Чи переплутування перехідне?

Чи переплутування в математичному сенсі перехідне ?

Більш конкретно, моє питання таке:

Розглянемо 3 кубіти і . Припустимо, що $q_1, q_2$ $q_3$

$q_1$ і заплутані, і це $q_2$
$q_2$ і заплутані $q_3$

Тоді, є і заплуталися $q_1$ $q_3$ ? Якщо так, то чому? Якщо ні, то чи є конкретний зразок зустрічного?

На моє поняття заплутаності:

кубіти і заплутуються, якщо після відстеження , qbits і заплутуються (відстеження відповідає вимірюванню і відхиленню результату). $q_1$ $q_2$ $q_3$ $q_1$ $q_2$ $q_3$ $q_3$
кубіти і заплутані, якщо після виводячи , кубіти і заплутані. $q_2$ $q_3$ $q_1$ $q_2$ $q_3$
кубіти і заплутані, якщо після виводячи , кубіти і заплутані. $q_1$ $q_3$ $q_2$ $q_1$ $q_3$

Не соромтеся використовувати будь-яке інше розумне поняття заплутування (не обов’язково те, яке було вище), якщо ви чітко заявляєте про це поняття.

entanglement

— Петро
джерело

Чи можете ви підтвердити останнє твердження? Після Вашого запитання я очікував аналогічного твердження, але з мітками в іншому порядку (твердження про заплутування q1 і q3 після вимірювання q2).

— agaitaarino

@agaitaarino Я оновив частину про "заплутаність", зараз має бути зрозуміліше ...

— Пітер

Я розглядав латинські квадрати як матрицю ймовірностей, в якій елементи будь-якого одного розмірного масиву "заплутуються", оскільки ймовірності для будь-якого даного вираженого елемента взаємозалежні. Коли ви додаєте розміри, ці одновимірні масиви ортогонально перетинаються з іншими одновимірними масивами, розширюючи "заплутування". (Я здогадуюсь, що це приблизно так далеко в бур'янах, як можна отримати повторне: нетипові поняття заплутування, але я не перший, хто висунув ідею про деякі "подібності по духу" між QT та латинськими квадратами / Судоку.) Дякую ви за це питання!

— DukeZhou

Тепер, коли ви уточнили, що ви відкидаєте результат вимірювання, це не локалізація, що я думав, про яку ви говорили, це більш стандартне поняття. Краще поговорити про "вишукування" зайвого кубіта, а не про вимірювання і відкидання результату.

— DaftWullie

@DaftWullie Дякую! Я відповідно оновив питання

— Петро,

Відповіді:

TL; DR: Це залежить від того, як ви вирішите виміряти переплетення на пару кубітів. Якщо ви виявите зайві кубіти, тоді "Ні". Якщо ви вимірюєте кубіти (зі свободою вибору оптимальної основи вимірювання), то "Так".

Нехай - чистий квантовий стан з 3 кубітів, позначений A, B і C. Ми скажемо, що A і B переплутані, якщо не є позитивною під дією карти часткового транспонування. Це необхідна і достатня умова для виявлення заплутування в двохубітній системі. Формалізм часткового сліду еквівалентний вимірюванню кубіту С у довільній основі та відхиленні результату. $|\Psi\rangle$ $\rho_{AB}=\text{Tr}_C(|\Psi\rangle\langle\Psi|)$

Існує клас зустрічних прикладів, який показує, що заплутаність не є перехідною , форми умови . Якщо відстежити кубіт або кубіт , ви отримаєте однакову матрицю щільності обидва рази: Ви можете частково перенесіть це (перейняти його на першій системі найчистіше):

| Ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 1 ϕ ϕ ⟩),

$|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|1\phi\phi\rangle),$

| ϕ ⟩ \neq | 0 ⟩, | 1 ⟩

$|\phi\rangle\neq |0\rangle,|1\rangle$

B

$B$

C

$C$

ρ_{A C} = ρ_{A B} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 1 ϕ | + | 00 ⟩ ⟨ 1 ϕ | ⟨ ϕ | 0 ⟩ + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 00 | ⟨ 0 | ϕ ⟩)

$\rho_{AC}=\rho_{AB}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|00\rangle\langle 1\phi|\langle\phi|0\rangle+|1\phi\rangle\langle 00|\langle0|\phi\rangle\right)$

ρ^{P T} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 1 ϕ | + | 10 ⟩ ⟨ 0 ϕ | ⟨ ϕ | 0 ⟩ + | 0 ϕ ⟩ ⟨ 10 | ⟨ 0 | ϕ ⟩)

$\rho^{PT}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|10\rangle\langle 0\phi|\langle\phi|0\rangle+|0\phi\rangle\langle 10|\langle0|\phi\rangle\right)$ Тепер візьміть визначник (який дорівнює добутку власних значень). Ви отримуєте що є негативним, тому має бути негативне власне значення. Таким чином, і є заплутаними парами. Тим часом Оскільки це допустима матриця щільності, вона є негативною. Однак часткове транспонування просто дорівнює собі. Отже, немає негативних власних значень і

det (ρ^{P T}) = - \frac{1}{16} | ⟨ 0 | ϕ ⟩ |^{2} (1 - | ⟨ 0 | ϕ ⟩ |^{2})^{2},

$\text{det}(\rho^{PT})=-\frac{1}{16}|\langle 0|\phi\rangle|^2(1-|\langle 0|\phi\rangle|^2)^2,$

(A B)

$(AB)$

(A C)

$(AC)$

ρ_{B C} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | ϕ ϕ ⟩ ⟨ ϕ ϕ |) .

