Переривчастий Галеркін: Переваги та недоліки Nodal vs Modal

Існує два загальні підходи до представлення рішень у розривному методі Галеркіна: вузловий та модальний.

1. Модальний : Рішення представлені сумами модальних коефіцієнтів, помножених на множину многочленів, наприклад, де зазвичай є ортогональними поліномами, наприклад Legendre . Однією з переваг цього є те, що ортогональні многочлени генерують матрицю діагональної маси.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$\phi_i$

2. Вузол : Клітини складаються з декількох вузлів, на яких визначено розчин. Потім реконструкція комірки базується на встановленні інтерполяційного полінома, наприклад, де - поліном Лагранжа. Однією з переваг цього є те, що ви можете розташувати свої вузли в квадратурних точках і швидко оцінити інтеграли.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(x,t) l_i(x)$$l_i$

У контексті масштабного, складного ( - DOF) 3D-змішаного структурованого / неструктурованого паралельного застосування із цілями гнучкості, ясності реалізації та ефективності, які порівняльні переваги та недоліки кожного методу?$10^6$$10^9$

Я впевнений, що там вже є хороша література, тож якщо хтось міг би вказати мені на щось, що теж було б чудово.

Нижче наведені компроміси стосуються однаково як для DG, так і для спектральних елементів (або кінцевих елементів).$p$

Зміна порядку елемента, як у -адаптивності, для модальних основ простіше, оскільки існуючі базові функції не змінюються. Це, як правило, не стосується продуктивності, але деяким людям це все одно подобається. Модальні основи також можуть фільтруватися безпосередньо для деяких методів згладжування, але це також не є вузьким місцем продуктивності. Модальні основи також можуть бути обрані для виявлення розрідженості всередині елемента для спеціальних операторів (як правило, матриці Лаплаціана та маси). Це не стосується змінних коефіцієнтів або неналежних елементів, і економія не є величезною для скромного порядку, який зазвичай використовується в 3D.$p$

Вузлові бази спрощують визначення безперервності елементів, спрощують реалізацію граничних умов, контакту тощо тощо, простіше побудувати і привести до кращого$h$-еліптичність у дискретних операторах (таким чином дозволяється використовувати менш дорогі плавні / попередні кондиціонери). Так само простіше визначити поняття, які використовуються розв'язувачами, наприклад, жорсткі режими тіла (просто використовуйте вузлові координати), а також визначити певні оператори передачі сітки, такі як виникають у багаторешітних методах. Вбудовані дискреції також доступні для попередньої підготовки, не потребуючи зміни бази. Вузольні дискретизації можуть ефективно використовувати колоковану квадратуру (як у методах спектральних елементів), і відповідна недоінтеграція може бути корисною для енергозбереження. Міжелементне з’єднання для рівнянь першого порядку рідше для вузлових підстав, хоча інакше модальні основи часто модифікуються для отримання тієї ж розрідженості.

Мені було цікаво побачити деякі відповіді на це питання, але якось ніхто не намагається відповісти ...

Що стосується літератури, мені дуже подобається книга Методи методів елементів спектру / к.с. для обчислювальної рідинної динаміки (зараз також є більш дешева версія з м'якою обкладинкою), а також книга Гестхейвена та Уорбуртона . Ці двоє розкриваються досить детально, що допоможе вам реалізувати методи. Книга Кануто, Хуссаїні, Квартероні та Занга є більш теоретичною. Цей також має другий том "Спектральні методи: еволюція до складної геометрії та додатки до динаміки рідин".

Я не працюю над методами ГД і не є експертом, щоб судити про переваги вузлових та модальних. Книга Karniadakis & Sherwin більш орієнтована на методи з безперервним модальним розширенням. У цьому типі методу ви зобов'язані перевпорядкувати режими у двох сусідніх елементах таким чином, щоб відповідні режими інтерфейсу збігалися, щоб зберегти безперервність глобального розширення. Крім того, накладення граничних умов вимагає додаткової уваги, оскільки ваші режими не пов’язані з конкретним розташуванням на кордоні.

Сподіваюся, хтось, знайомий з цим типом методів, додасть більше деталей.