Який взаємозв'язок між воротами Тоффолі та коробкою Попеску-Рорліха?

Фон

Ворота Toffoli - це 3-вихідний, 3-вихідний класичний логічний затвор. Він посилає до ( x , y , a ⊕ ( x ⋅ y ) ) . Він важливий тим, що він є універсальним для оборотних (класичних) обчислень.$(x, y, a)$$(x, y, a \oplus (x \cdot y))$

Поле Попеску-Рорліха є найпростішим прикладом кореляції без сигналів. Потрібна пара входів і виходів ( a , b ), що задовольняють x ⋅ y = a ⊕ b, такі, що a і b є однорідними випадковими змінними. Він є універсальним для певного класу ( але не всіх ) несигнальних кореляцій.$(x, y)$$(a, b)$$x \cdot y = a \oplus b$$a$$b$

На мій погляд, ці два об'єкти виглядають надзвичайно подібними, особливо якщо ми збільшуємо поле PR, вивівши його . Цей 2-вхідний, 4-вихідний PR-вікно "є" 3-вхідним, 3-вихідним тоффолінським затвором, але з третім входом замінено випадковим виходом. Але я не зміг знайти жодних посилань, які стосуються їх.$(x, y, a, b) = (x, y, a, a \oplus (x \cdot y))$

Питання

Який взаємозв'язок між воротами Тоффолі та коробкою Попеску-Рорліха? Чи є щось на зразок відповідності між оборотними класичними схемами та (певним класом?) Несигнальних кореляцій, які відображають одне до іншого?

Спостереження

1. $x$$x$

2. $x$$(a, x \cdot a)$$a$$x \cdot a$$0$$x = 0$$x$$x \cdot a$. Але цю процедуру вже можна відтворити класично із спільним джерелом випадковості. Тож я б очікував, що включення незворотних воріт не розширює клас кореляцій без сигналів, які можна побудувати.

Природний спосіб зв’язувати ворота Toffoli і PR-поля - це бачити їх як представлення функції AND двох бінарних входів, але різними способами. Зв'язок із функцією AND очевидний і чітко визнаний питанням, але я б висловив це дещо по-іншому:

1. $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$$|x,a\rangle \mapsto |x,a\oplus f(x)\rangle$

2. $(x,y)$$(\text{AND}(x,y)\oplus a, a)$$(a,\text{AND}(x,y)\oplus a)$$a\in\{0,1\}$являє собою рівномірно генерований випадковий біт. Таким чином, вихід PR-поля є або ідеально корельованою, або ідеально антикорельованою парою випадкових бітів, залежно від того, чи AND входів становить 0 або 1 відповідно. Це цікаво тим, що Аліса та Боб спільно знають вихід функції AND (яку вони можуть отримати, обчислюючи XOR своїх вихідних бітів), тоді як окремо вони взагалі не мають інформації про це значення.

Ідея про те, що PR-поле ефективно обчислює функцію AND таким чином розподіленим способом, є ключовою ідеєю доказу Віма ван Дама про те, що складність спілкування стає тривіальною при наявності PR-скринь:

Вім ван Дам. Неймовірні наслідки надсильної нелокальності. Природні обчислення 12 (1): 9-12, 2013.