Як вейвлети можна застосувати до PDE?

Я хотів би дізнатися, як вейвлет-методи можна застосувати до PDE, але, на жаль, я не знаю хорошого ресурсу, щоб дізнатися про цю тему.

Здається, що багато вступів до вейвлетів зосереджені на теорії інтерполяції, наприклад, складання сигналу за допомогою суперпозиції переважно кількох вейвлетів. Програми до PDE іноді згадуються, не заглиблюючись у цю тему. Мене цікавлять хороші підсумкові статті для людей, які бачили WFT, але не мають більше знань з цієї теми. Гарне резюме було б цікавим і, звичайно, якщо ви вважаєте, що це можна зробити.

Мені особливо цікаво скласти враження, які типи питань зазвичай з'являються. Наприклад, я знаю, що кінцеві елементи, як правило, застосовуються до PDE на обмеженій області з межею Ліпшица, які є типовими питаннями щодо вибору простору ансаца (відповідна, невідповідна, геометрія та комбінаторика), як встановлюється теорія конвергенції ( насправді теорія Галєркіна не повинна бути настільки різною для Wavelets), і я маю певну інтуїцію, які математичні речі здійснені в реалізації. Такий погляд з пташиного польоту на Wavelets для PDE був би дуже корисним для мене.

Вейвлети мають приємні властивості наближення з різною роздільною здатністю, але не особливо популярні для вирішення PDE. Найбільш часто цитованими причинами є труднощі з встановленням граничних умов, лікування нерівномірної анізотропії, оцінка нелінійних термінів та ефективність.

Вперше отримали сильні результати конвергенції для повністю адаптивних методів (див. Cohen, Dahmen, і DeVore 2001 та 2002 ). Однак цієї важливої ​​теорії швидко дотримувались Бінев, Дамен та ДеВоре (2004), які довели аналогічний результат для адаптивних методів кінцевих елементів, які є більш популярними для традиційних проблем PDE в помірних розмірах. Бази вейвлетів популярні для задач з більшими розмірами, таких як розріджені тензорні методи для стохастичних ПДЕ Шваба та Гіттелсона (2011) та цієї дискусії .

Диференціальні оператори обмежують число умов, коли виражається у вейвлет-основах і попередньо обумовлено Якобі (таким чином, методи Крилова сходяться в постійній кількості ітерацій, незалежних від роздільної здатності). Це пов'язано з ієрархічними багаторешітними методами Yserentant (1984), Bank, Dupont і Yserentant (1988) та ін. Зауважимо, що мультиплікативні багаторешітні методи мають чудові властивості конвергенції до аддитивних методів. Стандартний багаторешітний V-цикл по суті еквівалентний стандартному симетричному Гауссу-Зейделю у вейвлетній основі зі звичайним упорядкуванням. Зауважте, що це рідко є найкращим способом реалізації, особливо паралельно.

$\mathcal H$

Диференціальні оператори порівняно дорожче оцінювати у вейвлет-базах, і встановити бажані властивості збереження може бути важко. Деякі автори (наприклад, Васильєв, Паолуччі та Сен 1995) вдаються до методів колокації та використовують трафарети з кінцевою різницею для оцінки похідних та нелінійних доданків. Якщо розширення вейвлет заблоковано (як правило, добре для обчислювальної ефективності), ці методи стають дуже схожими на блокову структуру AMR.

Я пропоную Бейлькіна та Кейзера (1997) як практичне вступ до розв’язання PDE за допомогою вейвлетів. Код MADNESS заснований на цих методах. Він має підтримку занурених кордонів (див. Reuter, Hill та Harrison 2011 ), але не має ефективного способу подання прикордонних шарів у складній геометрії. Програмне забезпечення часто використовується для проблем хімії, в яких геометрія не викликає особливих проблем.

Для загального чисельного аналізу вейвлетів я пропоную книгу Коена 2003 року . У ньому представлена ​​структура аналізу, в якій рішенням континууму маніпулюється до тих пір, поки ви не хочете оцінити його до заданої точності, і в цей момент основу вейвлетів оцінюють за необхідності.