Чи можна «обчислити» абсолютну величину постійного за допомогою відбору проб Boson?

Якщо в вибірці бозону ми починаємо з 1 фотона в кожному з перших режимів інтерферометра, ймовірність виявлення 1 фотона в кожному вихідному режимі становить: , де стовпці та рядки - це перші стовпців унітарної матриці інтерферометра та всі його рядки. $M$ $|\textrm{Perm}(A)|^2$ $A$ $M$ $U$

Це робить це схожим на будь-яке унітарне $U$ , ми можемо побудувати відповідний інтерферометр, побудувати матрицю $A$ та обчислити абсолютне значення постійної $A$ , взявши квадратний корінь ймовірності виявлення одного фотона в кожному режимі (який ми отримати від експерименту вибірки бозонів). Це правда, чи є якась улов? Люди сказали мені, що ви не можете фактично отримати інформацію про постійне з відбору проб бозону.

Також, що відбувається з рештою стовпців : Як саме так, що експериментальний результат залежить лише від перших стовпців та всіх його рядків, але зовсім не з інших стовпців ? Ці стовпці взагалі не впливають на результат експерименту в перших режимах ? $U$ $M$ $U$ $U$ $U$ $M$

— користувач1271772
джерело

Оскільки ви створили фотоніку , будь ласка, подумайте про те, щоб написати для цього тег-уривок. Іди сюди . Дякую.

— Санчаян Дутта

Відповіді:

Це здається правдою, до певного моменту. Як я прочитав Ааронсон в папір , він говорить , що якщо ви починаєте з 1 фотоном в кожному з перших режимів інтерферометра, і знайти ймовірність , що безліч фотони виводяться в кожному режимі де , є $M$ $P_S$ $s_i$ $i\in\{1,\ldots, N\}$ $\sum_is_i=M$ Отже, якщо ви берете конкретний екземпляр, деабо 1 для кожного можливого виводу, то так, ймовірність дорівнює постійній, де- першістовпцівта певний підмножинарядки, визначені місцями. Отже, це не зовсім так, як зазначено у питанні: це не всі рядки, а лише деяка підмножина, так що

P_{s} = \frac{| Per(A) |^{2}}{s_{1}! s_{2}! \dots s_{M}!} .

$P_s=\frac{|\text{Per(A)}|^2}{s_1!s_2!\ldots s_M!}.$

s_{i} = 0

$s_i=0$

A

$A$

A

$A$

M

$M$

U

$U$

M

$M$

s_{i} = 1

$s_i=1$

A

$A$ являє собою квадратну матрицю, відповідну бітам, які "бачить" експеримент, тобто вхідні та вихідні рядки. Фотони ніколи Заселити що - небудь ще, і тому закривають очі на інші елементи унітарної матриці

U

$U$

Це має бути досить очевидним. Скажімо, у мене є матриця . Якщо я починаю в якомусь базовому стані і знайти свій продукт, , то , знаючи , що говорить мені , дуже мало про виходи і , в стороні від того, що можна сказати , з знання , що є унітарною, і , отже , стовпці і рядки ортонормированном. $3\times 3$ $V$ $|0\rangle$ $V|0\rangle$ $V|1\rangle$ $V|2\rangle$ $V$

Питання, над яким слід бути обережним, - це точність: ви запускаєте це один раз, і все, що ви отримуєте, - це один зразок відповідно до розподілу ймовірностей . Ви запускаєте це кілька разів, і ви починаєте збирати інформацію про різні ймовірності. Ви запускаєте це досить разів, і ви можете отримати довільно точну відповідь, але скільки достатньо? Є два різні способи, за якими можна виміряти похибку в оцінці значення . Ви можете вимагати або добавочну помилку або помилку мультиплікативної, . Оскільки ми очікуємо, що типова ймовірність буде експоненціально мала в $P_s$ $p$ $p\pm\epsilon$ $p(1\pm\epsilon)$ $n+m$ , мультиплікативна помилка вимагає набагато більшої точності, що неможливо досягти ефективно шляхом вибірки. З іншого боку, можна досягти адиктивного наближення помилок.

Хоча мультиплікативна помилка - це те, що люди зазвичай хочуть обчислити, помилка добавки також може бути цікавою сутністю. Наприклад, при оцінці многочлена Джонса .

