Чи може квантовий комп'ютер легко визначити час змішування кубичної групи Рубіка?

Чиновники турнірів з кубиками Рубіка використовували два різні способи розборювання куба. В даний час вони ламаються куб друг від друга і знову зібрати cubies у випадковому порядку з куба групи Рубіка . Раніше вони застосовували б випадкову послідовність переміщення Singmaster .G г ⟨ U , D , F , B , L , R $\pi\in G$$G$$g$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

Однак довжина слова - кількість випадкових рухів, необхідних для повного зашифрування куба таким чином, що кожна перестановка приблизно однаково вірогідна - наразі невідомо, але має бути щонайменше 20 . Цю довжину t можна назвати часом перемішування випадкової прогулянки на графіку Кейлі групи кубів Рубіка, породженої рухами Singmaster \ langle U, D, F, B, L, R \ rangle .g ‖ G ‖ = 43 , 252 , 003 , 274 , 489 , 856 , $t$$g$$\Vert G\Vert=43,252,003,274,489,856,000$ $20$$t$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

Чи мав би квантовий комп'ютер якісь переваги для визначення часу перемішування $t$ кубової групи Рубіка?

Я думаю, що ми можемо мати розумну послідовність ходів Адамара для створення регістра $\vert A \rangle$ як рівномірного суперпозиції над усіма $\Vert G\Vert$ подібними конфігураціями; таким чином, застосовуючи будь-яку послідовність переміщення Singmaster до $\vert A \rangle$ не змінюється $\vert A \rangle$ .

Якщо у нас є здогад про те, яким є час перемішування , ми також можемо створити інший регістр як рівномірний суперпозиція всіх слів Singmaster довжиною і умовно застосувати кожне таке слово до розв'язаного стану , сподіваємось отримати стан таким чином, що, якщо виміряти , кожна з конфігурацій однаково вірогідно буде виміряна. Якщо , ми не будемо досить довго ходити по графіку Кейлі , і якби виміряти t | B $t'$$t$$\vert B \rangle$ | А ′ ⟩ | B ⟩ | ⟩ | ⟩ | | G | | т ' < т G | ⟩ | B ⟩ | $t'$$\vert A'\rangle$$\vert B\rangle \vert A\rangle$$\vert A \rangle$$\Vert G \Vert$$t'\lt t$$G$$\vert A \rangle$, конфігурації, які "ближче" до вирішеного стану, були б більш імовірними. Деякі розумні перетворення Фур'є на можуть виміряти, наскільки рівномірно розподілений .$\vert B \rangle$$\vert A \rangle$

Мені це здається чимось хорошим, у якому може бути добрий квантовий комп'ютер. Наприклад, якщо не було рівномірно змішано всіма словами у , то деякі конфігурації є більш імовірними, ніж інші, наприклад, є більш "постійним"; тоді як , якщо була повністю змішані всі з прогулянок, а потім більш «збалансований». Але мій натяк як на квантові алгоритми, так і на ланцюги Маркова недостатньо сильний, щоб отримати дуже далеко.| B ⟩ | ⟩ | ⟩ | $\vert A \rangle$$\vert B\rangle$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$ $\vert A \rangle$

EDIT

Порівнюйте це питання з проблемою квантової перевірки вузлів.

При верифікації квантових вузлів комерсанту надається квантова монета як стан всіх вузлів, які мають певний інваріант. Для перевірки квантової монети вона застосовує ланцюг Маркова до переходу до себе (якщо це дійсна монета.) Вона повинна застосувати цю ланцюжок Маркова і виміряти результат хоча б разів, але в іншому випадку вона має ніякого способу побудувати самостійно (щоб вона не могла підробити монету). Отже, якщо їй дадуть дійсну монету, їй нададуть стан, який вона не може виготовити самостійно , разом із ланцюгом Маркова як матриці , і вона, імовірно, знає час перемішуванняM | K ⟩ т | До ⟩ М т | K $\vert K \rangle$$M$$\vert K \rangle$$t$$\vert K \rangle$$M$$t$; вона вимагає перевірити, що є дійсним.$\vert K \rangle$

У цьому запитанні, можливо, досить просто створити всіх перестановок куба Рубіка. Квантовий контур, що відповідає ланцюгу Маркова, називаємо його , рухається Сингмастером, також, ймовірно, досить легко побудувати. Однак час перемішування невідомий, і це має визначити одне.З $\vert RC \rangle$$S$$t$

Цікаве питання, яке краще за більшість "чи існує квантовий алгоритм для x?" питання. Я не знаю існуючого квантового алгоритму. Дозвольте мені описати, що, на мою думку, було б типовою першою спробою, і чому це не вдається. Наприкінці я опишу кілька речей, які можуть призвести до деяких поліпшень.

