Як працює нотація бюстгальтера?

29

Квантові алгоритми часто використовують позначення бюстгальтерів у своєму описі. Що означають усі ці дужки та вертикальні лінії? Наприклад: $|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

Хоча це, мабуть, питання математики, але цей тип позначень, як видається, використовується часто, коли конкретно йдеться про квантові обчислення. Я не впевнений, що коли-небудь бачив його в будь-якому іншому контексті.

Редагувати

В останній частині я маю на увазі, що можна позначати вектори та внутрішні продукти, використовуючи стандартні позначення для лінійної алгебри, а деякі інші поля, які використовують ці об'єкти та оператори, роблять це без використання bra-ket-позначень.

Це підводить мене до висновку, що є певна різниця / причина, чому бюстгальтер особливо зручний для позначення квантових алгоритмів. Це не твердження факту, я мав на увазі це як спостереження. "Я не впевнений, що я бачив, що він використовувався в іншому місці" - це не те саме твердження, що "Не використовується в будь-якому іншому контексті".

notation

— Елла Роуз
джерело

3

Пов'язане: Як

T E X

$\TeX$ бюстгальтер нотації на Meta.

— Nat

18

Як уже пояснювали інші, ket є лише вектором. Бюстгальтерє ермітовим кон'югатом вектора. Можна помножити вектор на число звичайним способом. $\left|\psi\right>$ $\left<\psi\right|$

Тепер приходить забавна частина: Ви можете записати скалярний добуток двох векторів та як . $\left|\psi\right>$ $\left|\phi\right>$ $\left<\phi\middle|\psi\right>$

Ви можете застосувати оператор до вектора (у кінцевих розмірах це лише матричне множення) . $X\left|\psi\right>$

Загалом, позначення дуже зручні та інтуїтивно зрозумілі. Для отримання додаткової інформації дивіться статтю у Вікіпедії або підручник з квантової механіки.

— jknappen - Відновлення Моніки
джерело

"бюстгальтер - це ермітський кон'югат." Що таке ермітовий кон'югат вектора? І це лише внутрішній продукт векторів та ?

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{⊤} ψ

$\phi^\top \psi$

ϕ

$\phi$

ψ

$\psi$

— девеларист

Існує два види векторів, векторів стовпців та векторів рядків. Ермітовий кон'югат векторного стовпчика - це рядковий вектор зі складними сполученими елементами, і навпаки.

— jknappen

складні сполучені елементи?

— девеларист

Елементи як у матричних елементах. Можна також використовувати термін "компоненти", який є більш звичним, коли йдеться про вектори.

— jknappen

1

Так, - це внутрішній добуток , але векторний простір складний, тому формула , зауважте, що кинджал для ермітського кон'югату, це не просто перенесення.

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{†} ψ

$\phi^\dagger\psi$

— jknappen

20

Ви можете думати про та як два ортонормальних базових стани (представлені "ket" s) квантового біта, який знаходиться у двомірному складному векторному просторі. Рядки та дужки, які ви бачите, - це в основному позначення бюстгальтер-кет ака нотація Dirac, що зазвичай використовується в квантовій механіці. $|0\rangle$ $|1\rangle$

Як приклад може представляти стан відкручення електрона, тоді як може представляти стан віджиму. Але насправді електрон може знаходитись у лінійній суперпозиції цих двох станів, тобто (зазвичай це нормалізується як ) де . $|0\rangle$ $|1\rangle$ $|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$ $\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$ $a,b\in \Bbb{C}$

— Санчаян Дутта
джерело

16

Що означають усі ці дужки та вертикальні лінії?

Позначення означає точно те саме, що або , тобто воно позначає вектор, ім'я якого - "v". Це воно. Більше немає ніякої таємниці чи магії. Символ позначає вектор, який називається "psi". $\left \lvert v \right \rangle$ $\vec{v}$ $\textbf{v}$ $\left \lvert \psi \right \rangle$

Символ називається "ket", але його так само можна було б (і на мою думку) назвати "вектором", абсолютно не втрачаючи сенсу. $\left \lvert \cdot \right \rangle$

Хоча це, мабуть, питання математики, але цей тип позначень, як видається, використовується часто, коли конкретно йдеться про квантові обчислення. Я не впевнений, що коли-небудь бачив його в будь-якому іншому контексті.

