Квантовий алгоритм для лінійних систем рівнянь (HHL09): Крок 1 - Плутанина щодо використання алгоритму оцінки фаз

11

Я вже деякий час намагаюся обвести голову навколо відомого (?) Паперового квантового алгоритму для лінійних систем рівнянь (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) (більш відомий як папір алгоритмів HHL09 ).

На першій сторінці вони кажуть :

Ми прорисуємо тут основну ідею нашого алгоритму, а потім детальніше обговоримо його в наступному розділі. З огляду на ермітовим $N\times N$ матриці $A$ , а одиничний вектор , припустимо , що ми хотіли б знайти , що задовольняють . (Ми обговорюємо більш пізні питання ефективності, а також те, як можна розслабити припущення, зроблені нами щодо і .) По-перше, алгоритм представляє як квантовий стан . Далі ми використовуємо методи моделювання гамільтонів [3, 4], щоб застосувати до $\vec{b}$ $\vec{x}$ $A\vec{x} = \vec{b}$ $A$ $\vec{b}$ $\vec{b}$ $|b\rangle = \sum_{i=1}^{N}b_i|i\rangle$ $e^{iAt}$ $|b_i\rangle$ для суперпозиції різних часів . Ця здатність до експоненціації переводить за допомогою відомої методики фазової оцінки [5–7] у здатність розкласти в власній базі і знайти відповідні власні значення Неофіційно, стан система після цього етапу близька до , де - основа власного вектора і . $t$ $A$ $|b\rangle$ $A$ $\lambda_j$ $\sum_{j=1}^{j=N} \beta_j |u_j\rangle|\lambda_j\rangle$ $u_j$ $A$ $|b\rangle = \sum_{j=1}^{j=N} \beta_j|u_j\rangle$

Все йде нормально. Як описано в Nielsen & Chuang у розділі " Квантове перетворення Фур'є та його застосування ", алгоритм оцінки фази використовується для оцінки в що є власним значенням, що відповідає власному вектору унітарного оператора . $\varphi$ $e^{i2\pi \varphi}$ $|u\rangle$ $U$

Ось відповідна порція від Nielsen & Chuang:

Алгоритм оцінки фази використовує два регістри. Перший реєстр містить кубітів, спочатку в державі . Те, як ми виберемо залежить від двох речей: від кількості цифр точності, яку ми бажаємо мати в нашій оцінці для , і з якою ймовірністю бажаємо, щоб процедура оцінки фази була успішною. Залежність від цих величин закономірно випливає з наступного аналізу. $t$ $|0\rangle$ $t$ $\varphi$ $t$

Другий реєстр починається у державному і містить стільки ж кубітів , як це необхідно для зберігання . Фазова оцінка проводиться у два етапи. Спочатку застосуємо схему, показану на рисунку 5.2. Схема починається з застосування перетворення Адамара до першого регістра, після чого застосовується керовані операції на другому регістрі, з підняті до послідовних потужностей двох. Кінцевий стан першого регістра легко видно: $|u\rangle$ $|u\rangle$ $U$ $U$

$\frac{1}{2^{т / 2}} (| 0 ⟩ + досвід (2 π i 2^{т - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + досвід (2 π i 2^{т - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + досвід (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩) = \frac{1}{2^{т / 2}} \sum_{к = 0}^{2^{т} - 1} досвід (2 π i φ к) | к ⟩$ $\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)= \frac{1}{2^{t/2}}\sum_{k=0}^{2^{t}-1}\text{exp}(2\pi i \varphi k)|k\rangle$

Другий етап оцінки фази полягає в застосуванні зворотного квантового перетворення Фур'є на перший регістр. Це отримується шляхом обертання схеми для квантового перетворення Фур'є в попередньому розділі (вправа 5.5) і може бути виконано в кроки. Третій і заключний етап оцінки фази - це зчитування стану першого регістра, шляхом вимірювання в обчислювальній основі. Ми покажемо, що це дає досить хорошу оцінку . Загальна схема алгоритму наведена на рисунку 5.3. $\Theta (t^2)$ $\varphi$

