Квантові стани є одиничними векторами ... стосовно якої норми?

15

Найбільш загальне визначення знайденого мною квантового стану (перефразовування визначення з Вікіпедії )

Квантові стани представлені променем у кінцевому або нескінченномірному просторі Гільберта над складними числами.

Крім того, ми знаємо, що для того, щоб мати корисне представлення, нам потрібно переконатися, що вектор, що представляє квантовий стан, є одиничним вектором .

Але у наведеному вище визначенні вони не чітко визначають норму (або скалярний продукт), пов'язану з розглянутим простором Гільберта. На перший погляд я хоч і вважав, що норма насправді не важлива, але вчора зрозумів, що норма була скрізь обрана як евклідова норма (2-норма). Навіть позначення бюстгальтерних кетів здаються спеціально для евклідової норми.

Моє запитання: Чому евклідова норма використовується всюди? Чому б не використовувати іншу норму? Чи є у Евклідової норми корисні властивості, які можуть бути використані в квантовій механіці, якої не мають інші?

— Неліме
джерело

2

Насправді я просто хотів додати коментар, але не маю репутації на це: зауважте, що, як ви пишете у своєму запитанні, - квантові стани - це промені у просторі Гільберта. Це означає, що вони не нормалізуються, а навпаки, що всі вектори в просторі Гільберта, які вказують в одному напрямку, є рівнозначними. Зручніше працювати з нормалізованими станами, але фізика насправді прихована в перекритті станів один з одним. Саме з цієї причини у визначенні держави немає норми.

— Омрі Хар-Шемеш

6

Правилом Борна визначено, що яка є ймовірністю знаходження квантової системи у стані після вимірювання. Нам потрібна сума (або ціла!) Для всіх щоб вона дорівнювала 1: $|\psi(x)|^2 = P(x)$ $|x\rangle$ $x$

\begin{aligned} \sum_{x} P_{x} & = \sum_{x} | ψ_{x} |^{2} = 1, \\ \int P (x) d x & = \int | ψ (x) |^{2} d x = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$

Жодна з цих норм не є дійсними нормами, оскільки вони не є однорідними . Ви можете зробити їх однорідними, просто виконавши квадратний корінь:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} | ψ_{x} |^{2}} = 1, \\ \sqrt{\int | ψ (x) |^{2} d x} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$

і ви можете визнати це евклідовою нормою та узагальненням евклідової норми до недискретної області. Ми також могли використовувати іншу норму:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} ψ_{x} A ψ_{x}^{*}} = 1, \\ \sqrt{\int ψ (x) A ψ^{*} (x)} = 1, \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$

для деякої позитивної певної матриці / функції А.

Однак -норма з не буде настільки ж кориснотому що, наприклад: $p$ $p>2$

\begin{aligned} \sqrt[5]{\sum_{x} | ψ_{x} |^{5}} \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$

не повинно бути 1.

Таким чином, норма Евкліда особлива тим, що 2 - сила в правилі Борна, яка є одним із постулатів квантової механіки.

— користувач1271772
джерело

p

$p$

2

Це єдина p-норма, яка має сенс. Ми хочемо, щоб сума ймовірностей дорівнювала 1 (що є законом математики), а ймовірності визначаються квадратом хвильової функції (що є постулатом квантової механіки, що називається правилом Борна).

— користувач1271772

@Nelimee: Дякуємо за ваше повідомлення в чаті. Я не можу відповісти, оскільки мені заборонено спілкуватися ще 2 дні. Причиною першої відповіді було те, що я читав ваші запитання "Чому евклідова норма використовується всюди? Чому не використовувати іншу норму?" і негайно розглядали випадок, коли дійсна норма - це не евклідова норма, а інша 2-норма, що є 2-нормою на недискретний набір змінних. Я вважав, що цього достатньо, щоб пояснити, що евклідова норма - не єдина діюча норма, і чому евклідова норма використовується тоді, коли вона є. Але коли я помітив, що Дафтваллі отримав підсумок, а я цього не зробив, я

— user1271772

2

тож ваша відповідь "через правління Борна"? Це не просто пересуває питання на те, "чому правило Борна використовує силу 2?"

— DaftWullie

1

Здається, що "що прийшло перше, курка чи яйце?" справа.

— користувач1271772

8

Деяка термінологія, здається, трохи тут заскочила. Квантові стани представлені (у кінцевому розмірному просторі Гільберта) складними векторами довжиною 1, де довжина вимірюється евклідовою нормою. Вони не є унітарними, тому що унітарна - це класифікація матриці, а не вектора.

