Як побудувати багатоквартирний керований Z на елементарних воротах?

Для реалізації певного квантового алгоритму мені потрібно побудувати мульти-кубіт (в даному випадку - три-кубітний) контрольований Z-затвор із набору елементарних воріт, як показано на малюнку нижче. .

Ворота, якими я можу скористатися, є

• ворота Паулі та всі їхні сили (тобто всі обертання Паулі до фазового коефіцієнта),$\rm X, Y, Z$
• ${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$ (обертання про проектор),$|11\rangle\langle11|$
• $\rm H$ (Адамард),
• $\rm C_X$ (одноквартирний керований-X або CNOT),
• $\rm C_Z$ (одноквартирний керований-Z), і
• $\rm S$ (SWAP).

Як я можу піти про створення цього три-кубітного контрольованого Z з цих воріт? Я прочитав декілька робіт про розклад схеми, але жоден з них не міг дати мені чіткої і стислої відповіді.

(EDIT: покращено до 14 CNOT).

Це може бути виконано за допомогою 14 CNOT, плюс 15 однокубітних Z обертів, і ніяких допоміжних кубітів.

Відповідна схема є

де ворота це обертання $\fbox{$\pm$}$

Виведення:

Використовуючи процедуру, описану в https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ , будь-які діагональні ворота - будь-які, зокрема, ворота CCCZ - можуть бути розкладені у вигляді, наприклад, CNOTs та однокубітних діагональних воріт, де CNOT можна оптимізувати самостійно, застосовуючи класичну процедуру оптимізації.

Довідка містить схему, що використовує 16 CNOT для довільних діагональних 4-кубітних воріт (рис. 4).

Це можна покращити, якщо довільні пари кубітів можуть бути сполучені до 14 кубітів. Для найближчих сусідів з періодичними (відкритими) граничними умовами це можна зробити за допомогою 16 (18) CNOT. Відповідні схеми можна знайти на https://epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹ , рис. 5.2, 5.4 та 5.5, і їх можна отримати, наприклад, за допомогою методів побудови коротких послідовностей Сірого.

Кількість однокубітних воріт завжди 15.

Зауваження: Хоча в принципі може бути простіша схема (згадана схема оптимізована з урахуванням більш обмеженої архітектури ланцюга), вона повинна бути близькою до оптимальної - ланцюг повинен створити всі стани форми для будь-якого нетривіального підмножини , а 15 таких для 4 кубітів.$\bigoplus_{i\in I}x_i$$I\subset\{1,2,3,4\}$

Зауважте також, що ця конструкція аж ніяк не повинна бути оптимальною.

^{1 Примітка: Я автор}

Ви можете реалізувати -кбіт, керований схемою, наведеною у цій відповіді . Просто замініть на . Однак для цього потрібні ворота CCNOT (Toffoli), і у вас є кілька варіантів, як реалізувати CCNOT за допомогою елементарних воріт .$n$$U$$U$$Z$

Ось конструкція CCCZ, яка використовує 29 воріт :

Якщо вам дозволяється використовувати вимірювання та класичну подачу, кількість затворів може бути зменшена до 25 :

(Ворота Адамара можуть бути замінені квадратними корінцями Y, якщо це необхідно для задоволення обмеження набору воріт.)

І якщо ви дозволите мені виконувати ворота Controlled-S та ворота Controlled-sqrt (X) та виконувати вимірювання на основі X, то я можу зменшити його до 10 воріт :

Я розміщую тут ще одне розкладення CCCZ на випадок, якщо це корисно для всіх, хто намагається скласти CCCZ. Для нього потрібна менша кількість загальних воріт, і лише 1 допоміжний кубіт замість 2, але ще п’ять 2-кубітних воріт, ніж відповідь "очевидний", тож насправді може бути гірше для впровадження на апаратному забезпеченні.

Це було запропоновано користувачем @Rob у цьому коментарі: Автоматична компіляція квантових схем і походить з цієї статті .

Затвор GMS5 такий:$(\chi)$

з і всі , це означає, що він включає 10 двокубітних воріт. Потім їх потрібно буде компілювати в набір воріт, наведений у запитанні, тому цю розкладку слід використовувати лише у тому випадку, якщо ви намагаєтесь заощадити на кількості допоміжних кубітів або якщо ви не заперечуєте, щоб мати більше 2-кубітних воріт для того, щоб зменшити глибину ланцюга на трохи.$n=5$$\chi_{ij}=\chi$

Є кілька великих заощаджень, які можна зробити на основі заданого набору воріт. Наприклад, у типовій конструкції ccnot, якщо ви замінюєте ворота на , вам не потрібна корекція фаз, яка становить останні кілька воріт між двома контрольними кубітами. Ця конструкція, яка підкоряється встановленому в питанні затвору, складається з 21-х воріт, з яких 10 - 2-кубітні (останній затвор у схемі нижче не потрібен).$T$$Z^{1/4}$

Щоб було зрозуміло (у відповідь на кілька коментарів): ми зазвичай дивимось на Тоффолі та намагаємось зробити це за допомогою ворота. Якщо обидва елементи управління , то послідовність воріт на цільовому кубіта є . Тепер, оскільки , то послідовність спрощується до , і потрібно додати компенсуючий контрольований затвор-S на двох контрольних кубітах. Якщо замість цього ми використовуємо , то , і жодна з цих примхливих фаз не вступає в нього, і це заощаджує вам кілька двох- кубітні ворота!$T$$|1\rangle$$HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$$XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$$-iHT^4H=-iX$$Z^{1/4}$$XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$

Також зауважте, що два ворота Toffoli є лише Toffoli, оскільки вони націлені на стан 0. Зазвичай вам знадобляться додаткові два-кубітні ворота.

У існуючій літературі я не вважаю такою ефективною конструкцію, хоча ця стаття претендує на конструкцію, використовуючи лише 11 2-кубітних воріт, але я не зробив повного підрахунку воріт, як тільки він перетворений на обмежений набір воріт питання.

Хоча моя інша відповідь - це найбільш очевидний спосіб "підручника" (використовуючи розклад CCCZ Nielsen & Chaung на CCNOTs , потім інше розкладання підручника для складання CCNOT ), більш креативний спосіб може дати нам можливість виконати роботу з меншою кількістю воріт.

Крок 1:

Замініть всі CNOT в ланцюгах Nielsen & Chuang цим пристосуванням:

Крок 2:

Тепер у нас є купа CCZ замість CCNOT, і їх можна розкласти так (люб'язно з цього документу ):

Крок 3:

Зауважте, що , тому деякі з цих Адамард скасовують один одного, і ми отримуємо ще більше зменшення :)$H^2 = I$