Позначення було винайдено фізиком ( Пол Дірак ) і називається «Нотація Дірака» або «Нотація бюстгальтерів» . Наскільки мені відомо, Дірак, ймовірно, винайшов це під час вивчення квантової механіки, і так історично позначення здебільшого використовувались для позначення векторів, які виявляються в квантовій механіці, тобто квантових станах. Позначення Bra-ket є стандартом у будь-якому контексті квантової механіки, а не лише у квантових обчисленнях. Наприклад, рівняння Шредінгера , яке має відношення до динаміки в квантових системах і передує квантовому обчисленню десятиліттями, пишеться за допомогою позначень bra-ket.

Крім того, позначення є досить зручним в інших контекстах лінійної алгебри і використовується поза межами квантової механіки.

— DanielSank
джерело

12

Це підводить мене до висновку, що є певна різниця / причина, чому бюстгальтер особливо зручний для позначення квантових алгоритмів.

Уже є прийнята відповідь та відповідь, що пояснює "кет", "бюстгальтер" та скалярні позначення продукту.

Спробую додати трохи більше до виділеної записи. Що робить його корисним / зручним позначенням?

Перше, для чого насправді багато використовується нотація bra-ket, - це дуже просто позначити власні вектори оператора (як правило, ермітичного), пов'язаного з власним значенням. Припустимо, у нас є власне значення рівняння , це можна позначити як , і, ймовірно, деяку додаткову мітку якщо є деяке виродження . $A(v)=\lambda v$ $A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$ $k$ $A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

Ви бачите це використовується все більше квантової механіки, імпульс власних станів , як правило, позначені як або в залежності від одиниць, або кілька станів частинок ; представлення номера занять для системи бос та фермі для багатьох систем кузова ; частинка спінової половини, що приймає власні оператора , іноді записується як і або і тощо як стенограма $\left|\vec{k}\right\rangle$ $\left|\vec{p}\right\rangle$ $\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$ $\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$ $S_z$ $\left|+\right\rangle$ $\left|-\right\rangle$ $\left|\uparrow\,\right\rangle$ $\left|\downarrow\,\right\rangle$ $\left|\pm \hbar/2\right\rangle$ ; сферичні гармоніки як власні функції функцій та зручно записувати як з і $L^2$ $L_z$ $\left|l,m\right\rangle$ $l=0,1,2,\ldots$ $m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

Отже, зручність позначення - це одне, але також є своєрідне почуття «лего» до алгебраїчних маніпуляцій із позначенням , візьмемо для прикладу віджимання половини у позначенні як , що діє у такому стані, як просто $S_x$ $S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$ $\left|\uparrow\right\rangle$

S_{x} | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} (| ↑ ⟩ ⟨ ↓ | + | ↓ ⟩ ⟨ ↑ |) | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↑ ⟩ ⟨ ↓∣↑ ⟩ + \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩ ⟨ ↑∣↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩

$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$

оскільки та . $\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$ $\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

Що робить його зручним для квантових алгоритмів?

Скажімо, у нас є відповідна дворівнева система для кубіта; це утворює двовимірний складний векторний простір скажімо, основу якого позначають як і . Якщо ми розглянемо скажімо кубітів цієї форми, стани системи живуть у більшому просторі тензорного простору добутку, . Позначення Дірака тут може бути досить зручним, основи стану позначаються рядками одиниць та нулів, а один зазвичай позначає стан, наприклад , і скажімо, у нас є трохи оператор фліп який обмінюється $V$ $\left|0\right\rangle$ $\left|1\right\rangle$ $n$ $V^{\otimes n}$ $\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$ $X_i$ $1\leftrightarrow 0$ на -му , це може діяти досить просто на вищезазначених рядках, наприклад , і беручи суму операторів або діючи на суперпозиція держав працює так само просто. $i$ $X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