Щоб загострити нашу інтуїцію щодо того, чому працює оцінка фаз, припустимо, що може бути виражений саме цілими бітами, як . Тоді стан (5.20), отриманий в результаті першого етапу оцінки фази, може бути переписаний $\varphi$ $\varphi = 0.\varphi_1 ... \varphi_t$

$\frac{1}{2^{т / 2}} (| 0 ⟩ + досвід (2 π i 0. φ_{т} | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + досвід (2 π i 0. φ_{т - 1} φ_{т} | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + досвід (2 π i 0. φ_{1} . . . φ_{т} | 1 ⟩)$ $\frac{1}{2^{t/2}}(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_t|1\rangle)(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_{t-1}\varphi_t|1\rangle)...(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_1...\varphi_t|1\rangle)$
Другий етап оцінки фази полягає в застосуванні зворотного квантового перетворення Фур'є. Але порівнюючи попереднє рівняння з формою добутку для перетворення Фур'є (рівняння (5.4)), ми бачимо, що вихідним станом на другій стадії є стан продукту . Отже, вимірювання в обчислювальній основі дає нам точно ! $|\varphi_1 ...\varphi_t\rangle$ $\varphi$

Підводячи підсумок, алгоритм оцінки фаз дозволяє оцінити фазу власного значення унітарного оператора даним відповідним власним вектором . Істотною особливістю в основі цієї процедури є здатність зворотного перетворення Фур'є здійснювати перетворення $\varphi$ $U$ $|u\rangle$

$\frac{1}{2^{t / 2}} \sum_{j = 0}^{2^{t} - 1} \exp (2 π i φ j) | j ⟩ | u ⟩ \to | \tilde{φ} ⟩ | u ⟩$ $\frac{1}{2^{t/2}}\sum_{j = 0}^{2^t-1}\exp(2\pi i \varphi j)|j\rangle |u\rangle \to |\tilde \varphi \rangle |u\rangle$

Почнемо звідси. Я знайшов хорошу схему для алгоритму HHL09 тут ^{[ ] $\dagger$} :

Крок 1 (Оцінка фази):

На першому кроці алгоритму HHL09 використовується та сама концепція (стандартного алгоритму квантової оцінки фаз, як описано у Нільсена та Чуанга). Однак ми маємо пам’ятати, що сам по собі не є унітарним оператором. Однак, якщо припустити, що є ермітієм, то експонентна є унітарною (не хвилюйтесь, існує розв'язок у випадку, якщо не є гермітом!). $A$ $A$ $e^{iAt}$ $A$

Тут ми можемо записати . Тут є ще один тонкий момент. Ми не знаємо власних векторів з заздалегідь (але ми знаємо , що для будь-якої унітарної матриці розміру існує ортонормованих власних векторів). Крім того, нам потрібно нагадати, що якщо власними значеннями є то власними значеннями будуть $U=e^{iAt}$ $|u_j\rangle$ $U$ $N\times N$ $N$ $A$ $\lambda_j$ $e^{iAt}$ $e^{i \lambda_j t}$ . Якщо порівняти це з формою власних значень, наведених у Нільсена та Чуанга для тобто якщо , ми знайдемо $U$ $e^{2\pi i \varphi} \equiv e^{ i \lambda_j t}$ . У цьому випадку ми починаємо в державі(яка може бути записана у вигляді суперпозиції власних векторівтобто)а не якийсьабо конкретний власний векторз, наскільки другий регістр кубітів стурбований. Якби ми почали в державіми б закінчили з $\varphi = \frac{\lambda_j t}{2\pi}$ $|b\rangle$ $U$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$ $|u_j\rangle$ $U$ $|u\rangle \otimes (|0\rangle)^{\otimes t}$ т $|u\rangle \otimes |\tilde\varphi\rangle$ (враховуючищоє власним значеннямпов'язаний з власним векторомз). Тепер, замість цього, якщо ми почнемо з суперпозиції власних векторівми повинні закінчити з $|u_j\rangle \otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$ $\lambda_j$ $|u_j\rangle$ $A$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$ . $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

