Чи можна сферу Блоха узагальнити до двох кубітів?

Сфера Блоха - це приємна візуалізація одиночних кубітних станів. Математично це можна узагальнити до будь-якої кількості кубітів за допомогою високомірної гіперсфери. Але такі речі непросто уявити.

Які спроби було зроблено для розширення візуалізації на базі сфери Блоха до двох кубітів?

Для чистих станів існує досить простий спосіб зробити «2-кубітну блош-сферу» . Ви в основному використовуєте розклад Шмідта, щоб розділити свій стан на два випадки: не заплутані та повністю заплутані. Для не заплутаної частини ви просто використовуєте дві сфери блош. І тоді заплутана частина ізоморфна множині можливих обертань в 3d-просторі (обертання - це те, як ви переводите вимірювання на одному кубіті в передбачення на іншому кубіті). Це дає вам представлення з восьми реальних параметрів:

1) Реальне значення w між 0 і 1, що вказує на вагу не заплутаного проти повністю заплутаного.

2 + 3) Незаплутаний блок блоку вектора для кубіта 1.

4 + 5) Незаплутаний блок блоку вектора для кубіта 2.

6 + 7 + 8) Повноцінне обертання.

Ось як це виглядає, якщо ви показуєте частину обертання як "там, де вісі XY і Z відображаються", і додатково масштабуйте осі w, щоб вона стала більше, чим більше ви заплуталися:

(Підстрибування в середньому пояснюється числовим виродженням у моєму коді.)

Для змішаних станів я мав певний успіх, показуючи оболонку блошних векторів, передбачуваних для кубіту 2, враховуючи всі можливі вимірювання кубіта 1. Це виглядає приблизно так:

Але зауважте, що а) це «конвертне» подання не симетричне (один з кубітів - це контроль, а інший - ціль) і б), хоча це виглядає досить не алгебраїчно компактно.

Цей дисплей доступний у альтернативній гілці розгортання дисплея Quirk. Якщо ви зможете дотримуватися інструкцій по збірці, ви можете грати з ним безпосередньо.

$j$$SU(2)$$2j+1$$j$$SU(2)$$SU(2)$$SU(2)$ фундаментальні простори представлення.

$2j+1$$2j$$2j$$2j$

$2j+1$

$z = \tan \theta e^{i\phi}$$\theta$$\phi$ сферичні координати))

Одне застосування цього уявлення до квантових обчислень полягає у візуалізації траєкторій, що породжують геометричні фази, які служать воротами в голономічних квантових обчисленнях. Ці траєкторії відображаються як траєкторії зірок Майорани на сферах Блоха, і геометричні фази можна обчислити з твердих кутів, закритих цими траєкторіями. Будь ласка, дивіться роботу Лю і Фу про абелеві геометричні фази. Ліку деяких неабелівських випадків займають Лю Рой та Стоун .

Нарешті, дозвольте зазначити, що існує багато геометричних зображень, що мають відношення до квантових обчислень, але вони багатовимірні і взагалі можуть бути не корисними як інструменти візуалізації. Будь ласка, дивіться, наприклад, Бернацька та Холод, що лікують спільні орбіти, які можуть слугувати фазовими просторами кінцевих розмірних гільбертових просторів, що використовуються в квантових обчисленнях. Особливим прикладом цих просторів є грассманівський, який параметризує різновид основного стану адіабатичного кванту гамільтонів.

Для більш ніж 1-кубітної візуалізації нам знадобляться більш складні візуалізації, ніж сфера Блоха. Нижче наведена відповідь від Physics Stack Exchange пояснює цю концепцію досить авторитетно:

Блох-сфера для 2 і більше кубітів

В іншій статті представлення двох кубітів описано як семивимірну сферу S 7, яка також дозволяє здійснити фіброву гопф, з волокнами S 3 та основою S 4. Найяскравішим результатом є те, що відповідно орієнтовані фібрації S 7 Hopf чутливі до заплутування.

Геометрія заплутаних станів, сфери Блоха та фібрі Хопфа

Сказавши це, підхід на основі сфери Блоха є досить корисним навіть для моделювання поведінки кубітів у галасливому середовищі. Проведено аналіз двохубітної системи за допомогою узагальненого вектора Блоха для створення простежуваних аналітичних рівнянь для динаміки чотирирівневих векторів Блоха. Це ґрунтується на застосуванні геометричних концепцій з добре відомої дворівневої сфери Блоха.

Ми можемо виявити, що за наявності корельованого або антикорельованого шуму швидкість декогерентності дуже чутлива до початкового двохубітного стану, а також до симетрії гамільтонівського. За відсутності симетрії в гамільтоніані кореляції лише слабко впливають на швидкість декогерентності:

Блок-сферовий підхід до корельованого шуму в кубітних кубітах

Існує ще одна цікава стаття з дослідження представлення двокубітного чистого стану, параметризованого трьома одиничними 2-сферами та фазовим коефіцієнтом. Для відокремлених станів дві з трьох одиничних сфер є сферами Блоха кожного кубіта з координатами (A , A) і (B, B). Третя сфера параметризує ступінь і фазу узгодження, міру заплутування.

Ця сфера може вважатися "змінною" складною уявною одиницею t, де стереографічна проекція відображає кубіт-A-блок Блоха на складну площину з цією змінною уявною одиницею. Ця модель сфери Блоха дає послідовний опис чистих двоквадратних чистих станів як роздільних, так і заплутаних станів.

Відповідно до цієї гіпотези, третя сфера (сфера заплутаності) параметризує нелокальні властивості, заплутаність та нелокальну відносну фазу, тоді як локальні відносні фази параметризуються за азимутальними кутами (,A та B) двох квазіблох-сфер.

Модель сфери Блоха для двох

У пакеті чорного опалу Q-CTRL у нас є кілька багатоквіткових візуалізацій .

Всі вони повністю інтерактивні і покликані допомогти побудувати інтуїцію щодо кореляцій у взаємодії двохубітних систем.

Дві сфери Блоха представляють відповідні роздільні стани двох кубітів. Тетраедри посередині візуально фіксують кореляції між певними проекціями двох кубітів. Коли немає заплутування, вектори Блоха повністю живуть на поверхнях відповідних сфер. Однак повністю заплутаний стан живе виключно в просторі кореляцій у цьому уявленні. Екстремальністю цих просторів завжди будуть максимально заплутані стани, як стани Белла, але максимально заплутані стани також можуть перебувати в межах декількох тетраедрів одночасно.

Була опублікована стаття на цю тему, яка називається "Модель сфери Блоха для чистих двохубітних станів"

https://arxiv.org/abs/1403.8069