Чому механізм “Phase Kickback” працює в алгоритмі квантової оцінки фаз?

Я, мабуть, читав розділ Квантове перетворення Фур'є та його програми від Нільсена та Чуанга (випуск 10-ї річниці) пару разів раніше, і це сприйняло це як належне, але сьогодні, коли я знову подивився на це, воно не робить ' мені взагалі не здається очевидним!

Ось схема для алгоритму оцінки фаз:

Перший регістр, що має кубітів, - це нібито "регістр керування". Якщо будь-який з кубітів у першому реєстрі знаходиться у стані відповідний керований унітарний хід застосовується до другого регістра . Якщо він знаходиться у стані він не застосовується до другого регістра . Якщо він знаходиться в суперпозиції двох станів та дія відповідного унітару на другому регістрі може бути визначена "лінійністю". Зауважте, що всі ворота діють лише у другому регістрі, а жоден - у першому. Перший реєстр повинен бути лише контролем . $t$ $|1\rangle$ $|0\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

Однак вони показують, що остаточний стан першого реєструється як:

\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩)

$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)$

Я здивований, чому ми вважаємо, що після дії воріт Адамара взагалі змінилася стан першого реєстру кубітів. Остаточний стан першого реєстру просто повинен був бути

{(\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})}^{\otimes t}

$\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt 2}\right)^{\otimes t}$

чи не так? Я говорю це тому, що перший реєстр повинен бути лише контрольним. Я не розумію, як і чому повинен змінюватися стан першого реєстру, коли він виступає в якості контролю.

Спочатку я вважав, що вважати експоненціальні чинники частиною перших регістрів кубітних станів лише математичною зручністю, але потім це не мало сенсу. Стан кубіта або системи кубітів не повинно залежати від того, що нам математично зручно!

Отже, невже хтось може пояснити, чому саме стан першого реєстру кубітів змінюється, навіть коли він просто виступає "контролем" для другого реєстру? Це просто математична зручність чи є щось глибше?

— Санчаян Дутта
джерело

Не відповідь, але: Що б це означало, що це буде "математична зручність", якби це не означало фактичної зміни в державі? Або математика точно описує, як змінюються квантові стани, або це не так. Якщо цього немає, у вас є більші проблеми, ніж у цьому прикладі. Якщо ви припускаєте, що математика точно описує фізику, то математичне подання не просто зручне: стани провідних "лапок" ("лякають цитати") насправді змінюються в цій підпрограмі. Добре плутати, чому, але спочатку ви повинні прийняти, що вони змінюються.

— Ніль де Бодорап

Математика саме так пояснюється у цій відповіді: quantumcomputing.stackexchange.com/a/1791/1837, але ця ситуація є простішою і, можливо, простішою для розуміння

— DaftWullie

@NieldeBeaudrap Ну, моє запитання саме в тому, "чому" воно змінюється

— Sanchayan Dutta

@DaftWullie Математика не виглядає складно. Візьмемо просто простий приклад контрольованого . Якщо контрольний реєстр знаходиться в стані він застосовується до щоб дати . Але вони вважають, що експоненціальний коефіцієнт є фактором контрольного кубіта в першому регістрі, тобто а не другого реєстру. Моє запитання: чому так?

U^{2^{0}}

$U^{2^0}$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

| u ⟩

$|u\rangle$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ) | u ⟩

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)|u\rangle$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ)

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ)

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)$

— Санчаян Дутта

cc @NieldeBeaudrap ^

— Sanchayan Dutta

Відповіді:

Уявіть , у вас є власний вектор з . Якщо у вас є такий стан, як і ви застосуєте до нього контрольований , вийде . Фаза не приєднана до конкретного реєстру, це лише загальний мультиплікативний фактор. $|u\rangle$ $U$ $|1\rangle|u\rangle$ $U$ $e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$

Тепер скористаємось суперпозицією на першому регістрі: Ви можете переписати це як щоб воно з’явилося в першому реєстрі, навіть якщо воно було наче створене у другому реєстрі. (Звичайно, інтерпретація не зовсім правдива, оскільки вона була створена двохубітним воротом, що діє на обидва кубіти).

(| 0 ⟩ + | 1 ⟩) | u ⟩ \mapsto | 0 ⟩ | u ⟩ + e^{i ϕ} | 1 ⟩ | u ⟩

$(|0\rangle+|1\rangle)|u\rangle\mapsto |0\rangle|u\rangle+e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$

(| 0 ⟩ + e^{i ϕ} | 1 ⟩) | u ⟩

$(|0\rangle+e^{i\phi}|1\rangle)|u\rangle$

Цей крок лежить в основі багатьох квантових алгоритмів.

