Чи має місцева еквівалентність Кліффорда пряме графічне зображення для стану qudit графа непростішого виміру?

Це питання є наслідком попереднього питання QCSE: " Чи чітко визначені стани графіків qudit для непростішого виміру? ". Від відповіді на питання, він здається , що немає нічого поганого в визначенні графа станів , використовуючи$d$-вимірні квади, однак, схоже, що інші визначені аспекти графіків-станів не подібно до непростішого виміру.

Зокрема, для станів графіків кубіту одним із ключових аспектів їх поширеності та використання є той факт, що: будь-які два стани графів є локальними еквівалентами Кліффорда, якщо і лише за наявності певної послідовності локальних доповнень, яка переносить один графік на інший (для простого, непрямі графіки). Потрібно говорити, що це неймовірно корисний інструмент для аналізу квантової корекції помилок, заплутування та мережевих архітектур.

При розгляді стану -qudit графа еквівалентний графік тепер зважується за допомогою матриці суміжності , де - вага краю ( з вказує на відсутність краю). У випадку qudit було показано, що еквівалентність LC аналогічно може бути розширена узагальненням локальної комплементації ( ) та включенням операції множення ребер ( ), де: $n$$A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$$A_{ij}$$(i,j)$$A_{ij}=0$$\ast_a v$$\circ_b v$

$$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$$ де і вся арифметика виконується за модулем .$a, b = 1, \ldots, d-1$$p$

Графічно це представлено такими операціями (відтвореними з посилання 2 ):

Однак якщо стан графіку визначено на квадах непростіх розмірностей, то ми можемо бачити, що ці операції (здається) не представляють LC-еквівалентності.

Наприклад, візьміть стан qudit зображений графіком на рис. 1, визначеним для розміру qudit , і нехай , таким чином, що . У цьому випадку виконуючи тоді , отже, qudit відокремлюється від усіх інших qudits, використовуючи лише локальні операції. Очевидно , що це не так , і відбувається з - за проблеми дільників нуля , як згадувалося в попередніх питань відповідь .$|G\rangle$$G$$d=4$$x=y=z=2$$A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$$\circ_2 1$$A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$$1$

Моє запитання: чи існує якийсь набір операцій з графіком, які належним чином представляють локальну еквівалентність Кліффорда для станів графіка qudit непростішого виміру?

Примітка: Мене насамперед цікавлять операції, які безпосередньо стосуються представлення стану як єдиного зваженого графа, а не можливі декомпозиції на кілька одновимірних станів графіків, як це запропоновано в Розділі. 4.3 " Абсолютно максимально заплутаного стану графіків Qudit ".

Неправильно використовувати модуль арифметики в цьому контексті. Натомість слід застосовувати арифметику з кінцевим полем. В$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$ де $x^2 = x + 1$ та кон'югація $a$ визначається як $\bar{a} = a^2$.

Таблиці додавання, множення та сполучення є наступними:

На цій картині ми маємо $0 \equiv 0$, $1 \equiv 1$, $2 \equiv x$, і $3 \equiv x^2$ такий як $2 \times 2 = 3$ і тому явна невідповідність не виникає.