x} = 1\spadesuit \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

Однак вхід алгоритму Гровера - це не стан $48$ кубітів.

(Примітка. Зображення перетасованої колоди зроблено звідси )

Гровер та його оракул

(Наприклад. Деякі джерела тут - графічний пояснити) говорять про те , що вхід алгоритму відрізняється: вхід стан береться з простору пошуку $S = \{ 0, 1, 2, ..., N \} = \{0, 1, 2, ..., 7 \}$ де $N$ - кількість елементів списку. Кожне число відповідає позиції елемента в списку.

Вхід $\mathrm{search}_{\spadesuit}(\cdot)$ тепер $\lceil \log_2 8 \rceil = 3$ кубітний вектор $|\psi\rangle$ , яке повинно бути суперпозицією всіх елементів в просторі пошуку $S$ .

Ми знаємо

• $|0_{3\text{qubits}}\rangle = |000\rangle$ відповідає$J\clubsuit$ ;
• $|1_{3\text{qubits}}\rangle = |001\rangle$ відповідає$10\diamondsuit$ ;
• $|2_{3\text{qubits}}\rangle = |010\rangle$ Відповідає$4\heartsuit$ ;
• $|5_{3\text{qubits}}\rangle = |101\rangle$ відповідає до$1\spadesuit$ який є елементом розшукуваний;
• і так далі...

У цьому випадку ми маємо

$$\mathrm{search}_{\spadesuit}(|\psi\rangle) = |5_{3\text{qubits}}\rangle$$ Але в цьому випадку, наш оракул б реалізувати функцію $$f(|\psi\rangle) = \begin{cases} 1, & |\psi\rangle = |5_{3\text{qubits}}\rangle \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

Побудова оракула вимагає від нас знати, що $\spadesuit$ знаходиться в положенні 5. Який сенс виконати алгоритм, якщо ми вже шукали елемент для побудови оракула?

Якщо у списку є 8 елементів (наприклад, у прикладі вашої картки), то вхід oracle - це 3 (qu) біт. Кількість карт в колоді (52) не має значення, для кодування 8 карт вам потрібно лише 3 біти.

Можна подумати, що 3 біти кодують позицію у списку картки, яку ви шукаєте; тоді ви не знаєте позиції, але оракул знає. Отже, якщо ви шукаєте лози піки, то оракул знає, що лопата туза - це 6-а карта (або 5-я підрахунок від нуля) і реалізує функцію

$$f(\mathbf{x}) = \begin{cases} 1, & \text{if x = 5, or binary '101'} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

PS: Краще думати про алгоритм Гровера по-іншому: у вас є оракул, що реалізує булеву функцію, яка виводить за одну комбінацію вхідних бітів, інакше виводить нуль, і ваше завдання - знайти комбінацію. Проблема має таку ж складність, як пошук у несортованому списку чи базі даних, тому алгоритм Гровера зазвичай описується як пошук у несортованій базі даних. Але застосування алгоритму до пошуку в базі даних у реальному світі справді викликає питання, що виходять за межі самого алгоритму. Алгоритм Гровера просто шукає те, що знає оракул.$1$

Хоча нам, мабуть, найпростіше думати про функцію оракула, як вже обчислив усі ці значення, але це не те, що він робить. У випадку, який ви описали, у oracle є 8 можливих входів (тобто закодованих у 3 (qu) біти), і oracle виконує всі обчислення, які вам потрібні під час руху . Отже, момент, коли ви спробуєте оцінити оракул за деякою цінністю$x$, оракул шукає (у цьому випадку) картку, значення якої $x$відповідає, а потім перевіряє, чи ця карта є позначеною карткою. Ідея полягає в тому, що кожного разу, коли ви телефонуєте оракулу, він проходить цей процес один раз. Загалом ви оцінюєте функцію в кілька разів, що дорівнює кількості разів, коли ви викликаєте оракул. Мета будь-якого алгоритму пошуку - викликати цей оракул якомога рідше.

У випадку, якщо це здається трохи круговим (з урахуванням вводу $x$, знайдіть, яка карта відповідає), пам’ятайте, що ваша таблиця пошуку для чого $x$відповідає тому, яку карту можна замовити, що є іншим, простішим, набагато швидшим запитом пошуку.

Ключові відмінності у вашому прикладі порівняно з більш реалістичним сценарієм використання:

• Простір пошуку зазвичай є масовим. Немає реальної перспективи попередньо обчислити всі значення. Дійсно, саме цього ми намагаємось уникати.

• Зазвичай ми фактично не кажемо «знайти лопату лопати». Натомість є$f(x)$ це нетривіально для оцінки, щоб перевірити, якщо $x$ is the 'marked' item or not. The fact that the oracle can take quite a long time to evaluate, even for a single entry, is what makes the oracle the costly part to implement (and all other gates are given for free) and why you need to minimise the number of calls.

So, really, the way a classical search would work on your problem is: pick an $x$ at random. Evaluate $y=f(x)$. If $y=1$, return $x$, otherwise repeat. While the net effect of $f(x)$ is 'is the input $x_0$, the marked entry?', that is not the actual calculation that it does.

The question is ultimately: "What's the point to execute the algorithm if we have already searched for the element in order to build the oracle?"

Whilst somebody prebuilt the oracle, it may not have been the person using the oracle.

Grover's algorithm requires the oracle be queried no more times than $\sqrt{\text{size of list}}$. Naturally we cannot hope respective database lookups, as proposed earlier against which I cannot comment for lack of reputation, on say 5 million keys will return the content we want if our content is not addressed by any of those 5 million keys, but by saying the 9 millionth key, which happens not to be in our sample. How does Grover's algorithm do it then?

We ask the oracle: what is the answer it already has for the question it already has? Even Mateus and Omar would ask the "oracle-for-a-particular-alphabet-symbol" during runtime, what are the position(s) of its symbol in the string that it has already compiled? The oracle will give the answer to our query after only one consultation, but in this story, it cannot for example simply write out the answer as a binary string and send it to us over a classical communication channel. It will hide its answer in a superposition for us to draw it out.

Я дозволяю фантазії чи метафорі втекти в наступному шматочку: ми не чуємо відповіді в перший раз, і нам доведеться просити оракул повторювати ту ж відповідь знову і знову, поки ми не будемо впевнені, що сказав оракул, за винятком того, що ми починаємо галюцинувати від дезінформації в процесі дифузії, якщо ми запитуємо занадто багато разів.

Враховуючи наданий вами оракул, пошук справді є безглуздим. Однак цей оракул не вистачає точки алгоритму Гровера, оскільки пошук картки в колоді карт не є неструктурованим пошуком, оскільки, як ви заявили, ви вже знаєте порядок. Ерго, ваш пошук структурований. Причина, якою використовується цей оракул, полягає в тому, що він демонструє, як можна застосувати Гровер, не обговорюючи оракул, який зробить Гровер корисним, оскільки такий оракул буде складнішим, ніж цінним. Тому кращим оракулом для демонстрації корисності Гровера може бути щось на зразок:

$$f(x) = \begin{cases} 1, & x[0, \ldots, 3] + x[4, \ldots, 7] = 1010 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

What this oracle implies is that you have an 8-qubit search where you take the first four qubits and add them to the second four qubits and flip M if the addition makes 10 (1010 in binary). The difference between this oracle and the one you provided is that this oracle tests a pattern (do the operands add to 10) whereas yours tests equality (is this index 5). This oracle is much more difficult to build but it leverages the true power of Grover's, which is, in essence, a brute-force search where your oracle defines the search space.