Чому ми не пишемо і просто заявляємо, що це не можна розділити? $|\Psi\rangle=|0\rangle|u\rangle+|1\rangle(e^{i\phi}|u\rangle)$

Не можна просто стверджувати це, а треба показати це математично. Наприклад, ми можемо взяти частковий слід за другим кубітом, Для часткового сліду ми вибираємо основу для підсумовування. Для простоти виберемо де та . Тоді ви отримуєте

{Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |_{A B}) = {Tr}_{B} (| 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes | u ⟩ ⟨ u | + | 1 ⟩ ⟨ 0 | \otimes e^{i ϕ} | u ⟩ ⟨ u | + | 0 ⟩ ⟨ 1 | \otimes | u ⟩ ⟨ u | e^{- i ϕ} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes e^{i ϕ} | u ⟩ ⟨ u | e^{- i ϕ})

$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=\text{Tr}_B(|0\rangle\langle 0|\otimes |u\rangle\langle u|+|1\rangle\langle 0|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|+|0\rangle\langle 1|\otimes |u\rangle\langle u|e^{-i\phi}+|1\rangle\langle 1|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|e^{-i\phi})$

{| u ⟩, | u^{⊥} ⟩}

$\{|u\rangle,|u^\perp\rangle\}$

⟨ u | u^{⊥} ⟩ = 0

$\langle u|u^\perp\rangle=0$

⟨ u | (e^{i ϕ} | u ⟩ = e^{i ϕ}

$\langle u|(e^{i\phi}|u\rangle=e^{i\phi}$

{Тр}_{Б} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |_{А Б}) = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + е^{i ϕ} | 1 ⟩ ⟨ 1 | + е^{- i ϕ} | 0 ⟩ ⟨ 1 | + | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=|0\rangle\langle 0|+e^{i\phi}|1\rangle\langle 1|+e^{-i\phi}|0\rangle\langle 1|+|1\rangle\langle 1|$ Це ранг 1 (і ви можете бачити, що фаза з'явилася в першому регістрі), тому стан не заплутався. Він відокремлений.

— DaftWullie
джерело

Моє головне питання - з частиною "переписування". Математично це просто перестановка, але фізично переписування може мати глибокі наслідки. Скажіть, чому я не напишу це натомість як і просто стверджую, що його не можна розділити на тензорні продукти через заплутаність? Чому цей фактор повинен належати стану кубіту в першому регістрі, а не стану кубіта в другому регістрі?

| 0 ⟩ (| u ⟩) + | 1 ⟩ (e^{i ϕ} | u ⟩)

$|0\rangle(|u\rangle) + |1\rangle (e^{i\phi}|u\rangle)$

e^{i ϕ}

$e^{i\phi}$

— Санчаян Дутта

Як ви визначаєте "заплутаність"? За будь-яким визначенням це не заплутується. Спробуйте взяти частковий слід, наприклад. Більше того, я думаю, у вас взагалі не виникає проблем із видаленням глобальної фази з цілого виразу, порівняно з проведенням цієї фази на різних компонентах?

— DaftWullie

У мене, мабуть, є елементарна помилка. Скажімо, у мене є два кубіти, де перший (кубіт ) знаходиться у стані а другий (кубіт B) знаходиться у стані . Тоді складений стан - . Тепер я справді бачив, як це написано як , але я не знаю, чому це повинно бути можливим. Який у цьому випадку фактичний фізичний стан кубіта А і кубіта В? Це & чи це &

A

$A$

(| 0 ⟩)_{A}

$(|0\rangle)_A$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(e^{i\theta }|0\rangle)_B$

(| 0 ⟩)_{A} \otimes (e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(|0\rangle)_A\otimes (e^{i\theta}|0\rangle)_B$

e^{i θ} (| 0 ⟩)_{A} \otimes (| 0 ⟩)_{B}

$e^{i\theta}(|0\rangle)_A\otimes (|0\rangle)_B$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{A}

$(e^{i\theta}|0\rangle)_A$

| 0 ⟩_{B}

$|0\rangle_B$

(| 0 ⟩)_{A}

$(|0\rangle)_A$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(e^{i\theta}|0\rangle)_B$ ?

— Санчаян Дутта

Я думаю, у мене є проблеми зі зміною навколо "глобальної фази". Я ніколи раніше про це не думав.