Незначні обережність: стан записується як не завжди означає , наприклад , коли у вас є два однакових ферміонів з хвильові функції говорять та , з мітками, що індексують деякий набір , тоді можна записати визначальний стан схилів ферміонів у скороченні як або навіть . $\left|a,b\right\rangle$ $\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$ $\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$ $\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$

\frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{1}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{2}) - ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{2}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{1}))

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$

| ϕ_{k_{1}}, ϕ_{k_{2}} ⟩

$\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$

| k_{1}, k_{2} ⟩ \neq | k_{1} ⟩ \otimes | k_{2} ⟩

$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

— snulty
джерело

8

Кет позначення означає вектор в будь-якому векторному просторі ми працюємо в таких як простір всіх комплексних лінійних комбінацій з восьми 3-бітових рядків , , , і т.д. , як ми могли б використовувати представляти стани квантового комп'ютера. Ненаголошений означає точно те саме - ket notation корисно частково підкреслити, що, наприклад, є елементом векторного простору, що цікавить, і частково для його милості в поєднанні з бюстгальтерне позначення. $|\psi\rangle$ $000$ $001$ $010$ $\psi$ $|\psi\rangle$ $|010\rangle$

Бюстгальтер позначенняозначає подвійний вектор або ковекторное -a лінійного функціоналу , або лінійне відображення з векторів до скаляр, значення якого на векторі є скалярним твором в з , симпатично написано . Тут ми припускаємо існування внутрішнього продукту, який не є заданим у довільних векторних просторах, але в квантовій фізиці ми зазвичай працюємо в просторах Гільберта, які за визначенням мають внутрішній продукт. Подвійність вектора іноді також називають його (ермітською) транспозицією $\langle\psi|$ $|\phi\rangle$ $\psi$ $\phi$ $\langle\psi|\phi\rangle$ , оскільки в матричному поданні вектор відповідає стовпцю, а ковектор відповідає рядку, а при множенні ви отримуєте скаляр. (Ермітська частина означає, що крім транспортування матриці, ми беремо складний сукупність її записів - що насправді просто подальше переміщення матричного подання комплексу число .) $\mathrm{row} \times \mathrm{column}$ $\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ $a + b i$

Коли написано іншим способом,, Ви отримуєте зовнішній продукт з з , визначається як лінійне перетворення векторного простору в себе задається . Тобто, даючи вектор , він масштабує вектор за шкалою, заданою внутрішнім продуктом . Оскільки операції, про які йдеться, асоціативні, ми можемо видалити дужки та однозначно записувати $|\psi\rangle\langle\phi|$ $\psi$ $\phi$ $|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$ $\theta$ $\psi$ $\langle\phi|\theta\rangle$

(| ψ ⟩ ⟨ ϕ |) | θ ⟩ = | ψ ⟩ ⟨ ϕ | θ ⟩ = ⟨ ϕ | θ ⟩ | ψ ⟩ = (⟨ ϕ | θ ⟩) | ψ ⟩ .

$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$ Однак операції, що беруть участь в цілому, не є комутаційними: однак змінити порядок дає складний кон'югат , замінюючи на . Можуть бути й інші перетворення включених просторів у пробіл, як , які можна читати еквівалентно як попередній склад лінійного функціоналушляхом лінійного перетворення , застосованого до вектора

⟨ ψ | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩^{*}

$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$

a + b i

$a + b i$

a - b i

$a - b i$

⟨ ψ | A | ϕ ⟩

$\langle\psi|A|\phi\rangle$

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

A

$A$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$ , або як оцінка лінійного функціоналув вектор , отриманий шляхом перетворення з допомогою лінійного перетворення .

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

A

$A$

Позначення в основному використовують у квантовій фізиці; математики схильні просто писати де фізики можуть писати ; для конвектора; або або для внутрішнього продукту; і те, що фізики не записували б . $\psi$ $|\psi\rangle$ $\psi^*$ $\langle\psi|$ $\langle\psi,\phi\rangle$ $\psi^*\phi$ $\psi^*A\phi$ $\langle\psi|A|\phi\rangle$

— Крясла косичка
джерело