Ааронсон вказує нам ще в часі на те, де вперше був здійснений цей зв'язок між вибіркою Босона та Постійним:

З роботи Каяніелло в 1953 р. (Якщо не раніше) було відомо, що амплітуди для -бозонних процесів можна записати як постійні матриць. $n$ $n\times n$

Натомість основний їхній внесок

полягає у доведенні зв'язку між здатністю класичних комп'ютерів вирішувати приблизну задачу BosonSampling та їх здатністю наближати постійну

тобто зрозуміти проблему наближення, пов'язану, наприклад, з кінцевим відбором, та описати наслідки складності обчислювальної техніки, пов'язані: що ми вважаємо, що таке важко оцінити класично.

— DaftWullie
джерело

Я не впевнений, чи це ви говорите, але це неправда, що ефективне вирішення BosonSampling дозволяє ефективно оцінити постійність, що означатиме, що квантові комп'ютери здатні вирішувати # P-важкі проблеми. Іншими словами, квантові комп'ютери можуть ефективно імітувати вихід вибірки бозона, але не ефективно обчислити його розподіл ймовірностей розподілу

— glS

@glS Ні, це дуже те, що я говорю. Доповідь Ааронсона дуже обережна, щоб розрізнити це питання, але це робить виклад обчислювальної складності набагато суттєвішим, тому я його не заявив.

— DaftWullie

@DaftWullie вибачте, зараз я розгублений. Чи згодні ми з тим, що вибірка бозону не дозволяє ефективно оцінити постійність? (див., наприклад, нижній лівий стовпчик на сторінці 6 на arxiv.org/pdf/1406.6767.pdf )

— glS

@gls Я погоджуюся, що ви не можете цього зробити, якщо ви хочете оцінити постійну з деякою мультиплікативною помилкою, яка, правда, є стандартним способом визначення речей (але оскільки я ретельно уникав нічого визначати ...). Якщо ви готові терпіти пов'язану з помилками добавку, я вважаю, що ви можете це зробити.

— DaftWullie

«Якщо я почну в деякому базисному стані

і знайти його продукт,

, то , знаючи , що говорить мені , дуже мало про виходи

», але кожен елемент

бере участь в наданні вам

. Але для вибірки бозонів беруть участь лише перші стовпці

, хіба це не дивно?

| 0 ⟩

$|0\rangle$

V | 0 ⟩

$V|0\rangle$

V | 1 ⟩

$V|1\rangle$

V | 2 ⟩

$V|2\rangle$

V

$V$

V | 0 ⟩

$V|0\rangle$

M

$M$

— користувач1271772

Ви не можете ефективно відновити абсолютні значення амплітуд, але якщо ви допускаєте довільне безліч зразків, ви можете оцінити їх у будь-якій точності.

Більш конкретно, якщо вхідний стан є одиничним фотоном у кожному з перших режимів, і кожен готовий взяти довільну кількість вибірок з виводу, то в принципі можна оцінити постійну до будь-якої міри Точність подобається, підраховуючи частку часу, коли вхідних фотонів у перших різних вихідних портах. Слід зазначити, що це насправді не має великого відношення до BosonSampling, оскільки результат твердості утримується в режимі кількості режимів, значно більших за кількість фотонів, і це стосується ефективності вибірки. $n$ $A$ $n$ $n$

BosonSampling

Я спробую дуже коротко ознайомитись із тим, що таке вибірка бозона, але слід зазначити, що я не можу зробити кращу роботу в цьому, ніж сам Ааронсон, тому, напевно, є корисною ознайомлення з пов’язаними публікаціями його блогів. (наприклад, блог /? p = 473 та блог /? p = 1177 ) та посилання на них.

BosonSampling - проблема вибірки . Це може бути трохи заплутаним у тому, що люди, як правило, більше звикли думати про проблеми, що мають певні відповіді. Проблема вибірки відрізняється тим, що рішенням задачі є сукупність вибірок, взятих з деякого розподілу ймовірностей.

Дійсно, проблема, яку вирішує пробовідбірник, полягає у відборі проб із конкретного розподілу ймовірностей. Більш конкретно, вибірка з розподілу ймовірності можливого результату (багато-бозонні) стани.

