Квантова конструкція воріт XNOR

Спробував задати тут спершу, оскільки на цьому сайті було задано подібне питання. Однак здається більш актуальним для цього веб-сайту.

На сьогоднішній день я розумію, що квантовий ворота XOR - це ворота CNOT. Чи квантовий хвірт XNOR є воротом CCNOT?

Будь-класичний один біт функції $f:x\mapsto y$ , де $x\in\{0,1\}^n$ є $n$ вхід -розрядним і $y\in\{0,1\}$ є $n$ вихід -бітний може бути записані у вигляді оборотного обчислення,

$$f_r:(x,y)\mapsto (x,y\oplus f(x))$$ (Зверніть увагу, що будь-яка функція $m$ виходів може бути записана як тільки $m$ окремі 1-бітні функції.)

Квантовий хід, що реалізує це, є в основному просто квантовим переходом, що відповідає оцінці оборотної функції. Якщо ви просто випишете таблицю істинності функції, кожен рядок відповідає рядку унітарної матриці, і результат показує, який запис стовпця містить 1 (усі інші записи містять 0).

У випадку XNOR у нас є стандартна таблиця істинності, а таблиця правдивості оборотної функції Таким чином, унітарна матриця дорівнює U=( 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

$$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 00 & 1 \\ 01 & 0 \\ 10 & 0 \\ 11 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} (x,y) & (x,y\oplus f(x)) \\ \hline 000 & 001 \\ 001 & 000 \\ 010 & 010 \\ 011 & 011 \\ 100 & 100 \\ 101 & 101 \\ 110 & 111 \\ 111 & 110 \end{array}$$ $$U=\left(\begin{array}{cccccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right).$$ Це може бути легко розкладено через пару контрольованих воріт і трохи перевернути або два.

Метод, який я тільки що окреслив, дає вам дуже безпечний спосіб зробити конструкцію, яка працює для будь-якого , але він не ідеально реконструює відповідність між XOR та контрольованим не. Для цього нам потрібно припустити трохи більше про властивості функції .$f(x)$$f(x)$

Припустимо, що ми можемо розкласти вхід на таким, що і такі, що для всіх значень , значення виразні для кожного . У цьому випадку ми можемо визначити оцінку оборотної функції якЦе означає, що ми використовуємо на 1 біт менше, ніж у попередній конструкції, але звідси техніку можна повторити.$x$$a,b$$a\in\{0,1\}^{n-1}$$b\in \{0,1\}$$a$$f(a,b)$$b$

$$f:(a,b)\mapsto(a,f(a,b)).$$

Отже, повернемося до таблиці правди для XNOR. Ми можемо це бачити, наприклад, коли ми фіксуємо , два виходи становлять , отже, різні. Аналогічно для фіксації . Таким чином, ми можемо перейти до побудови оборотної функції і це дає нам унітарний

$$\begin{array}{c|c} ab & f(a,b) \\ \hline 00 & 1 \\ 01 & 0 \\ 10 & 0 \\ 11 & 1 \end{array}$$ $a=0$$1,0$$a=1$ $$\begin{array}{c|c} ab & af(a,b) \\ \hline 00 & 01 \\ 01 & 00 \\ 10 & 10 \\ 11 & 11 \end{array}$$ $$U=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ $\text{cNOT}\cdot(\mathbb{1}\otimes X)$

Квантовий XNOR не є CCNOT. CCNOT буде брати 3 біти як вхід, тоді як XOR, XNOR і CNOT беруть лише 2 біти або кубіти як вхід.

Причина, чому ми говоримо, що XOR можна розглядати як CNOT, пояснюється тут , і ті ж міркування можуть бути використані для побудови (2 кубіта) XNOR.