Чому заплутаний кубіт показаний біля походження сфери Блоха?

Мені незрозуміло, чому представлення сфери Блоха на максимально заплутаному кубіті показує стан біта як джерела сфери.

Наприклад, ця ілюстрація

показує дію простого контуру

з часом, з зліва та праворуч. Обидва кубіти закінчуються у початку їх відповідних сфер після застосування ( "чекає" на його початкове значення, поки після того, як переміститься на ). $q_0$ $q_1$ $CNOT$ $q_1$ $H$ $q_1$ $x$

Чому максимум заплутаний кубіт показаний біля походження сфери Блоха?

Пояснення тут подано , але я занадто великий початківець, щоб його слідкувати.

entanglement bloch-sphere

— orome
джерело

Це гарне запитання з хорошими відповідями. Частковий формалізм матриці слідів та щільності необхідний для розуміння відповідей. Без цих інструментів ми можемо дати лише найглибший опис того, що відбувається.

— psitae

Відповіді:

Сфера Блоха представляє лише стан одного кубіта. Те, про що ви говорите, - це прийняття багатокубітного стану та подання стану лише одного з цих кубітів у сфері Блоха.

Якщо стан багатокубіту є продуктом (чистим і відокремлюваним), то стан одиничного кубіта є чистим станом і представлений як точка на поверхні сфери Блоха. Якщо загальний стан заплутаний, то окремий кубіт не є чистим і представлений точкою, що знаходиться на внутрішній частині сфери Блоха. Чим коротша відстань до центру, тим більше змішаний індивідуальний кубіт, а значить, більше заплутаний глобальний стан. Максимально заплутаний стан дає найменшу можливу відстань, тобто точку в центрі сфери. Відповідь Аюссейна дає вам математику, як це формально обчислити.

— DaftWullie
джерело

Ці відповіді є корисними, але не зовсім на тому рівні, який я шукаю, який є як дуже базовим (оператори щільності все ще роблять мене трохи легким), так і вищого рівня, а саме: навіщо представляти заплутаність як відстань від центру сфери ? Чи є якась природна чи переконлива причина цього? це випливає з чогось іншого, що є добре встановленим або фундаментальним?

— orome

Дозвольте ще раз зазначити, що сфера Блоха не представляє заплутування. Він представляє стан одного кубіта. Якщо цей один кубіт є частиною двокубітного чистого стану, то ступінь, коли один кубіт не перебуває у стані продукту, - це ступінь його заплутування. Але, в сутності, це є властивістю операторів щільності для одиночних кубітів. Ви не можете цього приховати.

— DaftWullie

Ось найважливіший біт, я думаю: "тоді те, наскільки один кубіт не перебуває у стані продукту, - це ступінь його заплутування". Це забезпечує раціональне, що я шукав.

— orome

Нехай - точка в одиничній сфері з . $(x,y,z)$ $x^2+y^2+z^2 \leq 1$

Стан, пов'язаний з цим моментом, є

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{1}{2} (I_{2} + x σ_{x} + y σ_{y} + z σ_{z}) \\ = & \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + z & x - i y \\ x + i y & 1 - z \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} (I_2 + x \sigma_x + y \sigma_y + z \sigma_z)\\ &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+z&x-iy\\ x+iy&1-z\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Це просто зручний спосіб параметризації всіх матриць щільності . Це не так добре працює для qudits з . Але оскільки ми говоримо , ми можемо також скористатися цією приємною параметризацією. $2\times 2$ $d \neq 2$ $d=2$

Зокрема, нехай , пов'язаний є $(x,y,z)=(0,0,0)$ $\rho$

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + 0 & 0 - i 0 \\ 0 + i 0 & 1 - 0 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+0&0-i0\\ 0+i0&1-0\\ \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&0\\ 0&\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Це максимально змішаний стан.

Показано, що стан лише для 1 кубіта. Це результат після часткового сліду над іншим кубітом.

Отже, якщо дивитись на перший . Це починається в штаті $q_0$

\begin{array}{rcl} ρ & = & | 0 ⟩ ⟨ 0 | \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& | 0 \rangle \langle 0 |\\ \end{eqnarray*}$

що відповідає $(x,y,z)=(0,0,1)$

Потім переходить до

\begin{array}{rcl} ρ & = & H | 0 ⟩ ⟨ 0 | H \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& H | 0 \rangle \langle 0 | H\\ \end{eqnarray*}$

Але після CNOT це

\begin{array}{rcl} ρ & = & {Tr}_{2} ({CNOT}_{12} H | 00 ⟩ ⟨ 00 | H {CNOT}_{12}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \text{Tr}_2 (\operatorname{CNOT}_{12} H | 0 0 \rangle \langle 00 | H \operatorname{CNOT}_{12}) \\ \end{eqnarray*}$

який в кінцевому підсумку є максимально змішаним станом, що відповідає $(x,y,z)=(0,0,0)$

Редагувати: Як зазначено вище, "Це просто зручний спосіб параметризації всіх матриць щільності Це не працює так добре для qudits з Але, оскільки ми говоримо , ми можемо також використовувати цю приємну параметризацію. " Тож навіть якщо матриці щільності все-таки роблять вас безтурботними, не думайте про центр сфери як про щось особливо важливе. Це просто зручний спосіб скласти всі стани, і в цьому випадку центр трапляється врівень з максимально змішаним станом. Тож ні це не є чимось принциповим. Він не узагальнює інші або більше кубітів. Не сприймайте цю особливу параметризацію занадто серйозно, вона просто дозволяє нам побудувати стан таким чином, щоб швидко передати інформацію візуально. $2\times 2$ $d \neq 2$ $d=2$ $d$

— AHusain
джерело

Дивіться мій коментар до відповіді DaftWullie.

— orome

Редаговано, щоб сказати, як це не є принциповим.

— Ахусей

Ви кажете, що для d ≠ 2 це не так добре, але візуалізація, як видається, все ще використовується для великих розмірів .

— orome

Те, що вони роблять, схоже на цю схему, вони показують кожен кубіт після того, як відшукують інших. Як і в цій схемі, що показує 2 сфери. Я говорив про те, щоб спробувати візуалізувати матриці щільності d по всій системі. Вони стають занадто великими і складними для малювання.

— Ахусей