Розглянемо як простий приклад випадок з 2 фотонами в 4 режимах, і скажімо, що ми фіксуємо вхідний стан таким, що є (тобто, один фотон в кожному з двох перших двох режимів введення). Ігноруючи вихідні стани з більш ніж одним фотоном у кожному режимі, є $(1,1,0,0)\equiv|1,1,0,0\rangle$ можливих вихідних двофотонних станів: і $\binom{4}{2}=6$ $(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1)$ . Позначимо для зручності з -м один (так, наприклад, ). Тоді можливим рішенням BosonSampling може бути ряд результатів: $(0,0,1,1)$ $o_i, i=1,.,6$ $i$ $o_2=(1,0,1,0)$

o_{1}, o_{4}, o_{2}, o_{2}, o_{5} .

$o_1, o_4, o_2, o_2, o_5.$

Щоб зробити аналогію, можливо, більш звичному випадку, це як би сказати, що ми хочемо зробити вибірку з розподілу ймовірностей Гаусса. Це означає, що ми хочемо знайти послідовність чисел, які, якщо ми намалюємо їх достатньо і введемо в гістограму, дадуть щось, близьке до Гаусса.

Постійні обчислення

Виявляється, амплітуда ймовірності заданого вхідного стану на заданому вихідному стані є (пропорційно до нього ) постійної підходящої матриці , побудованої з унітарної матриці , що характеризує (однобозонная) еволюцію. $|\boldsymbol r\rangle$ $|\boldsymbol s\rangle$

Більш конкретно, якщо позначає список призначення режиму $\boldsymbol R$ пов'язаний з,що з, іє унітарну матрицю опису еволюції, то ймовірність амплітудипереходу відназадається ${}^{(1)}$ $|\boldsymbol r\rangle$ $\boldsymbol S$ $|\boldsymbol s\rangle$ $U$ $\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s)$ $|\boldsymbol r\rangle$ $|\boldsymbol s\rangle$ зщо позначає матрицюпобудовану витягуючи зрядкизазначеніі стовпцізазначені.

A (r \to s) = \frac{1}{\sqrt{r! s!}} perm U [R | S],

$\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s) = \frac{1}{\sqrt{\boldsymbol r!\boldsymbol s!}} \operatorname{perm} U[\boldsymbol R|\boldsymbol S],$

U [R | S]

$U[\boldsymbol R|\boldsymbol S]$

U

$U$

R

$\boldsymbol R$

S

$\boldsymbol S$

Таким чином, враховуючи стан фіксованого входу , розподіл ймовірностей можливих результатів даються ймовірності $|\boldsymbol r_0\rangle$

p_{s} = \frac{1}{r_{0}! s!} | perm U [R | S] |^{2} .

$p_{\boldsymbol s} = \frac{1}{\boldsymbol r_0! \boldsymbol s!} \lvert \operatorname{perm}U[\boldsymbol R|\boldsymbol S] \rvert^2.$

BosonSampling - це проблема малювання «точок» відповідно до цього розподілу.

$p_s$

Суть справи полягає в тому, що вибірка з розподілу ймовірностей взагалі простіша, ніж обчислення самого розподілу . Хоча наївним способом вибірки з розподілу є обчислення ймовірностей (якщо вони ще не відомі) та використання їх для малювання точок, можливо, це будуть розумніші способи. Пробовідбірник бозонів - це те, що може скласти точки відповідно до конкретного розподілу ймовірностей, навіть якщо ймовірності, що складають сам розподіл, не відомі (а краще сказати, не ефективно піддаються обчисленню).

Крім того, хоча це може виглядати як здатність ефективно вибирати з розподілу слід перетворюватись на здатність ефективно оцінювати основні ймовірності, це не так, як тільки експоненціально багато можливих результатів. Це справді випадок вибірки бозону з рівномірно випадковими одиницями (тобто оригінальна установка BosonSampling), в якій є $\binom{m}{n}$ можливо $n$ -бозон в $m$ -моделює вихідні стани (знову ж таки, нехтуючи станами з більш ніж одним бозоном у деякому режимі). Для $m\gg n$ , це число зростає експоненціально з $n$ . Це означає, що на практиці вам потрібно буде намалювати експоненціальну кількість зразків, щоб навіть мати гідний шанс побачити один результат не один раз, не кажучи вже про те, щоб оцінити з якоюсь гідною точністю самі ймовірності (важливо зазначити, що це не є основною причиною твердості, оскільки експоненціальна кількість можливих результатів може бути подолана розумнішими методами).

