Чи існує просте правило для зворотної таблиці стабілізатора ланцюга Кліффорда?

У вдосконаленому моделюванні стабілізаторних схем Ааронсона та Готтесмана пояснюється, як обчислити таблицю, що описує, на які тензори Паулі, X і Z, що спостерігаються для кожного кубіта, відображаються так, як на них діє ланцюг Кліффорда.

Ось як приклад схеми Кліффорда:

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

Таблиця, що описує, як вона діє на спостереження X і Z кожного кубіта:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Кожен стовпець таблиці описує, як схема діє на X-спостережуваний (ліва половина стовпця) та Z-спостережуваний (права половина стовпця) кожного кубіта. Наприклад, ліва частина стовпця 3 є Z, Z, _, X, що означає операцію X3 (Паулі X на кубіт 3) у правій частині схеми еквівалентна операції Z1 * Z2 * X4 у лівій руці сторона ланцюга. Рядок 'знак' позначає знак товару, що важливо, якщо ви збираєтеся імітувати вимірювання (він вказує, чи потрібно інвертувати результат).

Ви також можете обчислити таблицю для оберненої схеми. У наведеному нами прикладі зворотна таблиця така:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Таблиці виглядають майже однаково, якщо ви переміщуєте їх рядки та стовпці. Але записи не зовсім тотожні. На додаток до транспонування, ви повинні кодувати букви в біти ( _= 00, X= 01, Z= 10, Y= 11), а потім поміняти місцями середні біти, а потім розшифрувати. Наприклад, ZZ кодує в 1010, який змінюється на 1100, який декодує в Y_.

У мене питання: чи існує також просте правило для обчислення знаків зворотної таблиці?

В даний час я перетворюю ці таблиці, розкладаючи їх на схеми, перетворюючи схеми, а потім множую їх назад. Це вкрай неефективно порівняно з транспоніруванням + заміною, але якщо я збираюся використовувати транспонировать + замінити, мені потрібно правило знаку.

pauli-gates clifford-group

— Крейг Гідні
джерело

Для уточнення питання: Нехай схема Кліффорда

U

$U$ . Потім читаючи

j

$j$ '-та колонка дає

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$ і

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$ залежно від використовуваної лівої чи правої половини. І ти хочеш

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$ і

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$ замість цього даних.

— AHusain

@AHusain Правильно.

— Крейг Гідні

Щоб уточнити питання: що означають @ з у схемі Clifford?

— Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez Це контролі. Коли два підключені, це CZ-ворота. @ підключений до X - це контрольований X. @ підключений до Y - це контрольована Y.

— Крейг Гідні

Відповіді:

Існує дуже тісне представлення табличного подання Ааронсона (і Готтесмана) , яке працює не тільки для кубітів, але і для квітів довільного кінцевого розміру, що особливо добре працює для суто схем Кліффорда ( тобто щонайбільше одного вимірювання терміналу).

У цьому альтернативному поданні є таблиця, що описує, як одноквітні оператори X і Z перетворюються з фазовою інформацією, як у звичайному поданні. У стовпцях описано конкретно багатокубітні оператори Вейля, які є особливим підмножиною операторів Паулі. Перевага цього полягає в тому, що таблиця є не просто масивом коефіцієнтів, а фактичним лінійним оператором на векторах, що представляють оператори та фази Вейля.

Є невеликий улов. Для кубітів ці вектори мають коефіцієнти, які є цілими числами за модулем 4 (що відповідає подвійному покриттю нетривіальних одноквартитних операторів Паулі операторами Вейля), а не модулем 2. Я вважаю, що це варто заплатити за невелику ціну, хоча я може бути трохи упередженим, оскільки це мій власний результат [ arXiv: 1102.3354 ]. Однак це, здається, є дещо "природним" представленням: Appleby розробила однокубітний або qudit спеціальний випадок дещо раніше [ arXiv: quant-ph / 0412001 ] (те, про що я дуже хотів би знати, перш ніж витратити два роки непотрібно відновлювати по суті ті самі конвенції).

Використовуючи таке подання, в силу того, що "таблиця" $M_C$ схеми Кліффорда $C$ тепер є фактичною матрицею (і зворотною), яка перетворює вектори, таблицю для зворотного контуру $C^{\dagger}$ тоді обернена $M_C^{-1}$ столу. Отже, щонайменше, для цього тісно пов'язаного подання правило для обчислення таблиць для зворотного контуру є простим.

— Ніль де Бодорап
джерело

Не могли б ви зв’язатись із слайдами чи конспектами лекцій, що описують операторів Weyl?

— Крейг Гідні

Чи пов’язано це якимось чином із заміною "основи Паулі" {I, X, Y, Z} на "кватерніонову основу" {I, iX, iY, iZ} при відстеженні векторів продуктів?

— Крейг Гідні

Імовірно , коли мова йде про кубітів, оригінальна папір це один

— DaftWullie

Я спробую знайти кілька хороших слайдів щодо операторів Weyl (я сам не маю нічого суттєвого про них). У n-кубітному випадку вони є операторами

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$ для двох векторів

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$ . Мотивація цього визначення підсумована на с. 2 моєї пов'язаної статті, що веде до леми 4. Це дозволяє міркувати про групи стабілізаторів, що використовують не що інше, як додавання mod 4 (і лінійну алгебру mod 4, коли виконують схеми Кліффорда), підпорядковуючи квадратичний матеріал mod 2 для фаз.

— Ніль де Бодорап

@DaftWullie: Ні, [arXiv: quant-ph / 9608006 ] суворо відрізняється. Вони індексують потужності X і Z векторами моди 2 (див. Текст, що передує рівнянню 2), що відображено в структурі групи добавок GF (4). Таким чином, їхні спостереження щодо симплектичних перетворень на с. 8 стосуються модульних фаз групи Паулі. Appleby і я не претендую на те, що вперше представили фантазію групи Паулі на кубітах: справа в тому, що наше представлення більш витончено відстежує фази. Це менш важливо для виявлення QECC, але вирішальне значення для моделювання штатів.

— Ніль де Бодорап

Щоб викласти методи Aaronson та Gottesman трохи чіткіше: ви можете встановити кожен стабілізатор у вигляді бітового рядка довжини $2N$ (для $N$ кубіти). Перший $N$ біти задають розташування операторів Z, а другий набір - $N$ вкажіть місця розташування $X$ операторів (так, $X_1Z_2$ для $N=2$ є 0110). Для вашої схеми на чотирьох кубітах перетворення завдяки ланцюгу Кліффорда (до деяких фаз) буде надано $8\times 8$ матриця. Ми можемо думати про це як блок-матрицю

M = (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$ де кожен з блоків

N \times N

$N\times N$ . По тому, що стабілізатори комутують, ми це знаємо

(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array})}^{T} \equiv 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$ Ви хочете знайти зворотну сторону

M

$M$ модуль 2. Ваша заявлена форма оберненої форми є такою формою (я думаю)

(\begin{array}{cc} D^{T} & B^{T} \\ C^{T} & A^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$ що цікаво нагадує обернене a

2 \times 2

$2\times 2$ матриця (але цього недостатньо для блокових матриць. Є блок-зворотний зворот, але це не так корисно, я думаю).

Безлад, звичайно, випливає з відстеження фаз. Я припускаю, що ознаки будуть пов'язані зі зміною кількості операторів Y у кожному стабілізаторі, але я не досяг успіху в єдиному лікуванні. Відповідь Нілла, ймовірно, робить кращу роботу - автоматично піклуватися про неї.

— DaftWullie
джерело