Реалізація воріт CCCNOT, використовуючи лише ворота Toffoli

Затвор CCCNOT - це чотирибітний реверсивний затвор, який перевертає свій четвертий біт тоді і лише тоді, коли перші три біти знаходяться в стані .$1$

Як я можу реалізувати ворота CCCNOT за допомогою воріт Toffoli? Припустимо, що біти в робочій області починаються з певного значення - 0 або 1, за умови повернення їх до цього значення.

Я думаю, що ви шукаєте, це наступна схема. Тут $b_1,b_2,b_3,b_4 \in \{0,1\}$ і $\oplus$ є модулем додавання $2$ .

Тут п'ятий кубіт використовується як допоміжний , або допоміжний кубіт . Починається з $|0\rangle$ і закінчується в $|0\rangle$ , коли застосовується схема.

Дозвольте мені детальніше розповісти про те, як працює ця схема. Ідея полягає в тому, щоб насамперед перевірити, чи знаходяться перші два кубіти у стані $|1\rangle$ . Це можна зробити за допомогою одного ворота Toffoli, а результат зберігається в допоміжному кубіті. Тепер проблема зводиться до перекидання кубіта $4$ , коли кубіти $3$ та допоміжний кубіт знаходяться у $|1\rangle$ . Цього можна досягти також за допомогою одного застосування воріт Toffoli, а саме середнього в схемі, показаній вище. Нарешті, останній воріт Тоффолі служить для обчислення тимчасового результату, який ми зберігали в допоміжному кубіті, таким чином, що стан цього кубіта повертається до $|0\rangle$ після застосування схеми.

---

У розділі коментарів виникло питання, чи можна реалізувати таку схему, використовуючи лише ворота Toffoli, не використовуючи допоміжні кубіти. На це питання можна відповісти негативно, як я покажу тут.

Ми хочемо реалізувати цілі $\mathrm{CCCNOT}$ , які діють на чотири кубіти. Ми можемо визначити наступну матрицю (матрицю уявлення Паулі $X$ -gate):

$$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ Крім того, ми будемо позначати $N$ - мірну матрицю ідентичності $I_N$ . Тепер ми помічаємо, що матричне подання врожаю $\mathrm{CCCNOT}$ , що діє на чотири кубіти, задається наступною матрицею $16 \times 16$ : $$\mathrm{CCCNOT} = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{CCCNOT}) = -1$$ $4$ $$\mathrm{Toffoli} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_6 & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 \\ 0 & X \otimes I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{Toffoli} \otimes I_2) = 1$$ Ворота Toffoli можуть також діяти на різні кубіти. Припустимо, ми дозволяємо воріт Тоффолі діяти на першому, другому та четвертому кубітах, де четвертий кубіт є цільовим кубітом. Тоді ми отримуємо нове матричне подання з показаного вище, замінюючи стовпці, відповідні станам, які відрізняються лише третім та четвертим кубітом, тобто з , з і т. д. Важливе, що тут слід зазначити, - це те, що кількість свопів стовпців є рівною, а значить, визначник залишається незмінним. Як ми можемо записати кожну перестановку кубітів як послідовність послідовних перестановок всього кубітів (тобто$|0001\rangle$$|0010\rangle$$|0101\rangle$$|0110\rangle$$2$$S_4$генерується транспозиціями в ), ми виявляємо, що для всіх воріт Тоффолі, застосованих до будь-якої комбінації кубітів управління та цілі, його матричне подання має визначник .$S_4$$1$

Останнім, що слід зазначити, є те, що детермінанта комунікує з матричним множенням, тобто , для будь-яких двох матриць і сумісних з матричним множенням. Отже, тепер стає очевидним, що застосування декількох воріт Toffoli послідовно ніколи не створює ланцюга, матричне подання якого має визначальний відмінність від , що, зокрема, означає, що не може бути реалізований, використовуючи лише ворота Toffoli на кубітах .$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$A$$B$$1$$\mathrm{CCCNOT}$$4$

Очевидним питанням є те, що змінюється, коли ми дозволяємо допоміжний кубіт. Відповідь ми знаходимо, коли дію в кубітній системі: Якщо обчислимо цей визначник, знайдемо : Отже, детермінанта діє на кубітів, дорівнює , а не . Ось чому попередній аргумент недійсний для$\mathrm{CCCNOT}$$5$

$$\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{28} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2) = 1$$ $\mathrm{CCCNOT}$$5$$1$$-1$$5$ кубіти, як ми вже знали через чітко побудовану схему, яку вимагала ОП.