Як довести / спростувати універсальність для набору воріт?

Універсальний набір воріт здатний імітувати роботу будь-якого іншого типу воріт, надаючи достатню кількість воріт. Наприклад, універсальним набором квантових воріт є Адамард (  $H$  ), фазовий зсув $\pi/8$ (  $T$  ) і затвор $\mathrm{CNOT}$Як можна спростувати або довести універсальність набору воріт, таких як $\{H,T\}$ , $\{\mathrm{CNOT},T\}$ або $\{\mathrm{CNOT}, H\}$ ?

Універсальність може бути дуже тонкою справою, що досить складно довести. Зазвичай існує два варіанти його доказування:

• покажіть безпосередньо, використовуючи вибрані ворота, як побудувати будь-який довільний унітар довільної величини (немає обмежень щодо розміру конструкції, просто це можна зробити) до довільної точності (на деякому нетривіальному підпросторі повного Гільберта простір).

• покажіть, як обраний набір воріт можна використовувати для відтворення (до довільної точності) існуючого універсального набору.

І навпаки, якщо ви хочете спростувати це, ви показуєте, що ефект вашого набору воріт завжди може бути імітований (припускається) меншою моделлю обчислень, як правило, класичним обчисленням.

Є кілька евристик, які можна використовувати для настанови:

• у вашому наборі повинні бути багатокубітні ворота. Якщо у вас є однокубітні ворота, ви можете імітувати кожен кубіт самостійно на класичному комп'ютері. Отже, якщо ми вважаємо, що квантові комп'ютери є більш потужними, ніж класичні, поодинокі кубітні ворота не є універсальними для квантових обчислень. Це виключає {H, T}.

• у вас повинна бути ворота, яка створює суперпозиції. Це виключає {CNOT, T}. Знову ж таки, це класичне обчислення з додаванням невідповідної глобальної фази.

Звичайно, це недостатня умова: множина {H, S, CNOT} також може бути ефективно змодельована (див. Теорему Готтсмена-Кнілла). Це також має бути справедливо для {H, CNOT}, оскільки вони є підмножиною, і тому операції, які вони можуть створювати, не більше ніж в оригінальному наборі.

Один із універсальних наборів, який мені здається найцікавішим, це {Toffoli, H} . Мене завжди дивує, що цього достатньо (особливо якщо порівнювати з попереднім набором). Зауважте, що воно не включає жодних складних чисел.

$$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$$

Нільсен та Чуанг, стр. 191 випуску 10-ї річниці:

$d$$n$$n$

Перше речення є прийнятим результатом, тому ви повинні просто показати, що комбінація вашого набору воріт може реалізувати "довільну дворівневу унітарну операцію". Для цитування Вікіпедії:

Технічно це неможливо, оскільки кількість можливих квантових воріт незліченна, тоді як кількість кінцевих послідовностей з кінцевої множини підраховується. Щоб вирішити цю проблему, нам потрібно лише, щоб будь-яка квантова операція могла бути апроксимована послідовністю воріт із цього кінцевого набору.

Дивіться також цей документ .