Схоже, що під квантовими обчисленнями часто розуміють метод обчислення квантових схем, коли на регістр кубітів діє схема квантових воріт і вимірюється на виході (і, можливо, на деяких проміжних кроках). Принаймні, здається, що квантовий відпал є зовсім іншим методом обчислення з квантовими ресурсами ¹ , оскільки він не передбачає квантових воріт.

Які різні моделі квантових обчислень існують? Що їх відрізняє?

Для уточнення я не запитую, які різні кубіти фізичної реалізації мають на увазі опис різних ідей, як обчислити результати з входів ^2, використовуючи квантові ресурси.

---

<sub>1. Все, що по суті є некласичним, як заплутаність і узгодженість.
2. Процес, який перетворює входи (наприклад, кубіти) на виходи (результати обчислення).</sub>

Адіабатична модель

Ця модель квантового обчислення мотивована ідеями квантової теорії багатьох тіл і суттєво відрізняється як від схеми (тим, що це модель безперервного часу), так і від безперервних квантових прогулянок (тим, що вона має залежна еволюція).

Адіабатичні обчислення зазвичай приймають таку форму.

1. Почніть з деякого набору кубітів, усе в простому стані, наприклад . Виклик початкового глобального стану | ψ 0 ⟩ .$\lvert + \rangle$$\lvert \psi_0 \rangle$
2. Піддайте ці кубіти взаємодії гамільтонів для яких | ψ 0 ⟩ є унікальним основний стан (стан з найменшою енергією). Наприклад, дано | ψ 0 ⟩ = | + ⟩ ⊗ n , ми можемо вибрати H 0 = - ∑ k σ ( x ) k .$H_0$$\lvert \psi_0 \rangle$$\lvert \psi_0 \rangle = \lvert + \rangle^{\otimes n}$$H_0 = - \sum_{k} \sigma^{(x)}_k$
3. Виберіть остаточний гамільтонів , який має унікальний основний стан, який кодує відповідь на проблему, яка вас цікавить. Наприклад, якщо ви хочете вирішити задачу щодо задоволення обмежень, ви можете визначити гамільтонівський H 1 = ∑ c h c , де сума береться за обмеження c класичної задачі, і де кожен h c є оператором, який накладає енергетичне покарання (позитивний внесок енергії) до будь-якого стандартного базового стану, що представляє класичне завдання, яке не задовольняє обмеженню c .$H_1$$H_1 = \sum_{c} h_c$$c$$h_c$$c$
4. Визначте інтервал часу і гамільтоніан H ( t ) , що змінюється за часом, таким, що H ( 0 ) = H 0 і H ( T ) = H 1 . Поширений, але не потрібний вибір - це просто взяти лінійну інтерполяцію H ( t ) = $T \geqslant 0$$H(t)$$H(0) = H_0$$H(T) = H_1$.$H(t) = \tfrac{t}{T} H_1 + (1 - \tfrac{t}{T})H_0$
5. Час до t $t = 0$ дозвольте системі розвиватися під гамільтоніаном H ( t ) ,що постійно змінюється, і виміряйте кубіти на виході, щоб отримати результат y ∈ { 0 , 1 } n .$t = T$$H(t)$$y \in \{0,1\}^n$

В основі адіабатичної моделі лежить теорія про адіабати , про яку існує кілька версій. Версія Амбаїніса та Регева [  arXiv: quant-ph / 0411152  ] (більш суворий приклад) передбачає, що якщо між основним станом H ( t ) та його першим завжди існує "енергетичний зазор" принаймні збуджений стан для всіх 0 ⩽ t ⩽ T , а оператор-норми першого та другого похідних H досить малі (тобто H ( t $\lambda > 0$$H(t)$$0 \leqslant t \leqslant T$$H$$H(t)$не змінюється занадто швидко або різко), то ви можете зробити ймовірність отримати потрібний вихід таким же великим, як вам подобається, просто виконавши обчислення досить повільно. Крім того, ви можете зменшити ймовірність помилки будь-яким постійним фактором, просто уповільнивши все обчислення поліноміально пов'язаним фактором.

