Квантові алгоритми згортання

Я розглядав додатки квантових обчислень для машинного навчання і зіткнувся з наступним попереднім друком з 2003 року. Квантові алгоритми згортки та кореляції фізично неможливі . Стаття, здається, не була опублікована в жодному журналі, але вона була цитується кілька десятків разів.

Автор статті стверджує, що неможливо обчислити дискретну згортку над квантовими станами. Інтуїтивно це здається мені некоректним, оскільки я знаю, що ми можемо виконати квантове множення матриці, і я знаю, що дискретна згортка може бути зображена просто як множення за допомогою матриці Toeplitz (або циркулянта).

Суть його аргументу, здається, полягає в тому, що не існує реалізованого складу унітарних операторів для елементарного (Адамара) продукту двох векторів.

Де мій відключення? Чи є якась причина, що ми взагалі не можемо побудувати матрицю Toeplitz для дискретної згортки в квантовому комп'ютері?

Або стаття просто неправильна? Я опрацював протиріччя, яке автор подає у своєму доказі леми 14, і мені здається, що це має сенс.

Ви дійсно можете виконати згортку на квантовому комп'ютері (і в цьому випадку експоненціально швидше), якщо вхідні сигнали мають певну структуру. Але для загальних матеріалів це здається складним і, можливо, навіть фізично неможливим, про що, як видається, у цьому документі.

Поміркуйте, як би ви обчислили згортку двох дискретних сигналів $f$ і $g$класично. Ви можете прийняти перетворення Фур'є обох сигналів, зробити точне множення отриманих векторів, а потім зробити зворотне перетворення Фур'є:

$$\mathscr{F}^{-1} (\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g))$$

Зауважте, що перетворення Фур'є - це дуже дешева операція на квантовому комп'ютері. Тож це здається чудовим. Проблема полягає в тому, що точне множення двох векторів не так просто. Подивимося, які фактори це визначають.

Припустимо, нам пощастило і спектр Фур'є $f$ виявляється плоским:

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{|i\rangle} = \sum_{i=1}^{N-1}F(i)$$

У такому випадку ваш квантовий комп'ютер може виконати операцію діагональної матриці, яка дає точне множення:

$$\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g) = F.G = \left(\begin{array}{cccc} F(0) & & & \\ & F(1) & & \\ & & . & \\ & & & F(N-1) \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} G(0) \\ G(1) \\ . \\ G(N-1) \end{array}\right)$$

Однак квантові алгоритми, які знаходять точне множення двох векторів, можуть бути фізично неможливими в загальному випадку. Це тому, що ця операція взагалі не єдина. Як простий приклад, припустимо, що перетворення Фур'є$f$ - колюча функція, з нулями в більшості місць:

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{2}(|0\rangle + |2\rangle + |5\rangle + |7\rangle)$$ Точне множення цього стану з іншим станом є незворотним (через нулі) і, отже, не є одиничним.

Проводилися попередні роботи з виявлення функцій, які призводять до плоского або майже плоского спектра Фур'є, і тому їх легко складати:

https://arxiv.org/abs/0811.3208

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0211140

Я дуже підозрілий у результаті. Якщо ви подивитеся на теорему 16, вона стверджує, що не існує операції, яка б досягала карти

$$\sum_{ij}\alpha_i\beta_j|ij\rangle\mapsto \sum_i\alpha_i\beta_i|i\rangle$$ аж до нормалізації. Однак врахуйте оператора вимірювання $$P=\sum_{i}|i\rangle\langle ii|.$$ Це чітко реалізує бажану карту (для конкретного результату вимірювання). Більше того, його реалізація є досить простою. Існує унітарна (ефективно, узагальнена, контрольована - не), яка може відображати карти $$|ii\rangle\mapsto|i0\rangle,$$ щоб потім виміряти другий оберт і після вибору отримати результат 0. Це могло б визнати недійсним доказ роботи.