— Санчаян Дутта

Фізичної різниці немає . Подумайте про це так: який експеримент ви б зробили, щоб розрізнити це? Якщо є фізична різниця, повинен бути спосіб їх розрізнити.

— DaftWullie

Перше зауваження

Це ж явище "управління" кубітує зміни станів в деяких обставинах і відбувається з контрольованими НЕ воротами; насправді це вся основа власного значення. Тож не тільки це можливо, важливий факт щодо квантових обчислень є можливим. Він навіть має назву: "фазовий удар", в якому керує кубітом (або, загалом, регістром управління), виникають відносні фази в результаті дії через деяку операцію на деякому цільовому регістрі. $\def\ket#1{\lvert#1\rangle}$

Причина, чому це відбувається

Чому так має бути? В основному це зводиться до того, що стандартна основа насправді не така важлива, як ми іноді описуємо її як буття.

Коротка версія. Тільки стандартні базові стани на контрольні кубіти не впливають. Якщо контрольний кубіт знаходиться в стані, який не є стандартним базовим станом, він в принципі може бути змінений.

Більш дрібна версія -

Розглянемо сферу Блоха. Зрештою, це сфера - ідеально симетрична, при цьому жодна точка не буде більш спеціальною, ніж будь-яка інша, і жодна вісь не є більш спеціальною, ніж будь-яка інша. Зокрема, стандартна основа не особливо особлива.

Операція CNOT - це, в принципі, фізична операція. Щоб описати це, ми часто висловлюємо його через те, як він впливає на стандартну основу , використовуючи векторні уявлення - але це лише представлення. Це призводить до конкретного зображення перетворення CNOT:

| 00 ⟩ \to [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], | 01 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], | 10 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], | 11 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

$\ket{00} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$

С N О Т \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] .

$\mathrm{CNOT} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}\,.$ і для стислості ми говоримо, що ці вектори стовпців є стандартними базовими станами на двох кубітах, і що ця матриця є матрицею CNOT.

Ви коли-небудь робили ранній університетський клас математики чи читали підручник, де почали підкреслювати різницю між лінійним перетворенням і матрицями - де говорилося, наприклад, що матриця може представляти лінійну трансформацію, але не була те саме, що лінійне перетворення? Ситуація з CNOT у квантових обчисленнях є одним із прикладів того, наскільки це розрізнення має значення. CNOT - це перетворення фізичної системи , а не стовпчикових векторів; стандартні базисні стану лише одна основи фізичної системи, яку ми зазвичай уявляємо з допомогою векторів стовпців. $\{0,1\}$

Що робити, якщо ми вирішили представити іншу основу - скажімо, X власне базу - натомість векторів стовпців? Припустимо, ми хочемо представити $\{0,1\}$

\begin{aligned} | + + ⟩ \to & [1 0 0 0]^{†}, \\ | + - ⟩ \to & [0 1 0 0]^{†}, \\ | - + ⟩ \to & [0 0 1 0]^{†}, \\ | - - ⟩ \to & [0 0 0 1]^{†} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \ket{++} \to{}& [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{+-} \to{}& [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{-+} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 1 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{--} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 1 \,]^\dagger \,. \end{aligned}$ Це абсолютно законний вибір математично, і оскільки це лише нотаційний вибір, він не впливає на фізику - він впливає лише на те, як ми писали би фізику. В літературі не рідкість робити аналіз аналогічно цьому (хоча рідко явно написати іншу конвенцію для векторів стовпців, як я це робив тут). Ми повинні представити стандартні базові вектори через:

| 00 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}], | 01 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}], | 10 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}], | 11 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] .

$\ket{00} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,.$ Знову ми використовуємо вектори стовпців праворуч лише для представлення станів зліва. Але ця зміна представництва вплине на те, як ми хочемо представити ворота CNOT.

Гострі очі читач може зауважити , що вектори , які я написав на правій трохи вище , являють собою стовпчики звичайного матричного уявлення . Для цього є вагома причина: те, що означає ця зміна представлення, - це зміна системи відліку, в якій можна описати стани двох кубітів. Для того, щоб описати , тощо, ми змінили систему відліку для кожного кубіта шляхом обертання, яке є таким же, як і звичайне матричне подання оператора Адамара - тому що той самий оператор міняє місцями і спостерігаються, шляхом кон'югації. $H \otimes H$ $\ket{++} = [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$ $\ket{+-} = [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$ $X$ $Z$

