Мотивація

Мотивація за матрицями щільності полягає в тому, щоб представляти нестачу знань про стан даної квантової системи, інкапсулюючи в рамках одного опису цієї системи всі можливі результати результатів вимірювань, враховуючи те, що ми знаємо про систему. Представлення матриці щільності має додаткову перевагу - позбутися будь-яких проблем, пов'язаних із глобальними фазами

| ϕ ⟩ ⟨ ϕ | = (e^{i φ} | ϕ ⟩) (e^{- i φ} ⟨ ϕ |) .

$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$ Нестача знань може виникати різними способами:

Суб'єктивна нестача знань - арбітр готує для вас один із наборів станів $\{|\phi_i\rangle\}$ з вірогідністю $p_i$ , але ви не знаєте, який. Навіть якщо вони знають, які $|\phi_j\rangle$ вони підготували, оскільки ви цього не зробите, ви повинні описати це виходячи з того, що вам відомо про можливий набір станів та відповідні їм ймовірності, $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ .
Об'єктивний брак знань - якщо квантова система є частиною більшого заплутаного стану, неможливо описати систему як чистий стан, але всі можливі результати вимірювань описуються матрицею щільності, отриманою $\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$ .

Однак цікаво, що об'єктивна нестача знань може стати суб'єктивною - друга сторона може виконувати операції над рештою заплутаною державою. Вони можуть знати результати вимірювань тощо, але якщо вони не передають їх, людина, яка тримає оригінальну квантову систему, не має нових знань, і так описує свою систему, використовуючи ту саму матрицю щільності, що і раніше, але тепер це суб'єктивний опис .

Важливо також зазначити, що вибір конкретного способу подання матриці щільності, наприклад, $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ , є дуже суб'єктивним вибором. Це може бути мотивоване певною процедурою підготовки, але математично будь-який опис, який дає ту саму матрицю, рівнозначний. Наприклад, на одному кубіті $\rho=\frac12\mathbb{I}$ відомий як максимально змішаний стан. Через відношення повноти базису це може бути представлено у вигляді суміші 50:50 або двох ортогональних станів, використовуючи будь - яку 1-кубітну основу.

\frac{1}{2} I = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | = \frac{1}{2} | + ⟩ ⟨ + | + \frac{1}{2} | - ⟩ ⟨ - | .

$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$

Чисті та змішані держави

Різниця між матрицею щільності чистого стану та змішаного стану прямолінійна - чистий стан є особливим випадком, який можна записати у формі $\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$ , тоді як змішаний стан не може бути записаний у цій формі. Математично це означає, що матриця щільності чистого стану має ранг 1, тоді як змішаний стан має ранг більше 1. Найкращий спосіб обчислення цього - через $\text{Tr}(\rho^2)$ : $\text{Tr}(\rho^2)=1$ передбачає чистий стан, інакше він змішаний. Щоб побачити це, згадайте це $\text{Tr}(\rho)=1$ , що означає, що всі власні значення складають 1. Також, $\rho$ є позитивним напіввизначеним, тому всі власні значення є реальними та негативними. Отже, якщо $\rho$ є ранг 1, власними значеннями є $(1,0,0,\ldots ,0)$ , а їх сума-квадрат чітко 1. Площа суми будь-якого іншого набору невід’ємних чисел, що дорівнює 1, повинна бути меншою за 1.

Чистий стан відповідає досконалим знанням системи, хоча цікаво про квантову механіку полягає в тому, що це не означає повного знання можливих результатів вимірювань. Змішані стани представляють деяке недосконале знання, чи то знання про підготовку, чи знання про більший простір Гільберта.

Те, що опис змішаного стану набагато багатше, видно із картини сфери Блоха на одному кубіті: чисті стани - це всі ті, що знаходяться на поверхні сфери, тоді як змішані стани - всі ті, що містяться в обсязі. З точки зору підрахунку параметрів замість двох параметрів вам потрібні три, додаткові, що відповідають довжині вектора Блоха.

ρ = \frac{I + r \underline{n} \cdot \underline{σ}}{2},

$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$ де

\underline{n}

$\underline{n}$ 3-елементний одиничний вектор,

\underline{σ}

$\underline{\sigma}$ - вектор матриць Паулі, і

r = 1

$r=1$ для чистого стану, і

0 \leq r < 1

$0\leq r<1$ для змішаного стану.