Незважаючи на те, що вона сильно відрізняється від представленої моделі унітарної схеми, було показано, що ця модель є поліноміально- часовою, еквівалентною унітарній схемі [  arXiv: quant-ph / 0405098  ]. Перевага адіабатичного алгоритму полягає в тому, що він забезпечує інший підхід до побудови квантових алгоритмів, який більше піддається проблемам оптимізації. Одним недоліком є ​​те, що незрозуміло, як захистити його від шуму або розповісти, як його продуктивність погіршується під недосконалим контролем. Інша проблема полягає в тому, що навіть без будь-яких недосконалостей у системі, визначити, наскільки повільно запустити алгоритм, щоб отримати надійну відповідь, є складною проблемою - це залежить від енергетичного розриву, і взагалі непросто сказати, яка енергія розрив для статичного гамільтонівського $H$, не кажучи вже про один .$H(t)$

Все-таки це модель як теоретичного, так і практичного інтересу, і вона відрізняється тим, що є найбільш різною від унітарної моделі по суті будь-якою, що існує.

Квантове обчислення на основі вимірювання (MBQC)

Це спосіб виконати квантові обчислення, використовуючи посередницькі вимірювання як спосіб керування обчисленнями, а не просто вилучення відповідей. Це особливий випадок "квантових схем з посередницькими вимірами", і тому він не є більш потужним. Однак, коли вона була введена, вона закінчила інтуїцію багатьох людей про роль унітарних перетворень у квантових обчисленнях. У цій моделі є такі обмеження, як:

1. Один готує чи надається дуже великий заплутаний стан - той, який можна описати (або підготувати), маючи певний набір кубітів, усіх, що були спочатку підготовлені у стані , А потім деяка послідовність керованих Z операцій C Z = d i a g ( + 1 , + 1 , + 1 $\lvert + \rangle$ , виконаних на парах кубітів відповідно до крайових співвідношень графіка (зазвичай, прямокутна сітка або шестикутна решітка).$\mathrm{CZ} = \mathrm{diag}(+1,+1,+1,-1)$
2. Виконайте послідовність вимірювань на цих кубітах - деякі, можливо, на стандартній основі, але більшість не на стандартній основі, а замість того, щоб виміряти такі спостереження, як для різні кути θ . Кожне вимірювання дає результат + 1 або - 1 (часто позначається відповідно "0" або "1"), і вибір кута дозволяється простим чином залежати від результатів попередніх вимірювань (способом, обчисленим класичним система управління).$M_{\mathrm{XY}}(\theta) = \cos(\theta) X - \sin(\theta) Y$$\theta$$+1$$-1$
3. Відповідь на обчислення може бути обчислена за класичними результатами вимірювань.$\pm 1$

Як і у моделі унітарної схеми, для цієї моделі можна розглянути варіанти. Однак основна концепція - це адаптивні одноквадротні вимірювання, виконані у великому заплутаному стані, або стан, який піддався послідовності обмінювання та, можливо, заплутування операцій, які виконуються або відразу, або на етапах.

Ця модель обчислення зазвичай вважається корисною насамперед як спосіб імітації унітарних схем. Оскільки його часто розглядають як засіб для імітації більш вподобаної та простішої моделі обчислення, вона теоретично не вважається більш цікавою для більшості людей. Однак:

• Це важливо, серед іншого, як мотивуюча концепція, що стоїть за класом IQP , що є одним із засобів демонстрації того, що квантовий комп'ютер важко імітувати, і сліпі квантові обчислення, що є одним із способів спробувати вирішити проблеми в безпечному обчисленні за допомогою квантових ресурсів .

• Немає жодних причин, за якими обчислення на основі вимірювань повинні бути по суті обмежені моделюванням унітарних квантових схем: мені здається (і жменю інших теоретиків у меншості), що MQBC міг би дати спосіб опису цікавих обчислювальних примітивів. Хоча MBQC - це лише окремий випадок схем з посередницькими вимірюваннями і тому може бути імітований унітарними схемами, які мають лише многочлен, але це не означає, що унітарні схеми обов'язково були б дуже плідним способом опису всього, що можна було б зробити в принципі. в обчисленнях на основі вимірювань (так само, як існують імперативні та функціональні мови програмування в класичних обчисленнях, які сидять один від одного дуже легко).

