Апроксимація унітарних матриць

В даний час у мене є дві унітарні матриці, які я хочу наблизити до гарної точності з можливою меншою кількістю квантових воріт.

У моєму випадку дві матриці:

• Квадратний корінь NOT воріт (до глобальної фази) $$G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$$
• $$W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$$

Моє запитання таке:

Як я можу наблизити ці конкретні матриці з меншою кількістю квантових воріт та хорошою точністю?

Що я хочу мати, можна собі дозволити:

1. Я можу дозволити собі використовувати кілька днів / тижнів процесорного часу і багато оперативної пам’яті.
2. Я можу дозволити собі витратити 1 або 2 людські дні на пошуки математичних хитрощів (в крайньому випадку, тому я прошу тут спочатку). Цей час не включає час, який мені знадобиться для реалізації гіпотетичних алгоритмів, що використовуються для першого пункту.
3. Я хочу, щоб розкладання було майже точним. Наразі у мене немає точної цільової точності, але 2 ворота вище широко використовуються моєю схемою, і я не хочу, щоб помилки накопичувалися занадто багато.
4. Я хочу, щоб при розкладанні використовувалися найменші можливі квантові ворота. Цей момент є вторинним на даний момент.
5. Хороший метод дозволив би мені вибрати компроміс, який я хочу, між кількістю квантових воріт та точністю наближення. Якщо це неможливо, можливо, потрібна точність принаймні $10^{-6}$ (з точки зору норми простеження) (як говорилося раніше, я не маю оцінок, тому я не впевнений у цьому порозі).
6. Набір затворів: $$\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$$ з$R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ як описано вWikipédia,$R_A$обертання відносно осі$A$($A$або$X$,$Y$або$Z$), і $$\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ .

Методи, про які я знаю:

1. Алгоритм Соловай-Кітаєва. Я реалізував цей алгоритм і вже перевіряв його на кількох унітарних матрицях. Алгоритм генерує досить довгі послідовності, і компроміс [кількість квантових воріт] VS [точність наближення] недостатньо параметризован. Тим не менш, я виконаю алгоритм на цих воротах і відредагую це питання з отриманими результатами.
2. Дві статті про наближення 1-кубітних воріт та наближення n-кубітних воріт . Мені також потрібно перевірити ці алгоритми.

EDIT: редагував питання, щоб зробити "квадратний корінь не" більш очевидним.

Ви вибрали дві особливо прості матриці для реалізації.

Перша операція (G) - це просто квадратний корінь X воріт (до глобальної фази):

$R_X(\pi/2)$

Друга операція (W) - матриця Адамара в середньому блоці 2x2 матриці ідентичності ідентичності. Щоразу, коли ви бачите цю схему 2х2 в середині, вам слід думати про "керовану операцію, сполучену CNOTs". І саме це працює тут (зверніть увагу: вам може знадобитися поміняти рядки; це залежить від вашого домовленості про витривалість):

Тож єдина справжня проблема - як здійснити керовану операцію Адамара. Адамард - це обертання на 180 градусів навколо осі X + Z. Ви можете використовувати обертання на 45 градусів навколо осі Y для переміщення осі X + Z до осі X, потім зробіть CNOT на місці CH, а потім перемістіть вісь назад:

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

$W$$W \in O(4)$$CNOTs$

Конструкція оптимальна в тому сенсі, що для цього потрібні два ворота CNOT і щонайменше 12 одних кубітних воріт (для найбільш загального випадку реальних двох кубітних воріт). Побудова заснована на гомоморфізмі:

$M$$M$

Використовуючи цю конструкцію, повна реалізація воріт, яку надають Ватан і Вільямс:

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$$R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$$B$

Жодна з цих воріт не потребує приблизних послідовностей. Ви можете реалізувати їх точно за вказаними наборами воріт без великих зусиль.

$HSH$

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$$R_Y(\theta)$