У деяких конкретних випадках можливо ефективно оцінити постійність матриць за допомогою настройки вибірки бозонів. Це буде можливо лише в тому випадку, якщо одна з підматриць має велику (тобто не експоненціально малу) постійну, пов'язану з нею, так що пара вводу-виводу, пов'язана з нею, траплятиметься досить часто, щоб оцінка була здійсненною в поліноміальний час. Це дуже нетипова ситуація, і вона не виникне, якщо намалювати унітарії навмання. Для тривіального прикладу розглянемо матриці, які дуже близькі до ідентичності - подія, в якій всі фотони виходять у тих же режимах, в які вони потрапили, буде відповідати постійній, яку можна оцінити експериментально. Окрім того, що є можливим лише для деяких матриць, ${}^{(2)}$ .

Columns involved

Let $U$ be the unitary describing the one-boson evolution. Then, basically by definition, the output amplitudes describing the evolution of a single photon entering in the $k$ -th mode are in the $k$ -th column of $U$ .

The unitary describing the evolution of the many-boson states, however, is not actually $U$ , but a bigger unitary, often denoted by $\varphi_n(U)$ , whose elements are computed from permanents of matrices built out of $U$ .

Informally speaking though, if the input state has photons in, say, the first $n$ modes, then naturally only the first $n$ columns of $U$ must be necessary (and sufficient) to describe the evolution, as the other columns will describe the evolution of photons entering in modes that we are not actually using.

(1) Це лише ще один спосіб описати стан, що має багато бозонів. Замість того, щоб характеризувати стан як перелік номерів занять для кожного режиму (тобто кількість бозонів у першому режимі, число у другому тощо), ми характеризуємо стани, називаючи режим, зайнятий кожним бозоном. Так, наприклад, держава $(1, 0, 1, 0)$ може бути рівнозначно записаний як $(1, 3)$ , і це два еквівалентні способи сказати, що є один бозон у першому та один бозон у третьому режимі.

(2): С. Ааронсон та Т. Генс. "Узагальнення та дерандомізація алгоритму апроксимації Гурвіца для постійного". https://eccc.weizmann.ac.il/report/2012/170/

— glS
джерело

I started with 1 photon in each input mode, and said we're looking at the probability of having 1 photon in each output mode, so that we could avoid all these more complicated general equations involving the permanent, which you provide. In fact if

M

$M$ is the number of columns in

U

$U$ , we get that the probability of having 1 photon in each output mode is

| Perm (U) |^{2}

$|\textrm{Perm}(U)|^2$ from which we can easily get

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$ . If we let the experiment go on for long enough and get enough samples, can we not obtain an estimate for

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$ ?

— користувач1271772

In no part of the question did I mention "efficiency" or "sub-exponentially". I'm just interested to know whether or not it's possible to estimate

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$ using boson sampling.

— користувач1271772

@ user1271772 Я бачу. Це стандартний спосіб говорити про ці речі в цьому контексті, тому я, можливо, автоматично припускав, що ви мали намір говорити про ефективність. Якщо вам не байдуже кількість зразків, які ви повинні взяти, то переконайтеся, ви можете обчислити розподіл ймовірності виходу, а отже, і абсолютні значення постійних, до будь-якої точності, яка вам подобається

— glS

@gIS, Aram Harrow once told me you cannot calculate Permanents using boson sampling, so I thought there was some "catch". The best classical algorithm for simulation of exact boson sampling is:

O (m 2^{n} + m n^{2})

$\mathcal{O}\left(m2^n + mn^2\right)$ , for

n

$n$ photons in

m

$m$ output modes, what is the cost using the interferometer?

— user1271772

@ user1271772 Я відповів точніше на ваш перший пункт у редагуванні. Напевно, я заплутався, тому що параметр, про який ви згадуєте, схоже, не має великого відношення до вибірки бозону, але загалом стосується динаміки нерозрізнених бозонів через інтерферометр

— glS