Залишається питання, чи запропонує MBQC будь-який спосіб продумати алгоритми побудови, які не так легко представлені з точки зору унітарних схем, - але не може бути й мови про обчислювальну перевагу чи недолік для унітарних схем, за винятком одного конкретного ресурсу та придатності для деяка архітектура.

Модель єдиної схеми

Це найкраща відома модель квантових обчислень. У цій моделі є такі обмеження, як:

1. набір кубітів, ініціалізованих до чистого стану, який ми позначимо ;$\lvert 0 \rangle$
2. послідовність унітарних перетворень, яку виконує на них, яка може залежати від класичного бітового рядка ;$x\in \{0,1\}^n$
3. одне або кілька вимірювань у стандартній основі, проведені в самому кінці обчислення, даючи класичну вихідну рядок . (Ми не потребуємо k = n : наприклад, для проблем ТАК / НІ, часто беремо k = 1 незалежно від розміру n .)$y \in \{0,1\}^k$$k = n$$k = 1$$n$

Незначні деталі можуть змінюватися (наприклад, набір одиниць, які можна виконувати; чи дозволяє підготовка в інших чистих станах, наприклад , | + ⟩ , | - ⟩ ; чи має вимір бути в стандартному базисіабо також може бути в якійсь іншій основі), але вони не мають суттєвого значення.$\lvert 1 \rangle$$\lvert +\rangle$$\lvert -\rangle$

Квантова хода дискретного часу

"Квантова хода дискретного часу" - це квантова варіація випадкової прогулянки, в якій є "ходок" (або кілька "ходунків"), який робить невеликі кроки у графіку (наприклад, ланцюжок вузлів або прямокутна сітка ). Різниця полягає в тому, що коли випадковий ходок робить крок у випадково визначеному напрямку, квантовий пішохід робить крок у напрямку, визначеному квантовим реєстром "монет", який на кожному кроці "перевертається" унітарною трансформацією, а не змінюється шляхом повторного відбору вибіркової випадкової величини. Див. [  ArXiv: quant-ph / 0012090  ] для раннього посилання.

Для простоти опишу квантову прогулянку по циклу розмірів ; хоча треба змінити деякі деталі, щоб розглянути квантові прогулянки на більш загальних графах. У цій моделі обчислення зазвичай робиться наступне.$2^n$

1. Підготуйте регістр "позиції" для кубітів у такому стані, як | | 00 ⋯ 0 ⟩ , і «монета» регістр (зі стандартними базисними станами , які ми позначимо через | + 1 ⟩ і $n$$\lvert 00\cdots 0\rangle$$\lvert +1 \rangle$ ) в деякому початковому станіяке може бути суперпозицією двох стандартних базисних станів.$\lvert -1 \rangle$
2. Виконайте узгоджене контрольовано-унітарне перетворення, яке додає 1 до значення регістру позицій (модуль ), якщо монета знаходиться у стані | + 1 ⟩ , і віднімає 1 до значення регістра позиції ( по модулю 2 п ) , якщо монета знаходиться в стані $2^n$$\lvert +1 \rangle$$2^n$ .$\lvert -1 \rangle$
3. Виконайте фіксовану унітарну трансформацію до реєстру монет. Це відіграє роль "монети", щоб визначити напрямок наступного кроку. Потім повертаємось до кроку 2.$C$

Основна відмінність цього і випадкового ходу полягає в тому, що різні можливі "траєкторії" ходувача здійснюються послідовно в суперпозиції, щоб вони могли деструктивно втручатися. Це призводить до поведінки ходунки, що більше схоже на балістичний рух, ніж на дифузію. Дійсно, рання презентація такої моделі була зроблена Фейнманом як спосіб імітувати рівняння Дірака.

Ця модель також часто описується з точки зору пошуку або розміщення «позначених» елементів у графіку, і в цьому випадку виконується ще один крок (для обчислення того, чи позначений вузол ходунка, а потім для вимірювання результату цього обчислення ) перед поверненням до кроку 2. Інші варіанти цього сорту є розумними.

