Відокремлення NP від ​​BQP щодо оракула

Я дивився на цю лекційну записку, де автор дає розділення між оракул між$\mathsf{BQP}$ і $\mathsf{NP}$. Він натякає на те, як "стандартні методи діагоналізації можуть бути використані, щоб зробити це жорстким".

Чи може хтось деталізувати техніку діагоналізації, яку слід використовувати? Інтуїтивно повинні бути важливі відмінності між тими, які використовуються для того, щоб поставити щось поза класичними класами складності, і тими, які використовуються для того, щоб щось поставити назовні$\mathsf{BQP}$. Зокрема, враховуючи, що алгоритм Гровера є оптимальним, я шукаю техніку діагоналізації, щоб ми могли побудувати оракул$A$ для котрого $\mathsf{NP}^{A} \not\subseteq \mathsf{BQP}^{A}$.

Мені здається, що аргументи діагоналізації, які можна використовувати, лише незначно відрізняються від стандартних, наприклад  таких, які можна знайти в цих лекційних записках про теорему Бейкера – Гілла – Солової ( тобто , що є оракули для яких а також оракули для яких$A$$\mathsf P^A = \mathsf{NP}^A$$A$$\mathsf P^A \ne \mathsf{NP}^A$). В основному, ви повинні описати, як "інженерувати" змагальний вклад трохи інакше.

Ось як ми могли використовувати цей підхід для доказу існування оракула $A$ для котрого $\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$. Для будь-якого оракула$A$, визначте мову

$$L_A = \Bigl\{ 1^n \;\Big\vert\; \exists z \in \{0,1\}^n : A(z,0) = (z,1)\Bigr\} .$$ Зрозуміло, що $L_A \in \mathsf{NP}^A$ з тієї простої причини, що недетермінований апарат Тьюрінга може перевірити, чи вхід має форму $1^n$ для деяких $n$, а потім відгадайте рядок $z \in \{0,1\}^n$ для котрого $A(z,0) = (z,1)$ якщо такі $z$існує. Мета - показати це$L_A$ не може бути вирішено в многочлен, з обмеженою помилкою, єдиним сімейством єдиних схем, використовуючи $O(2^{n/2})$ нижня межа проблеми пошуку.

1. Дозволяє $c,N > 0$ бути такою, що проблема пошуку на оракулах з $n$-бітових входів потрібно як мінімум $c 2^{n/2}$ Oracle запити правильно вирішити (з вірогідністю принаймні 2/3) для всіх $n > N$.
   
   

2. Дозволяє $\mathbf C^{(1)}\!$, $\mathbf C^{(2)}\!$, $\ldots$ бути перерахуванням усіх унітарних сімей оракул $\mathbf C^{(k)} \!= \{ C^{(k)}_n \}_{n \geqslant 0 }$, такий, що ворота-послідовність схеми $C^{(k)}_n\!$ діючи на $n$-бітні входи можуть бути вироблені в строк суворо менше $c 2^{n/2}$. (Цей обмежений час стосується умови "рівномірності", де нас цікавлять схеми, які можна обчислити детермінованою машиною Тюрінга в поліноміальний час - сильніший стан, ніж ми нав'язуємо тут. Перерахування цих сімей ланцюгів можна було б зробити, для наприклад, шляхом їх опосередкованого представлення детермінованими машинами Тьюрінга$\mathbf T^{(k)}$які виробляють їхні послідовності затворів і перераховують їх .) Ми перераховуємо сімейства ланцюгів так, що кожне сімейство ланцюгів трапляється нескінченно часто при перерахунку.

   • З меж часу виконання опису послідовності затворів випливає, зокрема, що $C^{(k)}_n$ має менше, ніж $c 2^{n/2}$ ворота для всіх $k$, і зокрема робить менше, ніж $c 2^{n/2}$ запити до оракула.

   • Для будь-якого $n$, розглянемо схему $C^{(n)}_n\!$. З нижньої межі проблеми пошуку ми знаємо, що для$n > N$ можливі значення функції oracle $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ оцінюється оракулом, таким чином, що з вірогідністю 2/3 вихід, отриманий $C^{(n)}_n\!$ на вхід $1^n$ не є правильною відповіддю на те $\exists z \!\in\! \{0,1\}^n\!:\! f(z) \!=\! 1$.

   • Для кожного $n > N$, виберіть таку функцію $f_n$ для котрого $C^{(n)}_n$ "провалюється" таким чином.
     
     

3. Дозволяє $A$ бути оракулом, який на входах розміру $n > N$, оцінює $f_{\!\!\:n\!\:}$.

Побудувавши $A$ таким чином, кожна схема сімейства $\mathbf C^{(n)}$ не вдається правильно прийняти рішення $L_A$ з ймовірністю принаймні 2/3, для деяких $n > N$ (і нескінченно багато таких $n$фактично). Тоді жодна із сімейних схем$\mathbf C^{(k)}$ правильно вирішити $L_A$ з вірогідністю успіху, обмеженою нижче на 2/3 на всіх входах, так що $L_A$ не може бути вирішена за допомогою таких меж жодною однорідною сім'єю схеми, яка може бути сконструйована в часі $p(n)$.

Таким чином, $L_A \notin \mathsf{BQP}^A$, з чого випливає це $\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$.