— DaftWullie
джерело

(+1) Дякую, наскільки я розумію, у нас є держава

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$ і хочу знати про це

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$ , і немає попереднього способу його знайти, отже, ми визначаємо матрицю щільності, я правда? Чи є у нас різні визначення матриці щільності для різного призначення? Як, ви вже згадали

ρ = \sum_{i} p_{i} | ϕ_{i} ⟩ ⟨ ϕ_{i} |

$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ за суб'єктивну нестачу знань та за об'єктивну

ρ = {Tr}_{B} (ρ_{A B})

$\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$ по-перше, мені незрозуміло, що ви маєте на увазі під браком знань?

— tarit goswami

(продовження) По-друге, чи можете ви пояснити на прикладі, що ви маєте на увазі під суб'єктивним та об'єктивним ?

— таріт госвамі

Ціль @taritgoswami означає, що всі згодні. Отже, якщо я роблю чисту державу і оголошую її світові, всі знають, що це за держава. Це об'єктивний факт. Але якщо різні люди знають різні речі про стан, наприклад, вони знають, що це або | 0> або | 1>, але я це виміряв, і знаю, що це | 1>, але я нікому ще не сказав, то всі описує стан на основі того, що вони про нього знають, тому кожен суб'єкт має різний, особистий опис стану.

— DaftWullie

@taritgoswami Якщо є

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$ що заплуталося, поняття не існує

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$ . Це не те, що ми не можемо його знайти; його не існує. Матриця щільності - це найкращий опис A, який сам по собі може існувати, оскільки A не існує в стані сам по собі, він злитий з B. У нас немає різних визначень матриці щільності. Те, що ви робите, має те саме, що ви робите, це просто різні філософії, за допомогою яких можна зрозуміти значення та актуальність матриці щільності.

— DaftWullie

Мотивація за матрицями щільності ^[1] :

У квантовій механіці стан квантової системи представлений вектором стану, позначеним $|\psi\rangle$ (і вимовляється кет ). Квантова система з вектором стану $|\psi\rangle$ називається чистим станом . Однак можливо також, що система знаходиться в статистичному ансамблі різних державних векторів. Наприклад, може бути а $50\%$ ймовірність того, що вектором стану є $|\psi_1\rangle$ і а $50\%$ Шанс, що державний вектор $|\psi_2\rangle$ . Ця система була б у змішаному стані . Матриця щільності особливо корисна для змішаних станів, оскільки будь-який стан, чистий або змішаний, може характеризуватися матрицею однієї щільності. Змішаний стан відрізняється від квантового суперпозиції. Ймовірності в змішаному стані - це класичні ймовірності (як і ймовірності, які вивчаються в класичній теорії й статистиці ймовірностей), на відміну від квантових ймовірностей у квантовій суперпозиції. Насправді квантова суперпозиція чистих станів - це ще один чистий стан, наприклад, $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ . У цьому випадку коефіцієнти $\frac{1}{\sqrt {2}}$ - це не ймовірності, а скоріше амплітуди ймовірностей.

Приклад: поляризація світла

Прикладом чистих і змішаних станів є світлова поляризація. Фотони можуть мати дві спіральності , що відповідають двом ортогональним квантовим станам, $|R\rangle$ (права кругова поляризація ) і $|L\rangle$ ( поляризація зліва вліво ). Фотон також може перебувати в стані суперпозиції, наприклад $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ (вертикальна поляризація) або $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$ (горизонтальна поляризація). Більш загально, це може бути в будь-якій державі $\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$ (з $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ ) відповідна лінійній , круговій або еліптичній поляризації. Якщо ми пройдемо $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ поляризоване світло через круговий поляризатор, який дозволяє або тільки $|R\rangle$ поляризоване світло, або тільки $|L\rangle$ поляризоване світло, інтенсивність зменшилася б вдвічі в обох випадках. Це може здатися, що половина фотонів знаходиться в стані $|R\rangle$ а інший у державі $|L\rangle$ . Але це не правильно: І те й інше $|R\rangle$ і $|L\rangle$ частково поглинаються вертикальним лінійним поляризатором , але $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ світло буде проходити через цей поляризатор без поглинання.