Щоб виконати квантову прогулянку на більш загальному графіку, слід замінити регістр "позиції" на той, який може виражати всі вузли графіка, і "монетний" регістр на той, який може виражати ребра, що падають до вершини. Тоді "оператор монет" також повинен бути замінений на той, який дозволяє ходунку здійснювати цікавий набір різних траєкторій. (Що вважається "цікавим", залежить від вашої мотивації: фізики часто розглядають способи, коли зміна оператора монети змінює еволюцію щільності ймовірностей не для обчислювальних цілей, а як спосіб зондування базової фізики, використовуючи квантові прогулянки як розумна модель іграшки руху частинок.) Гарною основою для узагальнення квантових прогулянок до більш загальних графіків є формулювання Сегеді [  ] квантових прогулянок з дискретним часом.

Ця модель обчислень суворо говорить про окремий випадок моделі унітарних схем, але мотивована дуже специфічними фізичними інтуїціями, що призвело до деяких алгоритмічних уявлень (див., Наприклад, [  arXiv: 1302.3143  ]) для поліноміального часу прискорення з обмеженою помилкою квантові алгоритми. Ця модель також є близьким родичем квантової ходи безперервного часу як моделі обчислення.

Квантові схеми з посередницькими вимірюваннями

Це невелика різниця щодо "унітарних схем", в яких можна проводити вимірювання посередині алгоритму, а також в кінці, і коли також дозволяють майбутні операції залежати від результатів цих вимірювань. Він представляє реалістичну картину квантового процесора, який взаємодіє з класичним пристроєм управління, який, серед іншого, є інтерфейсом між квантовим процесором і користувачем людини.

Для корекції помилок практично необхідне посередницьке вимірювання, і це, в принципі, більш реалістична картина квантових обчислень, ніж модель унітарної схеми. але не рідкість теоретики певного типу сильно вважають за краще залишити вимірювання до кінця (використовуючи принцип відкладеного вимірювання для імітації будь-яких «посередницьких» вимірювань). Отже, це може бути суттєвою відмінністю, якщо говорити про квантові алгоритми - але це не призводить до теоретичного збільшення обчислювальної потужності квантового алгоритму.

Квантове відпал

Квантовий відпал - це модель квантових обчислень, яка, грубо кажучи, узагальнює адіабатичну модель обчислення. Це привернуло популярну та комерційну увагу в результаті роботи D-WAVE з цього питання.

Саме те, з чого складається квантовий відпал , не є настільки чітко визначеним, як інші моделі обчислення, по суті, тому що це цікавить квантових технологів, ніж комп'ютерних науковців. Взагалі кажучи, ми можемо сказати, що зазвичай це розглядається людьми з мотиваціями інженерів, а не мотиваціями математиків, так що, здається, у предмета є багато інтуїції та правил, але мало "формальних" результатів. Насправді, у відповідь на моє запитання про квантової відпалі , Andrew O йде так далеко, щоб сказати , що « квантовий отжиг не може бути визначений без розгляду алгоритмів і апаратних засобівПроте, "квантовий відпал", здається, досить чітко визначений, щоб описати його як спосіб підходу до вирішення проблем квантових технологій конкретними методами - і тому, незважаючиAndrew OОцінка, я думаю, що вона втілює деяку неявно визначену модель обчислення. Я спробую описати цю модель тут.

Інтуїція за моделлю

$$\begin{aligned} H_{\rm{classical}} &= \sum_{i,j} J_{ij} s_i s_j \\ H_{\rm{quantum}} &= A(t) \sum_{i,j} J_{ij} \sigma_i^z \sigma_j^z - B(t) \sum_i \sigma_i^x \end{aligned}$$ $s_i \in \{0,1\}$

• $\Delta E = E_1 - E_0$$\{s_i\}_{i=1}^n$
• Параметр 'температура', який регулює ймовірність, з якою ходити дозволяється виконувати крок у випадковій ході, яка має $\Delta E > 0$

$T > 0$, буде стабільний розподіл ("тепловий стан") призначення, який є рівномірним розподілом при "нескінченній" температурі і який все більше і більше зважується на глобальні стани мінімальної енергії, коли температура знижується. Якщо вам потрібно досить довго, щоб знизити температуру від нескінченного до майже нуля, вам, в принципі, слід гарантувати пошук глобального оптимуму до проблеми мінімізації енергії. Таким чином, імітований відпал - це підхід до вирішення проблем оптимізації.