Квантові стани змінюються / розвиваються відповідно до деякої матриці. Зважаючи на те, що квантові стани мають довжину 1, виявляється необхідним і достатнім, що карти чистих станів до чистих станів описуються унітарними матрицями. Це єдині матриці, які зберігають (евклідову) норму.

$p$ $p\neq 2$

$p$ $p=2$ $p=1$ $p\rightarrow\infty$ $\pi/2$

Якщо ви хочете більше деталей, ви можете подивитися тут .

— DaftWullie
джерело

Дякую за термінологічні вказівки! Ви маєте рацію, я зловживав умовами.

— Неліме

Однак питання добре, поки ви заміните "unit" на "unit unit"

— user1271772

Але ця відповідь не відповідає, чому ми використовуємо евклідову норму. Я зрозумів, що інші норми не є зручними, але ми насправді не маємо контролю над тим, що "зручно" у законах фізики, а що ні, чи не так?

— Неліме

@Nelimee Це незручно. Це те, що багато операцій не існує, якщо ви не використовуєте 2-норму. Такі операції, як квадратний корінь не, які ми можемо вийти, роблять експеримент і спостерігають. Так що виключається все, окрім 2-

— ї

1

як з усією фізикою! Усі теорії - це те, що найкраще відповідає наявним даним.

— DaftWullie

5

$\mathbb{R}^n$ $L^p$ $p=2$

— Федеріко Полоні
джерело

Я підтримав вашу відповідь (що є чудовою першою відповіддю на QCSE!), Але чи повинна вона бути 2-нормою? Ви говорите, що 1-норма і 3-норма є недійсними, але як щодо норми у моїй відповіді, що є квадратом 2-норми?

— користувач1271772

3

@ user1271772 Дякую! Якщо я правильно розумію, функція, яку ви пропонуєте, навіть не є векторною нормою, оскільки вона не є однорідною.

— Федеріко Полоні

2

L^{2}

$L^2$

L^{p}

$L^p$

A

$A$

‖ x ‖_{A} := \sqrt{x^{*} A x}

$\|x\|_A:=\sqrt{x^*Ax}$

вона позитивна однорідна з , чому вона повинна бути з ?

k = 2

$k=2$

k = 1

$k=1$

— користувач1271772

@ user1271772 є вимогою у визначенні. Однією з аксіом векторних норм є 2. p (av) = | a | p (v) (будучи абсолютно однорідним або абсолютно масштабованим) (для швидкого посилання перевірте, яку сторінку Вікіпедії я пов’язав вище). Звичайно, це лише тавтологічний аргумент, "оскільки це визначено саме так", і я розумію, що фізик може захотіти більш фізичної причини.

k = 1

$k=1$

— Федеріко Полоні

4

Елегантний аргумент можна отримати, запитавши, які теорії ми можемо побудувати, які описані векторами , де дозволені перетворення є лінійними картами , ймовірності задана якоюсь нормою, і ймовірності повинні зберігатися цими картами. $\vec v = (v_1,\dots,v_N)$ $\vec v\to L\vec v$

Виявляється, в основному є лише три варіанти:

Детерміновані теорії. Тоді ці вектори нам не потрібні, оскільки ми завжди перебуваємо в одному конкретному стані, тобто вектори тощо, а - лише перестановки. $(0,1,0,0,0)$ $L$
Класичні ймовірнісні теорії. Тут ми використовуємо -нормові та стохастичні карти. У є ймовірністю. $1$ $v_i$
Квантова механіка. Тут ми використовуємо -нормові та унітарні перетворення. У є амплітуди. $2$ $v_i$

Це єдині можливості. Для інших норм не існує цікавих перетворень.

Якщо ви хочете більш детальне і приємне пояснення цього, у «Скороченому обчисленні, що виходить з Демокрита» Скотта Ааронсона є лекція з цього приводу , а також стаття .

