Як перестановити (змінити) n-бітний вхід?

Мене цікавить квантовий алгоритм, який отримує як вхід n-бітну послідовність і який видає як вихід перестановлену (перестановлену) версію цієї n-бітної послідовності.

Наприклад, якщо вхід 0,01,1 (тож n = 4 у цьому випадку), то можливі відповіді:

• 0,0,1,1
• 0,1,0,1
• 0,1,1,0
• 1,0,0,1
• 1,0,1,0
• 1,1,0,0

Зауважте, що повинен бути створений лише один вихід, який вибирається випадковим чином серед усіх можливих дійсних результатів.

Як це найкраще реалізувати в квантовому алгоритмі ?

Рішення для цього вже пропонується як частина однієї з відповідей для „ Як створити квантовий алгоритм, який виробляє 2 n-бітові послідовності з однаковою кількістю 1-бітів? . Але проблема цього рішення полягає в тому, що для цього потрібно про допомогти кубітам, який стає швидко величезним, якщо n великий.$\binom{n}2$

Примітка:

• Будь ласка, не надайте класичний алгоритм без будь-якого пояснення того, як кроки класичного алгоритму можуть бути відображені на універсальному квантовому комп'ютері.
• для мене є 2 хороших способу інтерпретації "випадково вибраних серед усіх можливих хороших результатів" : (1) кожен можливий хороший результат має рівні шанси бути обраним. (2) кожен можливий хороший результат має шанс вибору> 0.

Це можна зробити за допомогою додаткових кубітів по цих рядках:$\lceil\log n\rceil$

1. Перетворіть додаткові кубіти так, щоб вони кодували число вибране рівномірно.$k\in\{0,\ldots,n-1\}$

2. Циклічно зсунь вхідних кубітів разів.$k$

3. Нехай останні вихідні вхідні кубіти фіксуються як вихід і повторюються на решті з них.$n-1$

Це класичний алгоритм, але ви можете запустити його на квантовому комп'ютері, звичайно, як запропонував Норберт у коментарі. (Аспект, який суперечить тому, що алгоритм є квантовим, мені все ще не зрозумілий, тому якщо запустити класичний алгоритм, такий як той, який я запропонував на квантовому комп'ютері, недостатньо, було б корисно питання уточнити.)

Зауважте, що оскільки питання вимагає випадкового виводу, алгоритм повинен буде генерувати ентропію в якийсь момент, імовірно, шляхом вимірювань або виконання інших не унітарних операцій на кубітах (таких як ініціалізація їх). В алгоритмі, наведеному вище, це перший крок, який генерує ентропію: незалежно від стану додаткових кубітів до виконання операції на етапі 1, вони повинні мати стан після виконання кроку 1 (зk,закодованим у двійковій, скажімо).

$\frac{1}{\sqrt{3}} ( |001\rangle + |010\rangle + |100\rangle)$$001$$010$$100$

$|001\rangle$$\left| {3 \atop 1} \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} (|001\rangle + |010\rangle + |100\rangle)$$|010\rangle$$|100\rangle$

Один трюк створення квантової перестановки відсортованого введення полягає в тому, щоб спочатку підготувати "стан перестановки", застосувавши сортувальну мережу до списку значень насіння, кожне в єдиному суперпозиції. Мережа сортування виведе кубіти, що містять відсортовані насіння, а також кубіти, що містять порівняння мережі сортування. Стан перестановки - це лише кубіти порівняння. Щоб застосувати його до свого вводу, ви просто запустите вхід через систему сортування в зворотному порядку. Зауважте, що тут є деякі хитрі деталі; дивіться статтю " Удосконалені методики готування власних станів ферміонних гамільтонів ". Вам потрібно було б узагальнити цю техніку для роботи над входами з повторними значеннями, а не лише унікальними значеннями.

$\left| {n \atop k} \right\rangle$$n$$k$

$|0001\rangle$$\frac{1}{\sqrt{4}}$$\left| {4 \atop 1} \right\rangle$$|0011\rangle$$\left| {4 \atop 2} \right\rangle$$\frac{1}{\sqrt{6}}$

Квантовий комп'ютер може робити класичні обчислення. Оптимальним алгоритмом було б:

1. Виберіть будь-який біт (найшвидший, до якого ви можете отримати доступ).
2. Знайдіть біт, який має протилежне значення (якщо на кроці 1 ви отримали 0, знайдіть 1)
3. Переключіть їх (0 стає 1, а 1 стає 0).

$N$$\mathcal{O}(N)$$n^{\textrm{th}}$$\mathcal{O}\left(\sqrt{N}\right)$