Доказ нерівності інформації Холево

Припустимо, у мене є класичний-класичний-квантовий канал , де - кінцеві множини, а - це множина матриць щільності на кінцевому розмірі, складний простір Гільберта . $W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$ $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ $\mathcal{D}(\mathcal{H})$ $\mathcal{H}$

Припустимо, - рівномірний розподіл на а - рівномірний розподіл на . Далі визначте для розподілів на та на , інформацію про Holevo $p_x$ $\mathcal{X}$ $p_y$ $\mathcal{Y}$ $p_1$ $\mathcal{X}$ $p_2$ $\mathcal{Y}$

χ (p_{1}, p_{2}, W) := H (\sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) W (x, y)) - \sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) H (W (x, y))

$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$

де - ентропія фон Неймана. $H$

Я б хотів показати, для що,

p_{1} := sup_{p} {χ (p, p_{y}, W)}, p_{2} := sup_{p} {χ (p_{x}, p, W)}

$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$

χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{1}, p_{y}, W) and χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{x}, p_{2}, W) .

$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$

Поки що я ще не впевнений, що твердження в першу чергу вірно. Я не домігся великого прогресу в доведенні цього, але, схоже, якась нерівність трикутника могла б підтвердити претензію.

Дякуємо за будь-які пропозиції щодо того, чи має бути заява, та поради щодо її підтвердження.

quantum-information entropy

— Стівен Діадамо
джерело

Як свідчить відповідь, я дійсно мав намір використовувати argmax, а не supremum.

— Стівен Діадамо

Видається, що твердження взагалі не відповідає дійсності. Припустимо, , - простір Гільберта, що відповідає одному кубіту, і визначається як Якщо - рівномірний розподіл, оптимальним вибором є і , що дає , що є максимальним можливе значення. (Я припускаю, що ви маєте на увазі визначення $X = Y = \{0,1\}$ $\mathcal{H}$ $W$

\begin{aligned} W (0, 0) & = | 0 ⟩ ⟨ 0 |, \\ W (0, 1) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 0) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 1) & = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | . \end{aligned}

$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$

p_{y}

$p_y$

p_{1}

$p_1$

p_{1} (0) = 1

$p_1(0) = 1$

p_{1} (1) = 0

$p_1(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{y}, W) = 1

$\chi(p_1,p_y,W) = 1$

p_{1}

$p_1$ і як аргмакс цих виразів, а не супрему.) Так само, якщо є рівномірним, і є оптимальним, а значення однаковим. Однак , тому нерівність не виконується.

p_{2}

$p_2$

p_{x}

$p_x$

p_{2} (0) = 1

$p_2(0) = 1$

p_{2} (1) = 0

$p_2(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{2}, W) = 0

$\chi(p_1,p_2,W) = 0$

— Джон Вотрус
джерело