$t = 0$

$$A(t=0) = 0, \qquad B(t=0) = 1$$ $\def\ket#1{\lvert#1\rangle}\ket{\psi_0} \propto \ket{00\cdots00} + \ket{00\cdots01} + \cdots + \ket{11\cdots11}$$A(t)$$B(t)$ $$A(t_f) = 1, \qquad B(t_f) = 0.$$ описує умови , які є достатніми для того щоб це відбулося, в силі (залишаючись в стані , яке дуже близько до) основного стану гамильтониана на все проміжний раз. Однак вважається можливим, що можна розвинути систему швидше, ніж це, і все ж досягти високої ймовірності успіху.

$A(t)$$B(t)$$0$$1$$A(t)$$B(t)$$A(t)$$B(t)$D-Wave розглянув переваги призупинення графіку відпалу та «відпалу назад» .

"Правильний" квантовий відпал (так би мовити) передбачає, що еволюція, ймовірно, не робиться в адіабатичному режимі, і допускає можливість діабатичних переходів, але лише вимагає високого шансу досягти оптимального - а ще більш прагматично, досягнення результату, який було б важко знайти за допомогою класичних прийомів. Немає офіційних результатів щодо того, як швидко ви можете змінити свій гамільтоніан, щоб досягти цього: тема, як правило, складається з експерименту з евристикою, щоб побачити, що працює на практиці.

Порівняння з класичним імітованим відпалом

Незважаючи на термінологію, не відразу зрозуміло, що існує багато того, що квантове відпал має спільне з класичним відпалом. Основні відмінності між квантовим відпалом та класичним імітованим відпалом виглядають у тому, що:

• При квантовому відпалі стан у певному розумінні в ідеалі є чистим станом, а не змішаним (відповідає розподілу ймовірностей при класичному відпалі);

• При квантовому відпалі еволюція обумовлена ​​явною зміною гамільтонівського, а не зовнішнього параметра.

Можливо, що зміна уявлення може посилити аналогію між квантовим відпалом і класичним відпалом. Наприклад, можна включити параметр температури в спіновий гамільтоніан для класичного відпалу, записавши

$$\tilde H_{\rm{classical}} = A(t) \sum_{i,j} J_{ij} s_i s_j - B(t) \sum_{i,j} \textit{const.}$$ де ми можемо вибрати щось подібне $A(t) = t\big/(t_F - t)$ і $B(t) = t_F - t$ для $t_F > 0$тривалість графіка відпалу. (Це вибрано свідомо, щоб$A(0) = 0$ і $A(t) \to +\infty$ для $t \to t_F$.) Тоді, так як алгоритм відпалу в принципі керується рівнянням Шредінгера на всі часи, ми можемо розглянути процес відпалу, який керується дифузійним процесом, який в принципі є рівномірним з тим, невеликими змінами конфігурацій, де ймовірність виконання випадково вибраної зміни конфігурації регулюється $$p(x \to y) = \max\Bigl\{ 1,\; \exp\bigl(-\gamma \Delta E_{x\to y}\bigr) \Bigr\}$$ для якоїсь постійної $\gamma$, де $E_{x \to y}$- різниця в енергії між початковою та кінцевою конфігураціями. Стабільний розподіл цієї дифузії для гамільтоніана при$t=0$ - рівномірний розподіл і стабільний розподіл для гамільтоніана як $t \to t_F$- будь-який місцевий мінімум; і як$t$ зростає, ймовірність, з якою відбувається перехід, який збільшує енергію, стає меншою, поки не стане $t \to t_F$вірогідність будь-якого збільшення енергії зникає (оскільки будь-яке можливе збільшення є дорогим).

