Чи може адіабатичні квантові обчислення бути швидшими, ніж алгоритм Гровера?

Доведено, що адіабатичні квантові обчислення еквівалентні "стандартним", або квантовим обчисленням в моделях "ворота". Однак Adiabatic обчислення показує обіцянки щодо проблем оптимізації, де метою є мінімізація (або максимізація) функції, яка певним чином пов'язана з проблемою - тобто пошук примірника, який мінімізує (або максимізує) цю функцію негайно вирішує проблема.

Тепер мені здається, що алгоритм Гровера може по суті зробити те ж саме: за допомогою пошуку простору рішення він знайде одне рішення (можливо, з багатьох рішень), що задовольняє критерію oracle, що в даному випадку прирівнюється до умови оптимальності, в часі , де- розмір простору рішення. $O(\sqrt N)$ $N$

Цей алгоритм виявився оптимальним: як Bennett et al. (1997) сказано, що "клас не може бути розв'язаний на квантовій машині Тьюрінга за часом ". На моє розуміння, це означає, що немає способу побудувати будь-який квантовий алгоритм, який знайде рішення шляхом пошуку через простір швидше, ніж $\rm NP$ $o(2^{n/2})$ , демасштабує з розміром проблеми. $O(\sqrt N)$ $N$

Отож, моє запитання таке: хоча адіабатичні квантові обчислення часто подаються як вищі, коли йдеться про проблеми з оптимізацією, чи справді це може бути швидше, ніж ? Якщо так, це, здається, суперечить оптимальності алгоритму Гровера, оскільки будь-який адіабатичний алгоритм може бути змодельований квантовим контуром. Якщо ні, то який сенс розробити адіабатичні алгоритми, якщо вони ніколи не будуть швидшими, ніж те, що ми можемо систематично побудувати за допомогою схем? Або щось не так з моїм розумінням? $O(\sqrt N)$

grovers-algorithm adiabatic-model

— Діон Дж Дон Ківі ван Вреумінген
джерело

Відповіді:

$\sqrt{N}$

$x$ $f(x)$ $f(x)$ $M$ $f(x)$ $x$ $f(x) - f_\text{min}$

Тим не менш, є два потенційні переваги адіабатичного КК, обидва з яких важко вивчити теоретично. Перший практичний: побудувати великі когерентні квантові схеми набагато важче, ніж просто малювати їх у статті статті. Незважаючи на те, що адіабатичний КК не має якоїсь принципової переваги перед традиційною установкою, це може бути набагато простіше здійснити експериментально.

По-друге, такий же величезний застереження стосується AQC, як і для стандартного алгоритму Гровера: він стосується лише неструктурованого пошуку або пошуку в чорному ящику, де ми повністю ігноруємо будь-які кореляції між відповідями, які дає оракул, коли його подають у "подібних" або " пов'язані "запити. Будь-яка реальна проблема пошуку, яка нас хвилює, за визначенням має певну структуру, хоча ця структура може бути нам надто складною для аналізу. Наприклад, якщо ми вважаємо, що функція буде екстремізована як енергетичний ландшафт, здається розумним, що система може легше тунелювати між "сусідніми" локальними мінімумами, ніж між "далекими".

$\subset$

— тпаркер
джерело

Відмінна відповідь, велике спасибі! І ще одне: що саме ви маєте на увазі під "подоланням бар'єру релятивізації"?

— Діон Дж Дон Ківі ван Вреумінген

@DonKiwi Це дивний теоретичний жаргон CS. Часто ми не можемо знайти доказ для претензії, але ми можемо довести метарезультат про те, які докази могли б чи не спрацюють, щоб довести претензію. "Бар'єр" означає, що деякі широкі класи доказів не є достатньо потужними для підтвердження твердження. Наприклад, будь-який доказ того, що якийсь конкретний алгоритм пошуку структурованої проблеми дає швидше, ніж

\sqrt{N}

$\sqrt{N}$ пришвидшити потрібно було б скористатись деталями конкретної структури проблеми - адже, якби цього не було, воно не могло бути швидшим за алгоритм Гровера,

— tparker

що виявилося оптимальним для неструктурованого пошуку. Ось що означає, що доказ потребує "подолання бар'єру релятивізації". Так само існує оракул

O

$O$ відносно якого

P^{O} = {N P}^{O}

$\mathbf{P}^O = \mathbf{NP}^O$ , тому будь-який докаже це

P \neq N P

$\mathbf{P}\neq \mathbf{NP}$ не може релятивізувати будь-який (він не може використовувати оракули). Примітно, що деякі докази робити релятівізіровать; наприклад, доведення теореми часової ієрархії. Це означає, що не тільки є

P \neq E X P T I M E

$\mathbf{P} \neq \mathbf{EXPTIME}$ , але

P^{O} \neq {E X P T I M E}^{O}

$\mathbf{P}^O \neq \mathbf{EXPTIME}^O$ для будь-якого оракула

O

$O$ !

— tparker

Ах, це має сенс зараз. Мені буде дуже цікаво побачити будь-які події в цій галузі.

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen

Адіабатичні квантові обчислення не можуть зробити нічого швидшого, ніж квантові обчислення на основі схем з точки зору складності обчислення. Це пояснюється тим, що існує математичний доказ того, що квантові обчислення на основі схем можуть ефективно моделювати адіабатичні квантові обчислення [див. Розділ 5 цієї статті ].

чи справді це може бути швидше, ніж $\mathcal{O}(\sqrt{N})$ ?

Відповідь - ні. Це тому, що якщо AQC міг би це зробити, скажімо, $\mathcal{O}(\log{N})$ , тоді QC на основі схем також може це зробити $\mathcal{O}(\log{N})$ за алгоритмом у розділі 5 статті, яку я зв'язав вище. Це порушило б оптимальність $\mathcal{O}(\sqrt{N})$ для неструктурованого пошуку.

— користувач1271772
джерело

Цікаво, звідки взялася сутичка ...

— user1271772