Ця ж система відліку застосовуватиметься до того, як ми представляємо операцію CNOT, тож у цьому зміщеному поданні ми мали б 0 \ end {bmatrix}} \ end {align}, що - пам'ятаючи, що стовпці тепер представляють власнестати - означає, що CNOT здійснює перетворення

\begin{aligned} С N О Т \to \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathrm{CNOT} \to \tfrac{1}{4}{}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \,\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} }\, = \,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}} \end{aligned}$

X

$X$

\begin{aligned} С N О Т | + + ⟩ & = | + + ⟩, \\ С N О Т | + - ⟩ & = | - - ⟩, \\ С N О Т | - + ⟩ & = | - + ⟩, \\ С N О Т | - - ⟩ & = | + - ⟩ . \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathrm{CNOT}\,\ket{++} &= \ket{++} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{+-} &= \ket{--}, \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{-+} &= \ket{-+} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{--} &= \ket{+-} . \end{aligned}$ Зауважте тут, що це лише перший, контрольний кубіт, стан якого змінюється; ціль залишається незмінною.

Тепер я міг би показати цей самий факт набагато швидше без усієї цієї розмови про зміни в системі відліку. У вступних курсах з квантових обчислень з інформатики подібне явище можна описати, не згадуючи жодного разу слова "контрольна рамка". Але я хотів дати вам більше, ніж простий розрахунок. Я хотів звернути увагу на той факт, що CNOT - це в принципі не просто матриця; що стандартна основа не є спеціальною основою; і що коли ви знімаєте ці речі, стає зрозуміло, що операція, реалізована CNOT, очевидно, може вплинути на стан кебіту керування, навіть якщо CNOT - це єдине, що ви робите своїм кубітам.

Сама ідея, що існує кубіт «керування», орієнтована на стандартну основу і вкладає упередження щодо станів кубітів, що закликає нас думати про операцію як про однобічну. Але як фізику вам слід глибоко підозріло ставитись до однобічних операцій. На кожну дію існує рівноправна і протилежна реакція ; і тут очевидна однобічність CNOT у стандартних базових станах обґрунтовується тим фактом, що для X власнихбазисних станів саме «ціль» в односторонньому порядку визначає можливу зміну стану «керування».

Вам було цікаво, чи є щось у грі, що є лише математичною зручністю, що передбачає вибір позначень. Насправді, існує такий спосіб, як ми пишемо наші держави з акцентом на стандартній основі, що може привести вас до розвитку нематематичної інтуїції операції лише з точки зору стандартної основи. Але змінити уявлення, і ця нематематична інтуїція проходить.

Те саме, що я накреслив для впливу CNOT на стани X-eigenbasis, також відбувається у фазній оцінці, лише з іншою трансформацією, ніж CNOT. "Фаза", що зберігається в кубі "цілі", підводиться до кубіта "керування", оскільки ціль знаходиться у власному стані операції, яка когерентно контролюється першим кубітом. Що стосується інформатики квантових обчислень, це одне з найвідоміших явищ у цій галузі. Це змушує нас протистояти тому, що стандартна основа є особливою лише тим, що саме ми вважаємо за краще описувати наші дані - але не тим, як поводиться сама фізика.

— Ніль де Бодорап
джерело

-1

Чудове запитання.
Я колись це теж запитував, але це не лише питання математичної зручності.
Керований U - це "заплутаний" затвор.
Коли буде заплутаність, ви не можете розділити стан на "перший регістр" та "другий регістр".
Думайте про ці регістри окремо на початку, або коли немає ніякого заплутування. Після того, як з’явиться заплутаність, найкраще ставитись до ретельної роботи з математикою (множення матриці), і ви дійсно отримаєте стан, наданий Нільсеном та Чуанг.

Намагаюся підтримати це питання, але потрібно почекати, поки я не отримаю 15 репутації.

Я не бачу жодного заплутування. Здається, вихід має бути роздільним між двома регістрами. - стан першого регістра, тоді як - стан другого регістра.

\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩)

$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)$

| u ⟩

$|u\rangle$

— Санчаян Дутта

@Blue Я не пишу це як повну відповідь, тому що мені самому важко інтерналізувати концепцію в моїй свідомості, так чи інакше, це пов'язано з явищем "Phase Kick-Back", і це насправді також пов'язано з тим, що контроль і ціль дещо заплутана. Спробуйте прочитати розділ 2.2 кандидатської дисертації Моска, це найкраще пояснення, яке я знайшов досі.

— FSic

@ F.Siciliano Добре, дякую. Я прочитаю його

— Sanchayan Dutta