Квантова оцінка фаз та алгоритм HHL - потрібні знання власних значень?

Алгоритм оцінки квантової фази (КОО) обчислює наближення власного значення , пов'язаного з даними власного вектора квантового воріт $U$ .

Формально, нехай $\left|\psi\right>$ власний вектор $U$ , QPE дозволяє знайти $\vert\tilde\theta\rangle$ , кращий $m$ біт наближення $\lfloor2^m\theta\rfloor$ таке , що & $\theta \in [0,1)$ і

$$U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle.$$

Алгоритм HHL ( оригінальний папір ) приймає за вхід матрицю $A$ що задовольняє

$$e^{iAt} \text{ is unitary }$$ і квантовим станом $\vert b \rangle$ і обчислює $\vert x \rangle$ , який кодує рішення лінійної системи $Ax = b$ .

Примітка : Кожна ермітова матриця Утамуй умова на $A$ .

Для цього алгоритм HHL використовує QPE на квантових воротах, представлених $U = e^{iAt}$ . Завдяки лінійної алгебри результатів, ми знаємо , що якщо $\left\{\lambda_j\right\}_j$ є власні значення $A$ , то $\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_j$ власні значення $U$ . Цей результат також зазначений в алгоритмах лінійних квантових систем: праймер (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (стор. 29, між рівняннями 68 і 69).

За допомогою QPE перший крок алгоритму HLL спробує оцінити таким чином, що e i 2 π θ = e i λ j t . Це приводить нас до рівняння 2 π θ = λ j t + 2 k π $\theta \in [0,1)$$e^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}$ тобто θ = λ j

$$2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$$ Проаналізувавши трохи наслідки умов k ∈ Z і θ ∈ [ 0 , 1 ) , я прийшов до висновку, що якщо λ j $$\theta = \frac{\lambda_j t}{2\pi} + k, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$$ $k\in \mathbb{Z}$$\theta \in [0,1)$(тобтоk≠0) алгоритм оцінки фази не може передбачити правильне власне значення.$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$$k \neq 0$

Але оскільки може бути будь-якою ермітовою матрицею, ми можемо вільно вибирати її власні значення і, особливо, ми можемо вибрати довільно великі власні значення A для таких, що QPE вийде з ладу ( λ j$A$$A$).$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

У квантовому дизайні схем для розв’язування лінійних систем рівнянь (Cao, Daskin, Frankel & Kais, 2012) вони вирішують цю проблему, імітуючи , знаючи, що власне значенняAдорівнюють{1,2,4,8}. Вонинормалізувалиматрицю (та її власні значення), щоб уникнути випадку, колиλj$e^{\frac{iAt}{16}}$$A$$\left\{ 1, 2, 4, 8 \right\}$.$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

З іншого боку, здається, що параметр міг би бути використаний для цієї нормалізації.$t$

$A$$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \in [0,1)$

$A$$t$$\lambda t$$2\pi$$A$$N$$Q$

$$\max_i a_{ii}+\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\leq NQ,$$ $$\min_ia_{ii}-\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\geq -NQ.$$ $a_{ij}$$A$

У межах значень , , якщо ви переживаєте, що для великої матриці (скажімо, кубітів), хоча суму рядків може бути легко обчислити (оскільки записів не так багато), максимум для всіх рядків може зайняти довгий час (тому що є рядків), існуватиме різноманітні способи отримати хороші наближення до нього (наприклад, вибірка чи використання знань про проблему). Найгірший випадок, можливо, ви можете скористатися пошуком Гровера, щоб трохи прискорити його.Q n 2 $N$$Q$$n$$2^n$