Однак неполяризоване світло, наприклад світло від лампи розжарювання , відрізняється від будь-якого стану $\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$ (лінійна, кругова або еліптична поляризація). На відміну від лінійного або еліптично поляризованого світла, він проходить через поляризатор с $50\%$ втрати інтенсивності незалежно від орієнтації поляризатора; і на відміну від кругополяризованого світла, його не можна зробити лінійно поляризованим з будь-якою хвилевою пластиною, оскільки випадкова орієнтована поляризація вийде з хвильової пластини з випадковою орієнтацією. Дійсно, неполяризоване світло не можна охарактеризувати як будь-який стан форми $\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$ у визначеному сенсі. Однак неполяризоване світло можна описати середніми ансамблями, наприклад, що кожен фотон є будь-яким $|R\rangle$ з $50\%$ ймовірність або $|L\rangle$ з $50\%$ ймовірність. Така ж поведінка мала б місце, якби кожен фотон був вертикально поляризований $50\%$ ймовірність або горизонтально поляризована с $50\%$ ймовірність.

Отже, неполяризоване світло не може бути описаний жодним чистим станом, але його можна охарактеризувати як статистичний ансамбль чистих станів принаймні двома способами (ансамбль з половиною лівого та половини правого кругополяризованого, або ансамбль наполовину вертикально та наполовину горизонтально лінійно поляризований ). Ці два ансамблі повністю експериментально не відрізняються, і тому вони вважаються однаковим змішаним станом. Однією з переваг матриці щільності є те, що існує лише одна матриця щільності для кожного змішаного стану, тоді як існує багато статистичних ансамблів чистих станів для кожного змішаного стану. Тим не менш, матриця щільності містить всю інформацію, необхідну для обчислення будь-якої вимірюваної властивості змішаного стану.

Звідки беруться змішані стани? Щоб відповісти на це, подумайте, як генерувати неполяризоване світло. Один із способів - використовувати систему в тепловій рівновазі , статистичну суміш величезної кількості мікростатів , кожен з певною вірогідністю ( коефіцієнт Больцмана ), швидко перемикаючись з одного на інший через теплові коливання . Теплова випадковість пояснює, чому лампа розжарювання , наприклад, випромінює неполяризоване світло. Другий спосіб генерувати неполяризоване світло - це ввести невизначеність у підготовку системи, наприклад, пропускаючи її через світловідбиваючий кристалз шорсткою поверхнею, так що трохи різні частини променя набувають різної поляризації. Третій спосіб генерування неполяризованого світла використовує параметр EPR: радіоактивний розпад може випромінювати два фотони, що рухаються в протилежних напрямках, у квантовому стані $\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$ . Два фотона разом знаходяться в чистому стані, але якщо ви дивитесь лише на один з фотонів і ігноруєте інший, фотон поводиться так само, як неполяризоване світло.

Більш загально, змішані стани зазвичай виникають із статистичної суміші вихідного стану (наприклад, у тепловій рівновазі), від невизначеності в процедурі підготовки (наприклад, трохи інших шляхів, якими може пройти фотон), або з перегляду підсистеми, заплутаної щось ще.

Отримання матриці щільності ^[2] :

Як було сказано раніше, система може бути в статистичному ансамблі різних державних векторів. Скажіть, що є $p_1$ ймовірність того, що вектором стану є $|\psi_1\rangle$ і $p_2$ ймовірність того, що вектором стану є $|\psi_2\rangle$ - відповідні класичні ймовірності кожної держави, що готується.

Скажімо, зараз ми хочемо знайти значення очікування оператора $\hat{O}$ . Він задається як:

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩ + p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩

$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

Зауважте, що $\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$ і $p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$ - скаляри, а сліди скалярів - також скаляри. Таким чином, ми можемо записати наведений вираз у вигляді:

⟨ \hat{O} ⟩ = T r (p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩) + T r (p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩)

$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$

Тепер, використовуючи властивості циклічної інваріантності та лінійності сліду :

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} T r (\hat{O} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} T r (\hat{O} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)

$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$

= T r (\hat{O} (p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)) = T r (\hat{O} ρ)

$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$

де $\rho$ це те, що ми називаємо матрицею щільності. Оператор щільності містить всю інформацію, необхідну для обчислення значення очікування для експерименту.

Таким чином, в основному матриця щільності $\rho$ є

p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} | + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |

$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$ в цьому випадку.

Можна, очевидно, екстраполювати цю логіку, коли для системи можливі більше ніж два вектори стану з різними ймовірностями.

Обчислення матриці щільності:

Візьмемо приклад таким чином.

