Загальна побудова

Два найвідоміші заплутані стани - держава GHZ $|\psi\rangle = 1/\sqrt{2}\left( |0\rangle^{\otimes n} + |1\rangle^{\otimes n}\right)$ і$W_n$-state з$W_3 = 1/\sqrt{3}\left(|100\rangle + |010\rangle + |001\rangle\right)$.

Побудова стану GHZ проста для довільних $n$ . Однак реалізувати $W_n$ -державу складніше. Для $n=2$ це легко, а для $n=4$ ми можемо використовувати

H q[0,3]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[1]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[2]
CNOT q[2],q[0]
CNOT q[2],q[3]

Навіть для $n=3$ нас є реалізації, див. Цю відповідь, наприклад. Однак я не знайшов алгоритм, який, задаючи $n$ , виводить схему побудови $W_n$ -держави.

Чи існує такий алгоритм, визначений одно- та двохубітними воротами? А якщо так, то що це?

Так, в квантовому катах Суперпозиції (завдання 14 і 15) є кілька реалізацій цього алгоритму :

• Для $n = 2^k$ можна використовувати рекурсивний алгоритм: створити стан W на перших $2^{k-1}$ кубітах, виділити кубіт анцилли в $|+\rangle$ , Зробіть кілька керованих SWAP, щоб встановити стан другого $2^{k-1}$ кубітів, а потім деякі контрольовані NOTS, щоб скинути асилью назад до $|0\rangle$ ( WState_PowerOfTwo_Referenceоперація).
• Для довільного $n$ можна використовувати рекурсивний алгоритм, описаний DaftWullie ( WState_Arbitrary_Referenceоперація).
• Існує також акуратний трюк, який ви можете використовувати для створення $W_n$ стану для довільного $n$ за допомогою першого рекурсивного алгоритму. Виділіть зайві кубіти для прокладки$n$ заданих до$2^k$ , створити на них стан$W_{2^k}$ і виміряти зайві кубіти; якщо всі кубіти вимірюють 0, стан початкових кубітів дорівнює$W_n$ , інакше скиньте і повторіть процес (WState_Arbitrary_Postselectоперацію).

Це моє улюблене завдання цієї ката, оскільки воно дозволяє так багато різних підходів.

Концептуально найпростіший спосіб створення стану W є дещо аналогічним класичному відбору проб пласта , оскільки він включає низку локальних операцій, які в кінцевому підсумку створюють рівномірний ефект.

По суті, ви дивитесь на кожен кубіт по черзі і розглядаєте "скільки амплітуди я залишив у стані all-0s, і скільки я хочу перевести у стан just-this-qubit-is-ON?". Виявляється, що сімейство обертів, яке вам потрібно, я називатиму "воротами шансів", які мають таку матрицю:

$$M(p:q) = \sqrt{\frac{1}{p+q}} \begin{bmatrix} \sqrt{p} & \sqrt{q} \\ -\sqrt{q} & \sqrt{p} \end{bmatrix}$$

Використовуючи ці ворота, ви можете отримати стан W з послідовністю операцій, що все більше контролюються:

Ця схема дещо неефективна. Це коштувало $O(N^2 + N \lg(1/\epsilon))$ де$N$ - кількість кубітів, а$\epsilon$ - бажана абсолютна точність (оскільки в контексті виправленої помилки ворота шансів не є власними і повинні бути приблизними) .

$O(N \lg(1/\epsilon))$

Ще можна зробити краще, але воно починає ускладнюватися. В основному, ви можете використовувати один частковий крок Grover, щоб отримати$N$$\sqrt{1/N}$

Частка часткового кроку:

Як виконати індексовану операцію (ну ... начебто. Найближча цифра мала акумулятор, що не зовсім підходить для даного випадку):

$O(N \lg(1/\epsilon))$$O(N + \lg(1/\epsilon))$ .

Ви можете визначити послідовність рекурсивно. Концептуально те, що ви хочете зробити, це:

• $|0\rangle^{\otimes N}$

• $$\frac{1}{\sqrt{N}}\left(\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{N-1} \\ \sqrt{N-1} & -1 \end{array}\right)$$

• $|W_{N-1}\rangle$$N$$|1\rangle$

• Застосуйте ворота біт-фліп на кубіт 1.

Цей алгоритм, як висловлено, складається не лише з одно- і дво-кубітних воріт, але він, безумовно, може бути розбитий як такий стандартними конструкціями універсальності.

$N=2^n$$n$$|1\rangle$$|W_2\rangle$$|W_4\rangle$$|W_8\rangle$експериментально тут$O(\log N)$