У цьому ще існують недоліки квантового відпалу - наприклад, ми досягаємо сильного придушення збільшення енергії, оскільки $t \to t_F$по суті, роблячи потенційні свердловини нескінченно глибокими (що не дуже фізично робити), але це ілюструє щось спільне між двома моделями, головне відмінність якого полягає не стільки в еволюції гамільтонів, скільки в різниця між дифузійною та Шредінгерською динамікою. Це говорить про те, що може існувати більш чіткий спосіб порівняння двох моделей теоретично: описуючи різницю між класичним та квантовим відпалом, як аналогічну різниці між випадковими прогулянками та квантовими прогулянками . Загальна ідіома в описі квантового відпалу - говорити про «тунелювання» через енергетичні бар'єри - це, безумовно, стосується того, як люди вважають квантові прогулянки: розглянемо, наприклад, роботу Farhi et al. надпостійні квантові прискорення для оцінки ланцюгів NAND та більш безпосередньо фундаментальна робота Вонга над квантовими прогулянками по тунельній лінії через потенційні бар'єри . Деяка робота була проведена Канцлером [ arXiv: 1606.06800 ] щодо розгляду квантового відпалу з точки зору квантових прогулянок, хоча, здається, є можливість для більш офіційного та повного опису.

На суто оперативному рівні виявляється, що квантовий відпал дає перевагу в продуктивності порівняно з класичним відпалом (див., Наприклад, ці слайди щодо різниці в ефективності між квантовим та класичним відпалом , з групи Троєра в ETH, ca. 2014).

Квантове відпал як явище, на відміну від обчислювальної моделі

Оскільки квантовий відпал більше вивчається технологами, вони зосереджуються на концепції реалізації квантового відпалу як ефекту, а не на визначенні моделі з точки зору загальних принципів. (Приблизною аналогією було б вивчення моделі унітарної схеми лише в тій мірі, оскільки вона є засобом досягнення "ефектів" оцінки власного значення або посилення амплітуди.)

Отже, чи вважається щось "квантовим відпалом", принаймні деякі люди описують як апаратне залежне і навіть залежне від входу: наприклад, на компонування кубітів, рівні шуму машини. Здається, що навіть спроба наблизитися до адіабатичного режиму не дасть вам досягти квантового відпалу, тому що ідея того, з чого навіть складається квантовий відпал, включає ідею, що шум (наприклад, декогерентність) не дозволить відпалюванню реалізуватися: як обчислювальний ефект , На відміну від обчислювальної моделі , квантовий відпал, по суті, вимагає, щоб графік відпалу був коротшим, ніж час відхилення квантової системи.

Деякі люди час від часу описують шум як якийсь важливий для процесу квантового відпалу. Наприклад, Boixo та ін. [ arXiv: 1304.4595 ] написати

На відміну від адіабатичних квантових обчислень [квантовий відпал] - це метод позитивної температури, що включає відкриту квантову систему, приєднану до теплової ванни.

Можливо, може бути точно описати це як неминучу особливість систем, в яких виконуватимуться відпал (тільки тому, що шум - неминуча особливість системи, в якій ви будете робити квантову обробку інформації будь-якого типу): як Andrew Oпише " насправді ні ванни дійсно допомагають квантовому відпалу ". Можливо, що дисипативний процес може допомогти квантовому відпалу, допомагаючи системі нарощувати населення на станах з нижчою енергією (як це запропоновано роботами Amin et al. , [ ArXiv: cond-mat / 0609332 ]), але це, здається, по суті є класичний ефект, і він по суті потребував би тихому низькотемпературному середовищі, а не «наявності шуму».

Суть

Можна сказати, зокрема, тим, хто її вивчає, - що квантовий відпал - це ефект, а не модель обчислення. Потім «квантовий відпал» краще розуміти як «машину, яка реалізує ефект квантового відпалу», а не машину, яка намагається втілити модель обчислення, відому як « квантовий відпал ». Однак те ж саме можна сказати і про адіабатичні квантові обчислення, які, на мою думку, правильно - описані як модель обчислення сама по собі.

Можливо, було б справедливо описати квантове відпал як підхід до реалізації дуже загального евристичного , і що існує неявна модель обчислення, яка може бути охарактеризована як умови, за яких ми могли б очікувати, що цей евристик буде успішним. Якщо розглянути такий спосіб квантового відпалу, то це була б модель, яка включає в себе особливий випадок адіабатичного режиму (з нульовим шумом), але він, в принципі, може бути більш загальним.