На наведеному вище зображенні лампочка розжарювання $1$ випромінює повністю випадкові поляризовані фотони $2$ зі змішаною матрицею щільності стану

Як було сказано раніше, неполяризоване світло можна пояснити середнім рівнем ансамблю, тобто скажімо, що кожен фотон є будь-яким $|R\rangle$ або $|L\rangle$ з $50%$ ймовірність для кожного. Інший можливий середній показник ансамблю: кожен фотон є або $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ або $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ з $50\%$ ймовірність для кожного. Є також багато інших можливостей. Спробуйте самі придумати щось. Слід зазначити, що матриця щільності для всіх цих можливих ансамблів буде точно однаковою. І саме це є причиною того, що розклад матриці щільності на чисті стани не є унікальним. Давайте перевіримо:

Випадок 1 : $50\%$ $|R\rangle$ & $50\%$ $|L\rangle$

ρ_{mixed} = 0.5 | R ⟩ ⟨ R | + 0.5 | L ⟩ ⟨ L |

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$

Тепер, в основі $\{|R\rangle, |L\rangle\}$ , $|R\rangle$ можна позначати як $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ і $|L\rangle$ можна позначати як $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$

Випадок 2 : $50\%$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ & $50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

ρ_{mixed} = 0.5 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0.5 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

В основі $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ , $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ можна позначати як $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ і $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ можна позначати як $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$ Таким чином, ми можемо чітко бачити, що ми отримуємо однакові матриці щільності як у випадку 1, так і у випадку 2.

Однак, пройшовши через вертикальний плоский поляризатор (3), решта фотонів усі вертикально поляризовані (4) і мають матрицю чистої щільності стану:

ρ_{pure} = 1 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

В основі $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ , $|R\rangle$ можна позначати як $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ і $|L\rangle$ можна позначати як $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 1 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 1 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Випадок з одним кубітом:

У цьому випадку матриця щільності буде просто:

ρ_{pure} = 1 | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$

Якщо ви використовуєте ортонормальну основу $\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$ ,

матриця щільності просто буде:

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Це дуже схоже на "випадок 2" вище, тому я не показував розрахунки. Ви можете задавати питання в коментарях, якщо ця частина здається незрозумілою.

Однак ви також можете використовувати $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ основа, як це зробив @DaftWullie у своїй відповіді .

У загальному випадку для 1-кубітного стану матриця щільності в $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ Основою буде:

ρ = 1 (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) \otimes (α^{*} ⟨ 0 | + β^{*} ⟨ 1 |)

$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$

= [\begin{matrix} α \\ β \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} α^{*} & β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} α α^{*} & α β^{*} \\ β α^{*} & β β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$

Зауважте, що ця матриця $\rho$ є безсильним, тобто $\rho = \rho^2$ . Це важлива властивість матриць щільності чистого стану і допомагає нам відрізнити їх від матриць щільності змішаних станів.

Обов’язкові вправи:

1. Покажіть, що матриці щільності чистих станів можна діагоналізувати до форми $\text{diag}(1,0,0,...)$ .
2. Доведіть, що матриці щільності чистих станів ідентичні.

Джерела та довідники :

[1] : https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2] : https://physics.stackexchange.com/a/158290

Іміджеві кредити :

Користувач Kaidor на Wikimedia

— Санчаян Дутта
джерело

Спочатку трохи заплутано те, що ви розглядаєте як свою початкову ситуацію. Може розглянути можливість переключення | L> і | R> на | H> і | V> (з поляризатором встановлено D)? Хоча технічно це все ті ж речі в якійсь основі, я думаю, що природніше думати про поляризатори на основі H, V.

— Стівен Сагона

Я думаю, що це питання пропускає найбільш фундаментальний аспект різного між чистим і змішаним, і це те, що змішані стани не ведуть себе квантово механічно. Ви кажете, що стани - це класичні суміші, але ви не вказуєте, як стани суперпозицій квантово поводяться механічно (що нетривіально). Наприклад, якщо у вас є щось в 1-кубітній суперпозиції, також є шанс 50/50 для кожного з варіантів. Тож чим цей стан відрізняється від класичного. Я думаю, що показувати, як ми можемо бачити "квантову інтерференцію" стану суперпозиції, це як правильно проілюструвати різницю.

— Стівен Сагона

^ Ця ідея трохи обговорюється тут: physics.stackexchange.com/questions/409205/…

— Стівен Сагона

@StevenSagona Дякую за вказівку на це. Я оновлю свою відповідь.

— Санчаян Дутта

Матриці щільності для чистих станів і змішаних станів

Мотивація

Чисті та змішані держави

Мотивація за матрицями щільності [1] :

Приклад: поляризація світла

Отримання матриці щільності [2] :

Обчислення матриці щільності:

Випадок з одним кубітом:

Обов’язкові вправи:

Мотивація за матрицями щільності ^[1] :

Отримання матриці щільності ^[2] :