Як боротися з вигнутою граничною умовою при використанні методу кінцевих різниць?

Я намагаюся дізнатися про числове вирішення PDE самостійно.

Я починав з методу кінцевих різниць (FDM), оскільки я чув, що FDM є основою численних методів числення для PDE. Поки я отримав базове розуміння FDM і зміг написати коди для простого PDE, що лежав у звичайному регіоні, з матеріалами, які я знайшов у бібліотеці та Інтернеті, але що дивно, ці матеріали, які я маю, зазвичай мало говорять про обробку неправильної, зігнутої, дивної межі, як це .

Більше того, я ніколи не бачив простий спосіб розібратися зі зігнутою межею. Наприклад, книга Числове рішення часткових диференціальних рівнянь - вступ (Мортон К., Майєрс Д) , яка містить найбільш детальну дискусію (головним чином, 3,4 з р71 та 6,4 від р199), яку я бачила до цих пір, перетворилася на екстраполяція, яка справді громіздка і розчаровує мене.

Отже, як запитується заголовок, що стосується вигнутої межі, як зазвичай люди поводяться з цим під час використання FDM? Іншими словами, яке найпопулярніше лікування для цього? Або це залежить від типу PDE?

Чи існує (принаймні відносно) елегантний і високоточний спосіб поводження з вигнутим кордоном? Або це просто неминучий біль?

Я навіть хочу запитати, чи реально люди зараз використовують FDM для вигнутої межі? Якщо ні, то який загальний метод для цього?

Будь-яка допомога буде вдячна.

pde finite-difference boundary-conditions

— xzczd
джерело

Відповіді:

Відповідаючи спочатку на ваше останнє запитання, чи справді люди реально використовують FDM для вигнутої межі, я б сказав, що відповідь - ні. У комерційному світі CFD точні схеми обмеженого обсягу 2-го порядку є галузевим стандартом фактично. Однією з переваг FV (і кінцевий елемент / переривчастий галеркін наближається до Джеда) перед FD є набагато більш природна обробка складних кордонів. FD дає основу для численних методів (включено FV), і це потрібно навчитися як перший крок, але це не доцільно для масштабних складних проблем.

Щодо розгляду складних меж у ФД, я можу придумати два канонічні способи, одним із яких є метод інтерполяції / екстраполяції, який ви згадали. Інша полягає у використанні тілесних точок сітки у фізичному просторі з відповідним відображенням на "обчислювальний" простір, де . Тоді можна переписати такі терміни, як $(x,y)$ $\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$ $\Delta \xi = \Delta \eta = constant$

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial x}

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}$

де терміни називаються метричними термінами і можуть бути обчислені на початку проблеми (або для простого домену у вас може бути точний доступне відповідне відображення), а похідні можна обчислити на логічно простому обчислювальному домені. Цей процес робить реалізацію граничних умов простий, але він вимагає створення досить гладкої, номінально ортогональної криволінійної сітки. $\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$ $u$

Я б сказав, що такий підхід із сітки, що відповідає тілу, є "найпопулярнішим лікуванням" для боротьби із вигнутими межами у ФД, із застереженням, що самі методи FD вже не дуже "популярні" для складних застосувань. Рідко можна побачити, як вони все ще з’являються в літературі про CFD, за винятком дуже простих областей.

— Аврелій
джерело

Ваше твердження "Я б сказав, що відповідь" ні "не є правильним. Visbal і Gaitonde широко працюють з FD вищого порядку в коді FDL3DI . Крім того, код НАДАЧА НАСА - це FD-код (наскільки я знаю / можу сказати).

— Брайан Запапатік

OVERFLOW спочатку був чисто FD, але зараз він, як правило, використовує розщеплення потоку FV (AUSM, HLLC та ін., В Ch 1 вашого посилання.) Це також безумовно "застарілий" код. Ця посилання FDL3DI - це робота в 90-х, коли робота з кінцевими елементами / ГД на основі високого порядку була в зародковому стані і не було жодної демонстраційної життєздатної схеми кінцевих обсягів з високою точністю. Я думаю, що вам буде важко переконати когось у 2013 році почати розробку коду, що базується на компактній стратегії обмежених різниць цієї роботи. Настільки елегантний, як він є, дуже обмежує застосування.

— Аврелій

Я не погоджуюсь із загальністю вашого твердження, що ФД не доцільно використовувати для масштабних складних проблем. В даний час люди в HPC прагнуть переробляти свої схеми з кінцевими елементами у трафаретному режимі і використовують (напів-) структуровані сітки для ефективної реалізації рішення без матриць для вирішення екстремальних масштабів. Таким чином, наскільки вони немодні, як і раніше, люди все-таки хочуть використовувати кінцеві відмінності. Не кажучи вже про те, що існують програми, в яких ви можете піти зі структурованими сітками. Для складної геометрії стандартний FD болісний, але, можливо, це саме те, що ви хотіли заявити.

