Поліном Джонса

12

Існує багато досить стандартних квантових алгоритмів, які можна зрозуміти в дуже схожих рамках, починаючи з алгоритму Дойча Саймона, пошуку Гровера, алгоритму Шора тощо.

Один алгоритм, який, здається, зовсім інший, - це алгоритм оцінки полінома Джонса . Більше того, здається, що це вирішальний алгоритм, щоб зрозуміти в тому сенсі, що це повна BQP проблема: він демонструє всю потужність квантового комп'ютера. Крім того, для варіанту проблеми це DQC-1 в комплекті , тобто він демонструє всю потужність одного чистого кубіта .

У статті про алгоритм полінома Джонса дуже алгоритм представлений алгоритм щодо інших квантових алгоритмів. Чи є більш подібний / звичний спосіб, який я можу зрозуміти алгоритм (конкретно, унітарна у варіанті DQC-1, або просто вся схема у варіанті BQP-повної)? $U$

algorithm circuit-construction bqp

— DaftWullie
джерело

6

Ця відповідь є більш-менш резюме документа, присвяченого Ахаронову-Джонсу-Ландау, з яким ви пов’язані, але з усім, що не пов'язане безпосередньо з визначенням вилученого алгоритму. Сподіваємось, це корисно.

Алгоритм Ахаронова-Джонса-Ландау наближає поліном Джонса до платівкового закриття тасьми в му корені єдності, усвідомлюючи це як (деяке переосмислення) матричного елемента певної унітарної матриці , зображення при певному унітарному представництві групи коси . З огляду на реалізацію як квантового кола, наближення його матричних елементів прямо за допомогою тесту Адамара . Нетривіальна частина наближається до як квантового кола. $\sigma$ $k$ $U_\sigma$ $\sigma$ $B_{2n}$ $U_\sigma$ $U_\sigma$

Якщо - коса на пасмах з перетинами, ми можемо записати , де , $\sigma$ $2n$ $m$ $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$ $a_1, a_2, \ldots, a_m \in \{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$ , а - генератор що відповідає перетину ї нитки через st. Досить описати , оскільки . $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_m \in \{\pm 1\}$ $\sigma_i$ $B_{2n}$ $i$ $(i + 1)$ $U_{\sigma_i}$ $U_\sigma = U_{\sigma_{a_1}}^{\epsilon_1} \cdots U_{\sigma_{a_m}}^{\epsilon_m}$

Для визначення спочатку наводимо певний підмножина стандартної основи на яку діє нетривіально. Для , нехай . Назвемо $U_{\sigma_i}$ $\mathbb{C}^{2^{2n}}$ $U_{\sigma_i}$ $\psi = \lvert b_1 b_2 \cdots b_{2n} \rangle$ $\ell_{i'}(\psi) = 1 + \sum_{j = 1}^{i'} (-1)^{1-b_j}$ $\psi$ допустимо, якщо для всіх . (Це відповідає описує шлях довжиною на графіку визначеному в статті AJL.) Нехай $1 \leq \ell_{i'}(\psi) \leq k - 1$ $i' \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$ $\psi$ $2n$ $G_k$ Нехай(це помилково введено в роботі AJL; також зауважимо, що тут і тільки тут,

λ_{r} = {\begin{cases} \sin (π r / k) & if 1 \leq r \leq k - 1, \\ 0 & otherwise. \end{cases}

$\lambda_r = \begin{cases}\sin(\pi r / k) & \textrm{if $1 \leq r \leq k - 1$},\\ 0 & \textrm{otherwise.}\end{cases}$

A = i e^{- π i / 2 k}

$A = ie^{-\pi i/2k}$

не є індексом

). Запишіть

, де

- перше

біт

, а нехай

. Тоді

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

i

$i$

ψ = | ψ_{i} b_{i} b_{i + 1} \dots ⟩

$\psi = \lvert \psi_i b_i b_{i+1} \cdots\rangle$

ψ_{i}

$\psi_i$

i - 1

$i - 1$

ψ

$\psi$

z_{i} = ℓ_{i - 1} (ψ_{i})

$z_i = \ell_{i-1}(\psi_i)$

Визначимо

для неприпустимих базових елементів

.

\begin{aligned} U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 00 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 00 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 01 \dots ⟩) & = (A \frac{λ_{z_{i} - 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 10 \dots ⟩) & = A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + (A \frac{λ_{z_{i} + 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 11 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 11 \dots ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 01 \cdots \rangle) & = \left( A\frac{\lambda_{z_i-1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 10 \cdots \rangle) & = A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + \left(A\frac{\lambda_{z_i+1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle \end{align}$

U_{σ_{i}} (ψ) = ψ

$U_{\sigma_i}(\psi) = \psi$

ψ

$\psi$

$U_{\sigma_i}$ $n$ $k$ $U_{\sigma_i}$ $i - 1$ $z_i$ $z_i$ $k$ $U_{\sigma_i}$ $U_{\sigma_i}$ $1 \leq z_i \leq k - 1$

Отже, резюмувати:

$\sigma \in B_{2n}$ $m$
$\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$
$i \in \{1, 2, \ldots, m\}$ $U_{\sigma_{a_i}}$ $\epsilon_i = -1$
$U_{\sigma}$
$\lvert 1010 \cdots 10\rangle$
$\sigma$ $e^{2\pi i/k}$

— Еван Дженкінс
джерело

3

Ви згадали п'ять робіт у запитанні, але один документ, який залишається невідомим, - це експериментальна реалізація у 2009 році . Тут ви знайдете фактичну схему, яка використовувалася для оцінки полінома Джонса:

Це може бути найближчим, коли ви потрапите до «більш знайомої» презентації алгоритму, оскільки інтерес до полінома Джонса та до DQC-1 дещо занепав з 2009 року.

Більш детально про цей експеримент можна ознайомитись у дисертації Джини Пасанте .

— користувач1271772
джерело

1

U_{n}

$U_n$

Ласкаво просимо. Так, це був 4-сторінковий PRL з деталями, не поясненими так ретельно, як хотілося б - можливо, на веб-сторінці журналу є "Додатковий матеріал", який краще пояснює "U". Поліном Джонса та DQC-1 були популярні близько 2008-2009 років, але я відтоді переставав слухати про нього.

— користувач1271772