Як змінюються ймовірності кожного стану після перетворення квантових воріт?

Квантові ворота представлені матрицями, які представляють перетворення, застосовані до кубітів (станів).

Припустимо, у нас є квантовий затвор, який працює на $2$ кубіти.

Яким чином квантовий вентиль впливає (не обов'язково змінити його) результат вимірювання стану кубітів (як результат вимірювання сильно залежить від імовірності кожного можливого стану)? Більш конкретно, чи можна заздалегідь знати, як змінюються ймовірності кожного стану завдяки квантовим воротам?

Випадок I: 2 кубіти не заплутані.

Ви можете записати стани двох кубітів (скажімо, і B ) як | ψ ⟩ = | 0 ⟩ + б | 1 ⟩ і | ψ B ⟩ = C | 0 ⟩ + д | 1 ⟩ , де , Ь , з , d ∈ C .$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$|\psi_\mathrm{A}\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$$|\psi_\mathrm{B}\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle$$a,b,c,d\in\Bbb{C}$

Окремі кубіти перебувають у двомірних складних векторних просторах (над полем C ). Але стан системи - це вектор (або точка ), що знаходиться в чотиривимірному комплексному векторному просторі C 4 (над полем C ).$\Bbb{C}^2$$\Bbb{C}$$\Bbb{C}^4$$\Bbb {C}$

Стан системи можна записати як тензорний добуток тобто з | 00 ⟩ + d | 01 ⟩ + б з | 10 ⟩ + б д | 11 ⟩ .$|\psi_\mathrm{A}\rangle\otimes|\psi_\mathrm{B}\rangle$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$

Природно, оскільки вектор стану повинен бути нормалізований. Причина того, чому квадрат амплітуди базового стану дає ймовірність виникнення цього базового стану при вимірюванні у відповідній основі, полягає в правилі квантової механіки Борна (деякі фізики вважають це основним постулатом квантової механіки) . Тепер, ймовірність | 0 ⟩ відбуваються при вимірюванні першого кубіта знаходиться$|ac|^2+|ad|^2+|bc|^2+|bd|^2=1$$|0\rangle$ . Аналогічно ймовірність | 1 ⟩ відбувається при вимірюванні першого кубіта є | b c | 2 + | б д | 2 .$|ac|^2+|ad|^2$$|1\rangle$$|bc|^2+|bd|^2$

Тепер, що станеться, якщо застосувати квантовий затвор, не виконуючи жодного вимірювання попереднього стану системи? Квантові ворота є унітарними воротами. Їх дія може бути записано в вигляді дії унітарного оператора на початковому стані системи тобто з | 00 ⟩ + d | 01 ⟩ + б з | 10 ⟩ + б д | 11 ⟩ для отримання нового стану A | 00 ⟩ + B | 01 ⟩ + C | 10 $U$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$ (де , В , С , D ∈ C ). Величина цього нового вектору стану: | А | 2 + | Б | 2 + | C | 2 + | Д | 2 знову дорівнює 1 , оскільки застосований хвірт бувунітарним. Коли вимірюється перший кубіт, ймовірність | 0 ⟩ відбувається в | А | 2$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$$A,B,C,D\in\Bbb{C}$$|A|^2+|B|^2+|C|^2+|D|^2$$1$$|0\rangle$ і подібним чином ви можете знайти його для виникнення | 1 ⟩ .$|A|^2+|B|^2$$|1\rangle$

Але якби ми виконували вимірювання, перед дією унітарних воріт результат був би іншим. Наприклад, ви виміряли перший кубіт, і виявилося, що він знаходиться у стан проміжний стан системи було б зруйнувалася в вигляді з | 00 ⟩ + d | 01 $|0\rangle$ (відповідності з інтерпретацією Копенгаген). Таким чином, ви можете зрозуміти, що застосування одного і того ж квантового ворота вцьомустані дало б інший кінцевий результат.$\frac{ac|00\rangle + ad|01\rangle}{\sqrt{(ac)^2+(ad)^2}}$

Випадок II: 2 кубіти заплутані.