$\rho_{BC}=\frac12(|00\rangle\langle 00|+|\phi\phi\rangle\langle\phi\phi |).$

(B C)

$(BC)$ не заплутується.

Локалізація заплутування

Натомість можна говорити про локалізацію заплутування . Перш ніж подальше уточнення, це те, на що я вважав, що йдеться в ОП. У цьому випадку замість того, щоб відшукувати кубіт, можна виміряти його на основі вашого вибору та обчислити результати окремо для кожного результату вимірювання. (Пізніше є процес усереднення, але це для нас тут не має значення.) У цьому випадку моя відповідь стосується конкретно станів, а не змішаних станів.

Ключовим тут є те, що існують різні класи заплутаного стану. Для 3 кубітів існує 6 різних типів чистого стану:

повністю відокремлена держава
3 типи, коли між двома сторонами існує заплутаний стан, а третій - роздільний стан
W-стан
держава GHZ

$(q_1,q_2)$ $(q_2,q_3)$

| W ⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} (| 001 ⟩ + | 010 ⟩ + | 100 ⟩) | Г Н Z ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 111 ⟩)

$|W\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}(|001\rangle+|010\rangle+|100\rangle)\qquad |GHZ\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|111\rangle)$

— DaftWullie
джерело

Дякую, це вже досить очищається. Не могли б ви вказати мені на "стандартну" міру заплутування? Я, можливо, захочу це явно використати у своєму питанні.

— Петро

@Peter: подивіться, чи допоможе відредагована версія ще більше.

— DaftWullie

Дякую за цю відповідь! Чи можу я задати наївне запитання щодо засобів симетрії в цьому контексті "Обидва представники симетричні при обміні частинками". (Мені дуже цікаві різні поняття симетрії взагалі.)

— DukeZhou

@DaftWullie: враховуючи, що ваша відповідь виглядає як «ні, заплутаність не є перехідною, навіть у трьох кубітних системах», можливо, вам слід скоротити свою відповідь, щоб зробити це трохи більш очевидним?

— Ніль де Бодорап

{SWAP}_{A, B} | Ψ ⟩ = | Ψ ⟩

$\text{SWAP}_{A,B}|\Psi\rangle=|\Psi\rangle$

Це не відповідь, а натомість лише деякі основні факти, про які важливо знати, щоб уникнути "навіть неправильної" території щодо цих питань.

"Заплутаність" - це не все, або нічого. Тільки кажучи, що "q1 заплутаний q2, а q2 заплутаний q3", недостатньо інформації для визначення відповіді на запитання типу "якщо я виміряю q3, чи все ще q1 буде заплутаний q2?". Заплутування ускладнюється при роботі з більшими системами. Вам дійсно потрібно знати конкретний стан та вимірювання, а також чи дозволено вам обумовлювати результат вимірювання.

Може статися так, що q1, q2, q3 заплутані як група, але якщо ви відстежите будь-який з кубітів, то матриця щільності двох інших описує просто класично корельований стан. (Наприклад, це відбувається з державами GHZ.)

Вам слід знати про моногамію заплутаності . Минувши певний поріг, збільшуючи силу заплутаності між q1 і q2, слід зменшити силу заплутування між q1 і q3 (і рівнозначно q2 і q3).

— Крейг Гідні
джерело

так, щоб вказати на моногамію заплутаності!

— agaitaarino

@agaitaarino, що призводить до "розбитого заплутування" та ентропії Фон Ноймана!

— DukeZhou

Я читав наступне у потрійній класифікації Фрейденталя трихубітного переплетення :

"Dür et al. ( Три кубіти можна заплутати двома нееквівалентними способами ), використовуючи прості аргументи, що стосуються збереження рангів матриць зі зниженою щільністю, є лише шість класів еквівалентності трьох кубітів:

Нуль (ординальна тривіальна нульова орбіта, що відповідає нульовим станам)
Роздільна (Ще одна орбіта нульового заплутування для повністю факторних станів продукту)
Подільний (Три класи двостороннього сплутування: A-BC, B-AC, C-AB)
W (тристоронні заплутані стани, які не максимально порушують нерівності типу Белла) та
GHZ (максимально порушують нерівності типу Белла) "

як я розумію, відповідь на ваше запитання - так : якщо A і B заплутані, а B і C заплутані, ви обов'язково перебуваєте в одному з тристоронніх заплутаних станів, тому A і C також заплутані.

— agaitaarino
джерело