Питання:

Частина 1 : У статті HHL09 вони писали про стан системи після цього етапу оцінки фази: . Однак із написаного вище мені здається, що стан системи повинен бути скоріше $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle$ . $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

Що я тут пропускаю? Звідки взявся фактор зникають у їхньому алгоритмі? $\frac{t}{2\pi}$

Edit: Частина 2 було запропоновано тут , щоб зробити окремі питання більш зосередженим.

^{У мене також є декілька плутанин щодо кроку 2 та кроку 3 алгоритму HHL09, але я вирішив розмістити їх як окремі потокові питання, оскільки ця стає занадто довгою. Я додаю посилання на ці теми запитів, після цього повідомлення, коли вони будуть створені.}

[ ]: Експерименти з гомоморфного шифрування на хмарній квантовій обчислювальній платформі IBM Huang та ін. (2016 р.) $\dagger$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— Санчаян Дутта
джерело

1

@ Неліме, що

походить від формули

6

$6$

. Він позначає кількість кубітів у "першому регістрі", необхідних для представлення кожного

або

t = 3 + ⌈ \log_{2} (2 + \frac{1}{2 (0.1)}) ⌉ = 3 + 3 = 6

$t = 3 + \lceil { \log_2(2+\frac{1}{2 (0.1)})\rceil} = 3 + 3 = 6$

| λ_{j} ⟩

$|\lambda_j\rangle$

до

-bits точності і з

точністю. До уваги, зауважте, що частина питання тепер перенесенатут.

| \frac{λ_{j} t}{2 π} ⟩

$|\frac{\lambda_j t}{2\pi}\rangle$

3

$3$

90 %

$90\%$

— Санчаян Дутта

5

Це залежить від паперів, але я побачив 2 підходи:

У більшості робіт, які я читаю про алгоритм HHL та його реалізацію, час емісії гамільтонів приймається таким, що цей фактор зникає, тобто . $t$ $t = t_0 = 2\pi$
Орієнтовне власне значення часто записується . У деяких документах ця позначення дійсно означає "наближення справжнього власного значення ", а в інших роботах вони, схоже, включають $\tilde \lambda$ $\lambda$ у цьому визначенні, тобто " - наближення значення $\frac{t}{2\pi}$ $\tilde \lambda$ ". $\frac{\lambda t}{2\pi}$

Ось декілька посилань:

Квантові алгоритми лінійних систем: праймер (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) : повна і дуже хороша стаття про алгоритм HHL та деякі вдосконалення. Стаття від 22 лютого 2018 р. Значення вас цікавить, вперше розглядається на сторінці 30, в легенді малюнка 5 і фіксується в . $t$ $2\pi$
Квантове проектування схем для розв’язування лінійних систем рівнянь (Cao, Daskin, Frankel & Kais, 2013) (візьміть v2, а не v3): детальна реалізація алгоритму HHL для фіксованої матриці 4x4. Якщо ви плануєте скористатися статтею, дозвольте попередити, що в цьому є деякі помилки. Я можу надати вам ті, кого я знайшов, якщо вас цікавить. Значення для (яке в даній роботі позначається як ) фіксується на на другій сторінці (на початку правого стовпця). $t$ $t_0$ $2\pi$
$t = 2\pi$
$t_0 = 2\pi$

— Неліме
джерело

2

Що я тут пропускаю? Звідки взявся фактор $\frac{t}{2\pi}$

$U$ $e^{-i\lambda t}$ $\lambda t/(2\pi)$ $A$ $\lambda$

$U$ $e^{-i\lambda t}$ $A$ $\lambda\rangle$

$|\tilde\lambda\rangle$

— DaftWullie
джерело