— Норберт Шух
джерело

2

Інші відповіді стосувалися питання, чому з точки зору, який простір використовувати, але не зважування. $p=2$ $L^p$

Ви можете поставити ермітову позитивну певну матрицю , щоб внутрішній добуток був . Але це не дуже заробляє вас. Це тому, що ви можете також змінювати змінні. Для зручності розглянемо випадок, коли діагональний. з діагональним випадком, який би інтерпретував як вірогідність замість . то чому б просто не змінити змінні на . Ви можете вважати це функцією на просторі точок, де кожна точка зважується . $M_{ij}$ $\sum x_i^* M_{ij} y_j$ $M$ $M_{ii} \mid x_i \mid^2$ $\mid x_i \mid^2$ $M_{ii}>0$ $\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$ $L^2$ $n$ $M_{ii}$

Для безперервного 1 випадку змінної так, ви можете також використовувати . просто повторює довжини. Це все ще ідеально хороший простір Гільберта. Але проблема полягає в тому, що переклад повинен був бути симетрією і порушує. Так що також не можна використовувати . Для деяких цілей такої симетрії немає, тому у вас є . $L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$ $w(x)$ $x \to x+a$ $w(x)$ $w(x)$ $w(x) \neq 1$

У деяких випадках корисно не переходити до стандартної форми. Він перемішується навколо того, як ви робите деякі розрахунки. Наприклад, якщо ви робите якісь цифри, ви можете зменшити свої помилки шляхом такого перестановки, щоб уникнути дійсно невеликих чи великих чисел, які вашій машині важко знайти.

Хитра річ - це переконатися, що ви стежите за тим, коли ви змінили змінні та коли ви цього не зробили. Ви не хочете плутатись між переходом на стандартний внутрішній продукт, роблячи деякі унітарні, і зміною змінних назад проти спробою зробити це в один крок. Ви, ймовірно , помилково фактори тощо, тому будьте обережні. $\sqrt{M_{ii}}$

— AHusain
джерело

-1

Евклідова норма на -вимірному просторі, як визначено тут , не є єдиною нормою, що використовується для квантових станів. $n$

Квантовий стан не повинен визначатися на n-мірному просторі Гільберта, наприклад, квантові стани для 1D-гармонічного осцилятора є функціями , орто-нормальність яких визначається: $\psi_i(x)$

\int ψ_{i} (x) ψ_{j}^{*} (x) d x .

$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$

Якщо отримаємо: $i=j$

\int | ψ (x) |^{2} d x = \int P (x) d x = 1,

$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$

оскільки загальна ймовірність повинна бути 1.
Якщо , отримаємо 0, тобто функції є ортогональними. $i\ne j$

Евклідова норма, визначена в наведеному посиланням, більше стосується квантових станів на дискретних змінних, де - деяке число, що підлічується. У вищенаведеному випадку (що є кількістю можливих значень, якими може бути ) є незлічуваним, тому норма не вписується у визначення, дане для евклідової норми в розмірному темпі. $n$ $n$ $x$ $n$

Ми також можемо застосувати квадратний кореневий оператор до вищевказаної норми, і все-таки ми мали б необхідну властивість, що , і тоді норма Евкліда може розглядатися як особливий випадок цієї норми, хоча , для випадку, коли можна вибирати лише з деякої кількості перелічених значень. Причина, чому ми використовуємо вищевказану норму в квантовій механіці, полягає в тому, що вона гарантує, що функція ймовірності інтегрується в 1, що є математичним законом, заснованим на визначенні ймовірності. Якби у вас була якась інша норма, яка може гарантувати, що всі закони теорії ймовірностей виконуються, ви також змогли б використовувати цю норму. $\int P(x)dx=1$ $x$ $P(x)$

— користувач1271772
джерело

@Nelimee: Я не можу відповісти на ваше чатове повідомлення "Я не отримав точку вашої відповіді 0 голосами", тому що мені заборонено спілкуватися ще 2 дні, але яку частину цієї відповіді ви не отримуєте?

— користувач1271772

@Nelimee? Я зараз на -1, тому я буду вдячний знати, яка частина була незрозумілою

— user1271772

Те, що ви пишете, - це лише евклідова норма в нескінченних розмірах. Ваше твердження "Евклідова норма для n-мірного простору, як визначено тут, не є єдиною нормою, яка використовується для квантових станів". вводить в оману в міру помилки.

— Норберт Шуч

@Norbert. (1) це КВІТКА евклідової норми. (2) тут це БЕЗКОШТОВНО нескінченно. Він більше не n-мірний навіть для незліченно нескінченних n.

— користувач1271772

@ (1) Це тому, що ви забули поставити квадратний корінь. Також квадратний корінь дорівнює . (2) Це неправда. , простір нормалізованих функцій з цією нормою є роздільним простором, тобто він має незліченну кількість.

1

$1$

1

$1$

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb R^n)$

— Норберт Шуч