Як створити квантові схеми з нуля

Я зараз займаюся самонавчанням, використовуючи насамперед книгу: Квантові обчислення, ніжне вступ Елеонори Ріффель та Вольфганга Полака.

Проходження попередніх розділів та вправ пройшло досить добре (на щастя, у попередніх главах було багато прикладів), проте я застряг у 5-й главі про квантові схеми. Хоча я розумію представлення авторів, можливо, через брак прикладів, у мене виникають проблеми із застосуванням зазначених концепцій до вправ.

Вправи, з якими я маю проблеми (і де я не можу знайти рішення чи ґрунтовне / вступне пояснення), наступні:

$\\$

Запитання:

Створіть схему для створення: $\left| W_n \right> = \frac{1}{\sqrt{n}}(\left| 0 \dots 001 \right> + \left| 0 \dots 010 \right> + \left| 0\dots 100 \right>) + \cdots + \left| 1\dots 000 \right>)$ з $\left| 0 \dots 000 \right>$

І розробити схему для створення "стану Харді": $\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right> + \left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$

$\\$

Чи може хтось вказати на мене в правильному напрямку чи направити мене на якусь літературу / навчальні посібники, щоб я краще зрозумів такі вправи?

$\\$

Можливо, пов'язане питання: Поради та рекомендації щодо побудови схем для створення довільних квантових станів

Як вказував Дафтваллі, питання про $W_n$має прекрасну колекцію відповідей тут .

До питання про стан Харді (і до багатьох інших завдань на кшталт цього) ви можете підійти до нього наступним чином.

• Почніть з $|0...0\rangle$ держава.
• Почніть з того, щоб поставити перший кубіт "у правильному стані", що є станом $(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes |0...0\rangle$, де $\alpha$ і $\beta$- відносні ваги всіх базових станів, які починаються відповідно з 0 і з 1. Для штату Харді, зокрема, два базових стани починаються з 0:$\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$ і два базових стани починаються з 1: $\frac{1}{\sqrt{12}}(\left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$; їх відносні ваги - це лише суми квадратів їх амплітуд:$\frac{9}{12} + \frac{1}{12} = \frac{10}{12}$ і $\frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12}$відповідно. Тому вам потрібно буде поставити перший кубіт у штаті$(\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle + \sqrt{\frac{2}{12}} |1\rangle)$ використовуючи $R_y$ ворота.
• Продовжуйте, поставивши другий кубіт у потрібний стан, застосувавши контрольоване $R_y$ворота з першим кубітом в якості управління. Щоб отримати перші два терміни правильно, потрібно перетворити цей термін$\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle \otimes |0\rangle$ в термін $\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$, що те саме, що перетворити нормальний стан $|0\rangle \otimes |0\rangle$ в $\frac{1}{\sqrt{10}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$ без впливу на державу $|1\rangle \otimes |0\rangle$ (зверніть увагу на перенормалізацію при переході від термінів більшого виразу до автономних станів!) Для цього можна зробити контрольований 0 $R_y$ з першим кубітом як контролем і другим кубітом як цільовим.
• Якщо у вас більше кубітів, ви продовжите це робити, використовуючи більше контрольних кубітів, щоб зробити обертання все більш конкретними.

Ви можете ознайомитись із цим документом Шенде, Балллока та Маркова, якщо хочете більш формального та менш спеціального пояснення.

Ви можете спростити "створити стан" проблем, розбивши їх на три частини:

1. Підготуйте колекцію величин, які вам знадобляться, не турбуючись про фазу чи стан, який має величину.
2. Зафіксуйте фази.
3. Зафіксуйте замовлення.

Тепер розглянемо стан Харді. Які масштаби нам потрібно зробити? Нам потрібен один примірник$3/\sqrt{12}$ і три екземпляри інстанції $1/\sqrt{12}$. Ми можемо робити їх по одному, маючи стан "залишкової амплітуди", на який ми продовжуємо розщеплюватися.

Починаємо з усієї амплітуди в одному стані із збудженням зліва, $\ell_0 |1000...00\rangle$ де $\ell_0=1$. Що ми хочемо зробити - це перемістити збудження вправо, залишаючи позаду бажані величини. Тож для початку ми хочемо залишити після себе величину$3/\sqrt{12}$. Ми можемо це зробити з контрольованим$R_y(\theta_0)$операція, де керування є лівим лівим кубітом, а ціль - кубітом праворуч. Вибираючи правильне значення для$\theta$, це призведе до стану $3/\sqrt{12}|1000...00\rangle + \ell_1 |1100...00\rangle$. Потім CNOT другий кубіт повертаємо на перший кубіт, щоб дістатися$\ell_1|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12} |0100...00\rangle$. Далі ми хочемо знятися$1/\sqrt{12}$. Виконуємо інше$R_y$керований самим лівим кубітом, за яким рухається зворотний CNOT, але на цей раз з ціллю - кубіт третій зліва. Підбираючи ідеальне$\theta_1$ ми виробимо державу $\ell_2|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12}|0100...00\rangle + 1/\sqrt{12} \ell_2 |0010...00\rangle$. І ви просто продовжуєте це робити, поки не отримаєте всі необхідні вам амплітуди, зручні для вирішення яких хвилюються окремі кубіти.

Тепер ви хочете виправити будь-які неправильні фази, породжені Y обертаннями. Для стану Харді це легко, оскільки всі фази є позитивними. Загалом ви орієнтуєтесь на кожну позицію кубіта$k$ з $R_z(\phi_k)$ операція з належним чином обраним $\phi_k$ Значення, і це дозволить отримати фази правильно.

Тепер ми хочемо правильно замовити. Найпростіший спосіб зробити це - мати кілька зайвих кубітів, які є вашими вихідними кубітами, і для кожного з кубітів, які ми підготували до цього часу, і кожного з вихідних кубітів, або додайте CNOT між двома, або ні. Наприклад, якщо стан з амплітудою$3/\sqrt{12}$ повинен бути $|11\rangle$, тоді нам потрібно CNOT від нашого лівого кубіта на обидва вихідні кубіти. Тоді нам потрібно обчислити крайній лівий кубіт за допомогою багатокерованої операції NOT. Для кожного вихідного кубіта повинен бути один елемент керування, а тип керування (qubit-must-be-on vs qubit-must-be-off) визначається залежно від того, чи ви переключили кубіт чи ні.

Застосування цих кроків створює неефективну, але правильну схему для створення стану Харді. Ви можете відкрити ланцюг у Quirk :

Якщо ви хочете створити стан, не використовуючи стільки робочої області, завдання стає складніше. Але ви все одно можете слідувати величинам, а потім фазам, а потім впорядковувати шаблон. Також є розумніші способи приготування наборів величин, які мають приємні візерунки. Наприклад, коли лише одна амплітуда відрізняється від інших, одного кола часткової амплітудної амплітуди може бути достатньо для підготовки стану.