— Крістіан Валуга

Для простої криволінійної геометрії FD високого порядку виграє методи спектральної різниці / обсягу, реконструкції потоку або DG методів на основі ефективності (точність / час). Для складних, генерація сітки може бути достатньо головного болю, щоб спробувати альтернативні підходи. Не слід забувати, що дуже значна гнучкість вищезазначених методів досягає значних витрат, дивіться у цій статті Лоенера . Це одна з причин, чому FDL3DI та OVERFLOW все ще бачать використання.

— Брайан Запапатік

@ChristianWaluga так, це в основному те, що я намагався заявити. Очевидно, ідеї FD знаходять свій шлях і в інших додатках (наприклад, градієнти FV обчислюються за допомогою кінцевих різниць), і в певних областях, таких як DNS на простих геометріях, ви бачите їх використаними. Але для кодів загального призначення тенденція протягом останніх 2 десятиліть була досить очевидною від чистого ПТ.

— Аврелій

Вигнуті межі охоплені в більшості книг про КЗС , наприклад, Глава 11 Весселінга або Глава 8 Ферцигера та Періка .

Хоча це не є фундаментальною теоретичною проблемою, практична складність реалізації граничних умов для методів високого порядку на вигнутих межах є вагомою причиною інтересу до більш геометрично-гнучких методів, таких як метод кінцевих елементів (включаючи перерваний Галеркін). Структуровані сітки кінцевої різниці та обмеженого обсягу все ще використовуються в деяких моделюваннях CFD, але неструктуровані методи набувають все більшої популярності, і локальні операції, які використовуються неструктурованими методами високого порядку, насправді є досить ефективними, і, таким чином, можуть не зазнати великих втрат ефективності порівняно з аналогічними FD методи. (Дійсно, геометрична гнучкість часто робить їх більш ефективними.)

— Джед Браун
джерело

Чудова відповідь Джед. Існує дуже покроковий посібник щодо того, як лікувати нерегулярні захворювання БК у проблемах із рідинами, що містяться в моїй тезі p38-46. Відверто кажучи, це головний біль A * # робити це у формах FD. Важливим розумінням є те, що вигнуті BC можуть бути наближені великою кількістю нескінченно малих прямих.

— meawoppl

Я працював над FDM з високою точністю протягом останніх n років. і я використав електростатичне рівняння -2-димного Лапласа як приклад для явної розробки алгоритмів високої точності. приблизно до 4 років тому проблеми були побудовані з точками потенційного розриву в горизонтальній або вертикальній лініях. якщо ви google моє ім'я та fdm висока точність, ви повинні знайти посилання. але це не ваше питання. Ваше питання - fdm та вигнуті межі. близько року тому я представив рішення для замовлення 8 у Гонконгу (див . Метод кінцевих відмінностей для циліндрично симетричних електростатиків, що мають криволінійні межі), який створив алгоритми порядку 8 для внутрішніх точок, близьких до межі, і для цього потрібні точки курсу з іншого боку кордону. точки з іншого боку кордону були поставлені туди, просто простягнувши сітку на іншу сторону. зробивши це, питання полягав у тому, як ви знаходите значення цих точок при розслабленні сітки. це було здійснено шляхом інтеграції від межі (відомого потенціалу) до точки за допомогою алгоритмів. це було досить успішно і досить точно ~ <1e-11, АЛЕ вимагало 103 алгоритмів, кожен окремо створений, і це було дещо крихким, нестабільну геометрію можна було знайти. Для виправлення вищезазначеного було знайдено рішення (порядок 8 і нижче), використовуючи (один!) мінімальний алгоритм, і рішення виявляє значну надійність. він був поданий, але буде доступний як передрук, надіславши мені електронною поштою. Я вважаю, що ця методика може бути розширювана до незалежних від часу pde (необхідних лінійних), крім лапладу та до розмірів, що перевищують 2. Я не вважав проблему, залежну від часу, але техніка, що є технікою серії енергетичних, повинна бути пристосованою та застосовною. Девід

— Девід
джерело

Якщо ви можете надіслати папір на сервер переддруку (наприклад, arXiv), а потім посилання на нього тут, це покращить вашу відповідь. Взагалі відповіді не повинні містити адрес електронної пошти. Я також закликаю вас зробити свою відповідь більш стислою.

— Джефф Оксберрі