Перша спроба алгоритму

Скажімо, я хочу перевірити певний час перемішування . Я збираюся створити один регістр, який містить достатню робочу область, щоб вмістити будь-яку з можливих конфігурацій куба Рубіка. Початковий стан цього - стан продукту, який відповідає вихідному стану куба.R $t$$RC$

Тоді я збираюся скласти регістри анцилли, від до . Кожен з них має той самий розмір, що і кількість можливих ходів Singmaster, і готується як рівномірний суперпозиція по всіх можливих базових елементах. Тоді для кожного , ми застосовуємо контрольовано-унітарний від до де реєстр вказує, який рух Singmaster застосовується на .A 1 A t i = 1 , … t A i R C A i R $t$$A_1$$A_t$$i=1,\ldots t$$A_i$$RC$$A_i$$RC$

Зрештою, якщо ми просто подивимось на , він повинен бути у максимально змішаному стані, якщо змішування відбулося за бажанням. Проблема полягає в тому, як перевірити, чи є цей вихід максимально змішаним станом. Є такі корисні методи, як ця , але яка точність нам потрібна (тобто скільки повторень?). Нам знадобиться про щоб бути впевненим, я думаю.| А | $RC$$|A|^t$

Насправді такий спосіб робити так само погано, як це робити класично: ви можете замінити початковий стан кожного з на і це не змінить результат . Але це насправді так, як кожен раз робити випадковий вибір і виконувати багато разів, перевіряючи правильність розподілу виводу.I / 2 | А я $A_i$$\mathbb{I}/2^{|A_i|}$

Можливі вдосконалення

• Запуск, як я описав, матриця щільності виводу (на ) повинна бути діагональною. Це означає, що рівномірна суперпозиція над усіма базовими станами є власним станом тоді і лише тоді, коли система максимально змішана. Я б, якби можна було поєднати це спостереження з деяким посиленням амплітуди, щоб отримати легке прискорення. Зауважте, що створює різницю дуже швидко від якщо стан не є власним вектором.R C | у ⟩ р до | у ⟩ | у $\rho$$RC$$|u\rangle$$\rho^k|u\rangle$$|u\rangle$

• Крім цього, вам, мабуть, потрібно зробити щось розумніше з регістрами додатків. Існує деяка надія, що це може бути можливим, оскільки в кубі Рубіка вбудована досить багато групової структури. Одне, що ви можете спробувати, - це зрозуміти, чи можете ви замінити всі регістри ancilla одним реєстром, застосувати ворота Hadmard на кожному кубіті регістра між між кожним раундом контрольованих одиниць. Можливо, все це - це заощадити ефективність щодо кількості кубітів порівняно з моєю оригінальною пропозицією. Це може навіть не зробити.$t$

Чи працює хтось із них безпосередньо, я не знаю. Проте я думаю, що ключовими принципами є пошук корисної групової структури та пошук способу застосування амплітудної амплітуди.

Можливо, вам буде корисно почитати про унітарні конструкції . Це, безумовно, відмінна проблема від тієї, про яку ми говоримо тут, але деякі технічні засоби можуть бути корисні. Грубо кажучи, ідея полягає в тому, що набір одиниць є -проектуванням, якщо випадкове застосування цих унітаріїв дозволяє імітувати справді випадковий унітар (виведений з міри Хаар) на вихідних функціях які при розширенні за допомогою серії Тейлора, точні до ступеня . Приблизний зв'язок тут полягає в тому, що якщо взяти одиниці, що представляють послідовність переміщення Singmaster як , було б достатньо, якби цей набір був двоконструкцією (якщо ви отримаєтеt f t t { U } Tr ( ρ 2$\{U\}$$t$$f$$t$$t$$\{U\}$$\text{Tr}(\rho^2)$ правильно, ви закінчили).

(CW, щоб уникнути повторів від самовідповіді)

Там може бути інтерактивним способом для двох сторін , щоб звузити в на значенні , що прямують на @ відповідь DaftWullie і коментарі @Steven Sagona в. Мій формалізм поганий, але я сподіваюся, що ідея проникне через ...$t$

Наприклад, дзвоніть обом сторонам Алісі та Бобу. Сторони повинні співпрацювати та поводитись чесно відповідно до протоколу.

