Які цілі числа були враховані алгоритмом Шор?

Алгоритм Шор, як очікується, дозволить нам розставити цілі числа, набагато більші, ніж це можливо зробити на сучасних класичних комп'ютерах.

Наразі враховано лише менші цілі числа. Наприклад, у цьому документі розглядається факторизація $15=5{\times}3$ .

Що в цьому сенсі є сучасним у дослідженні? Чи є нещодавній документ, в якому йдеться про деякі більші числа?

shors-algorithm

— Лежача танцюристка
джерело

Тісно пов'язаний, але не точний дублікат: Яке найбільше число, що розподіляється КК в неспецифічному експерименті?

— agaitaarino

Відповіді:

Основна факторизація 21 (7x3) здається найбільшою на сьогодні зробленою алгоритмом Шор; це було зроблено в 2012 році, як детально описано в цій роботі . Слід зазначити, що значно більша кількість, наприклад 56,153 у 2014 році, було враховано за допомогою алгоритму мінімізації, який детально описаний тут . Для зручного ознайомлення дивіться таблицю 5 цього документу :

{\begin{matrix} Таблиця 5: Записи квантової факторизації \\ \begin{array}{cccccc} Номер & # факторів & \begin{matrix} # кубітів \\ потрібні \end{matrix} & Алгоритм & \begin{matrix} Рік \\ здійснено \end{matrix} & \begin{matrix} Здійснено \\ без попереднього \\ знання з \\ рішення \end{matrix} \\ 15 & 2 & 8 & Шорт & 2001 рік [2] & χ \\ 2 & 8 & Шорт & 2007 рік [3] & χ \\ 2 & 8 & Шорт & 2007 рік [3] & χ \\ 2 & 8 & Шорт & 2009 рік [5] & χ \\ 2 & 8 & Шорт & 2012 рік [6] & χ \\ 21 & 2 & 10 & Шорт & 2012 рік [7] & χ \\ 143 & 2 & 4 & мінімізація & 2012 рік [1] & ✓ \\ 56153 & 2 & 4 & мінімізація & 2012 рік [1] & ✓ \\ 291311 & 2 & 6 & мінімізація & ще ні & ✓ \\ 175 & 3 & 3 & мінімізація & ще ні & ✓ \end{array} \end{matrix}}_{.}

$\begin{array}{c} \textbf{Table 5:}~\text{Quantum factorization records} \\ \hline \small{ \begin{array}{cccccc} \text{Number} & \text{# of factors} & \begin{array}{c}\text{# of qubits} \\ \text{needed} \end{array} & \text{Algorithm} & \begin{array}{c}\text{Year} \\ \text{implemented} \end{array} & \begin{array}{c}\text{Implemented} \\ \text{without prior} \\ \text{knowledge of} \\ \text{solution} \end{array} \\ \hline 15 & 2 & 8 & \text{Shor} & 2001~\left[2\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2009~\left[5\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2012~\left[6\right] & \chi \\ 21 & 2 & 10 & \text{Shor} & 2012~\left[7\right] & \chi \\ 143 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ 56153 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ \hline 291311 & 2 & 6 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \\ 175 & 3 & 3 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \end{array}} \end{array}_{\Large{.}}$

— вереск
джерело

@SqueamishOssifrage: звідки йдеться, що алгоритм мінімізації "обмежений числами, чинники яких відомі співвідношенням, що роблять простір пошуку значно меншим, наприклад, різниться лише в декількох бітових положеннях або відрізняється у всіх, окрім кількох позицій"?

— користувач1271772

@ user1271772 Як я розумію, методика покладається на зменшення проблеми, щоб вимагати лише відстежуваної кількості кубітів, усуваючи змінні за відомими співвідношеннями між бітами факторів. Хоча кількість кубітів до фактора

може масштабуватися лише з

, але жодна із прочитаних робіт не робила спроб оцінити приріст часу для рішення як функцію від кількості кубітів або

N

$N$

O (\log^{2} N)

$O(\log^2 N)$

\log N

$\log N$

— Squeamish Ossifrage

\log (N)

$\log(N)$

\log^{2} N

$\log^2 N$

\log (N)

$\log(N)$

\log^{2} N

$\log^2 N$

— користувач1271772

@SqueamishOssifrage: "Здається, що жоден із прочитаних робіт не робив жодної спроби оцінити приріст часу на рішення як функцію від кількості кубітів". Цей зробив спробу: journals.aps.org/prl/ab Abstract/10.1103/PhysRevLett.101.220405 Але "час на вирішення" - це не те, що важливо, це зусилля, необхідні. Просіювання GNF просте, але крок матриці жахливо громіздкий. Виконання алгоритму Шора в досить оптимальному варіанті є громіздким. Алгоритм мінімізації простий.

— користувач1271772

@SqueamishOssifrage: Нарешті: "Зауважте, що алгоритм мінімізації обмежений числами, фактори яких мають відомі відносини" .. жодна частина алгоритму не обмежується "відомими" відносинами. Алгоритм нічого не передбачає про фактори. Ніяких стосунків. Біти - це всі невідомі змінні , які визначаються мінімізацією. Мінімізація може бути виконана за меншою кількістю кубітів для деяких чисел, ніж інші. Те саме стосується алгоритму Шор. Те саме стосується і GNFS. Насправді, якщо число, яке ви хочете визначити, парне, його досить просто підрахувати.

— користувач1271772

$21=7\times 3$ $a$ . Квантовий комп'ютер не враховував коефіцієнт 21, але він перевіряв, що фактори 7 і 3 дійсно правильні.

Для алгоритму відпалу : найсучаснішим є 376289 . Але ми не знаємо, як це буде масштабуватися. Дуже сильна верхня межа кількості кубітів, необхідних для коефіцієнта RSA-230, становить 5,5 мільярда кубітів (але це може бути значно знижено кращими компіляторами), в той час як алгоритм Шор може робити це з 381 кубітом .

— користувач1271772
джерело

Ви помітите в таблиці в моїй відповіді стовпець "реалізований без попереднього знання рішення", є "х" для всіх реалізацій алгоритму Корота, що спонукає мене повірити, що щось подібне справедливо і для факторингу 15

— вереск

Розмір числа, що враховується, не є хорошим показником складності задачі факторизації, а відповідно і потужності квантового алгоритму. Відповідним заходом, скоріше, повинна бути періодичність отриманої функції, яка з’являється в алгоритмі.

Про це йдеться у Дж. Смолін, Г. Сміт, А. Варго: Прикидаючись фактор великих чисел на квантовому комп'ютері , Nature 499, 163-165 (2013) . Зокрема, автори також наводять приклад числа з 20000 двійкових цифр, які можна враховувати за допомогою двоквартитного квантового комп'ютера, з точно такою ж реалізацією, яка раніше використовувалася для підрахунку інших чисел.

Слід зазначити, що "ручні спрощення", які виконують автори для досягнення цього квантового алгоритму, - це теж було зроблено, наприклад, для оригінального експерименту факторингу 15.

— Норберт Шух
джерело