Якщо стан системи є на зразок , ви не можете уявити його у вигляді тензорного твори станів двох окремих кубітів (спробуйте!). Таких прикладів набагато більше. Кажуть, що кубіти заплуталися в такому випадку.$\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$

У всякому разі, основна логіка все ще залишається тією ж. Імовірність відбувається при вимірюванні першого кубіта є | 1 / $|0\rangle$ та| 1⟩відбувається є$|1/\sqrt{2}|^2=\frac{1}{2}$$|1\rangle$ теж. Аналогічно можна дізнатися ймовірності вимірювання другого кубіта.$\frac{1}{2}$

Знову ж, якщо застосувати унітарні квантові ворота до цього стану, ви отримаєте щось на зразок , як і раніше. Я сподіваюся, що тепер ви зможете самі з'ясувати ймовірність різних можливостей, коли вимірюються перший і другий кубіти.$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$

Примітка: Зазвичай базові стани 2-кубітної системи розглядаються як чотири 4 × 1 вектор - стовпців , як [ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 ] і т.д. шляхом зіставлення чотирьох базисних векторів на основі стандартної R 4 . І, унітарні перетворення U можна записати як 4 × $|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle$$4\times 1$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\Bbb{R}^4$$U$$4\times 4$матриці , які задовольняють властивості .$UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=I$

Так, можливо. Ці квантові ворота сконструйовані таким чином, що вхідні дані стану перетворюються в чітко визначених вихідних стану з обчислюються можливостями. Перетворення не являє собою вимірювання в сенсі квантової механіки, це означає, що ми можемо заплутати стани на виході квантових воріт і використовувати ці стани для подальшого обчислення.

Зауважимо також, що вхідні стани більше не доступні після перетворення їх квантовими воротами. Якщо ви хочете їх повернути, вам слід застосувати обернені ворота.

Яким чином квантовий вентиль впливає (не обов'язково змінити його) результат вимірювання стану кубітів (як результат вимірювання сильно залежить від імовірності кожного можливого стану)? Більш конкретно, чи можна заздалегідь знати, як змінюються ймовірності кожного стану завдяки квантовим воротам?

Спробуємо підійти до цього на прикладі та деякій геометрії. Розглянемо один кубіт, простір Гільберта якого є , тобто двовимірний складний гільбертовий простір над C (для більш технічних людей простір Гільберта - це фактично C P 1 ). Виявляється, C P 1 ≅ S 2 , одинична сфера, також відома як сфера Блоха . Це означає, що всі стани кубіта можуть бути ( однозначно ) представлені у сфері Блоха.$\mathbb{C}^2$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}P^1 \cong S^2$

Джерело: Вікіпедія

Стан кубіта може бути представлений у сфері Блоха як ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)|1\rangle}$$0 \leq \theta \leq \pi$ and $0 \leq \phi < 2 \pi$. Here, $|0\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$ and $|1\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$ are the two basis states (represented in the figure at the north and south pole respectively). So the states of the qubit are nothing but column vectors, which are identified with (unique) points on the sphere.

What are quantum gates? These are unitary operators, $U$ s.t., $U U^\dagger = U^\dagger U = \mathbb{I}$. Gates on a single qubit are elements of $SU(2)$. Consider a simple gate like $Y$ (which stands for the Pauli matrix $\sigma_y := Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$).

How does this gate act on a qubit and affect the measurement outcomes?

Say you begin with a qubit in the state $|0\rangle$, i.e., at the north pole on the Bloch sphere. You apply a unitary of the form $U = e^{-i \gamma Y}$ where $\gamma \in \mathbb{R}$. Using properties of the Pauli matrix, we get $U = e^{-i \gamma Y} = cos(\gamma) \mathbb{I} -i sin(\gamma) Y$. The action of this operator is to rotate the state by an angle $2 \gamma$ along the y-axis and therefore if we choose $\gamma = \pi/2$, the qubit $|0\rangle \rightarrow U|0\rangle = |1\rangle$. That is to say, given we know what unitary we are applying to our state, we completely know the way in which our initial state will transform and hence we know how the measurement probabilities would change.

For example, if we were to make a measurement in the $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ basis, initially, one would get the state $|0\rangle$ with probability 1; after applying the unitary, one would get the state $|1\rangle$ with probability 1.

As you said, the probabilities of measurements are obtained from the state. And the gates operate unitarily on the states. Consider the POVM element $\Pi$, a state $\rho$ and a gate $U$. Then the probability for the outcome associated with $\Pi$ is $p=\mathrm{tr} (\Pi \rho)$, and the probability after the gate is $p'=\mathrm{tr}(\Pi U \rho U^\dagger)$.

I just want to stress that it is impossible to know the probability of the outcome after the gate only from the probability of it before the gate. You need to consider the probability amplitudes (the quantum states)!

Let me make another remark: You are talking about two qubits, so the state after the gate might be entangled. In this case it will not be possible to have "individual" probability distributions for each qubit for all measurements in the sense that the joint probability distribution will not factor into the two marginal distributions.