Аліса знає, як підготувати два стани: та . Тут є рівномірним суперпозицією над усіма кубічними комбінаціями Рубіка, а - це інший стан мавпи з однаковою кількістю кубітів (наприклад, стан, що відповідає вирішеному кубі Рубіка, або рівномірний суперпозиція над деякою великою підгрупою ). Боб знає, як застосувати матрицю до квантового стану, де відповідає одиничному кроку всіх рухів Сінгмастера (з відповідними додатками).| 1 ⟩ | 0 ⟩ | 1 ⟩ Про М $\vert A_0 \rangle$$\vert A_1 \rangle$$\vert A_0\rangle$$\vert A_1\rangle$$G$$M$$M$

Аліса і Боб хочуть показати, що час перемішування кубової групи Рубіка під рухами Сінгмастера становить не більше . Аліса і Боб повторити наступний раз.r $t$$r$$s$

1. Аліса перевертає монету і надає до Боба| Я$i\in\{0,1\}$$\vert A_i \rangle$
2. Боб повторює разів, щоб застосувати до , і щоразу вимірює проектор.M | Я$r$$M$$\vert A_i \rangle$
3. Якщо проектор дорівнює для кожної з ітерацій, то Боб каже, що . Якщо користуватися проектором буде неможливо , по крайней мере , однією з ітерацій, то Боб каже , що Аліса це .r i = 0 1 r i = $1$$r$$i=0$$1$$r$$i=1$

Якщо , то кожен з Боба ітерацій на кроці 2 не змінюється - тому що за визначенням є власним матриці Боба, і матриця Боба просто переставляє стану між собою. Якщо , то стан мавпи є НЕ є власним проектором Боба, і ймовірність того, що НЕ буде вимірюватися швидко зростає з . r | 0 ⟩ | 0 ⟩ я = 1 | 1 ⟩ 1 $i=0$$r$$\vert A_0\rangle$$\vert A_0 \rangle$$i=1$$\vert A_1 \rangle$$1$$r$

Таким чином, якщо Боб точно передбачив для ітерацій, ймовірність успіху зростає експоненціально з ростом , і Боб є досить великим , щоб відрізнити стан куба дійсного Рубика зі стану мавпи.s s $i$$s$$s$$r$

Я не знаю, наскільки далеко має бути від . Я також не знаю, чи можна усунути взаємодію.| 0$\vert A_1\rangle$$\vert A_0\rangle$

Спочатку розглянемо деякі регістри та оператори.

1. Регістр , який кодує суперпозиції станів куба (наприклад, перестановка куба );$\vert A\rangle$$G$
2. Оператор , який діє на щоб зіставити ket all-0 до рівномірного суперпозиції над усіма$U$$\vert A\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$\Vert G\Vert$ станами;
3. Реєстр $\vert B\rangle=\vert b_1\rangle\vert b_2\rangle\cdots\vert b_k\rangle$ , який кодує суперпозицію безлічі Singmaster рухається бути застосований до даної позиції (наприклад, суперпозиція слів Singmaster ходів довжина $k$ );
4. Оператори $V$ і $V^{-1}$ , які діють на $\vert B\rangle$ на карту кет все-0 в $\vert 00\cdots 0\rangle$ рівномірної суперпозиції всіх $18^k$ слів Singmaster ходів довжини $k$ (і навпаки); і
5. (Керований) оператор $W$ , який застосовує Singmaster переміщення $b$ до заданої позиції куба.

Якщо $\vert A\rangle$ В рівномірної суперпозиції над усіма елементами $G$ , то $\vert A\rangle$ Знаходиться у власному стані $W$ , і повторне застосування $W$ не викинути назад впливає $\vert B\rangle$ .

Тобто $V^{-1}$ має повернутися $\vert B\rangle$ в наведеній вище схему до КЕТАМ всіх нулів $\vert 00\cdots 0\rangle$ .

$\vert u\rangle$$\vert u \rangle$$\rho^k \vert u\rangle$

$\vert A\rangle$$\vert A\rangle$$W$ $V^{-1}\vert B\rangle$

$F$$\vert A\rangle$$\vert C\rangle$$\{0,1\}^{\log_2 \Vert G\Vert}\mapsto (0,1)$$\delta$$F$$\vert A\rangle$$V^{-1}\vert B\rangle$$\delta$

$\vert B\rangle$$\vert 00000\cdots000101101\rangle$$1$$\delta$