числова інтеграція у багатьох змінних

Нехай і - функція в цих змінних. $\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in [0,1]^n$ $f(\vec{x}): [0,1]^n \to \mathbb{C}$

Чи існує рекурсивна схема цього ітералізованого інтеграла?

\int_{[0, 1]^{n}} \prod d x_{i} f (\vec{x})

$\int_{[0,1]^n} \prod dx_i \;f(\vec{x})$

Якщо і я розбиваю на 100 відрізків, ми маємо скласти балів. Має бути розумніший спосіб. $n = 10$ $[0,1]$ $10^{20}$

Насправді функція, яку я хочу інтегрувати, - це міра Хаара унітарної групи.

\int_{U (n)} f (A) d A = \frac{1}{n!} \int_{[0, 2 π]^{n}} \prod_{j < k} | e^{i θ_{j}} - e^{i θ_{k}} |^{2} \cdot f (θ_{1}, \dots, θ_{n}) \frac{d θ_{1}}{2 π} \dots \frac{d θ_{n}}{2 π}

$\int_{U(n)} f(A) \ dA = \frac{1}{n!} \int_{[0,2\pi]^n} \prod_{j<k} \big|e^{i \theta_j} - e^{i \theta_k}\big|^2 \cdot f(\theta_1, \ldots, \theta_n) \ \frac{d \theta_1}{2\pi} \ \cdots \ \frac{d \theta_n}{2\pi}$

numerical-analysis fourier-analysis

— Джон Мангуал
джерело

Якщо ваш розмір не надто великий, ви також можете розглянути методи розрідженої квадратури для свого інтеграла.

— Пол

@Paul чи можна пояснити цю тему більше у відповіді? Я, мабуть, буду голосувати

— Джон Мангуал

Відповіді:

Для інтеграцій з багатьма змінними метод Монте-Карло зазвичай є гідним. Його похибка зменшується у міру де N - кількість обраних розподілених точок. Звичайно, це не добре для просторів низького розміру (1D та 2D), де існують методи високого порядку. Однак більшість цих детермінованих методів займають велику кількість балів у більш високих розмірах. Наприклад, схема 1D 1-го порядку - $O (\sqrt{N})$ у 2D і $O(\sqrt{N})$ у 3D. Сила методу Монте-Карло полягає в тому, що конвергенція помилок не залежить від просторового виміру. Незалежно від того, чи ваш простір 1D або 100D, це $O(N^{\frac{1}{4}})$ . $O (\sqrt{N})$

Однак, оскільки він є ймовірнісним, вам потрібно інтегрувати його кілька разів, використовуючи задану кількість балів, щоб знайти стандартне відхилення та оцінку вашої помилки.

— Годрик Провидця
джерело

Для інтеграції використання квазі-Монте-Карло, наприклад, з використанням послідовностей Собеля, трохи краще.

— Lutz Lehmann

Ага, так, я заявив одиниці розподілених очок (над псевдовипадковими), але явно не розрізняв їх.

— Godric Seer

\frac{1}{n} \sum f (x_{i}) \approx \int_{[0, 1]^{n}} f d x

$\frac{1}{n} \sum f(x_i) \approx \int_{[0,1]^n} f \ dx$

Так, послідовність Соболя створила б хороший розподіл балів. квазі-Монте-Карло, ймовірно, один з кращих методів для вашої проблеми.

— Годрік Провид

Рідка квадратура сітки - це альтернативний підхід до інтеграції у більш високі розміри.

Квадратура покладається на оцінку зваженої суми значень функцій у конкретних "оптимальних" точках. Традиційна квадратура використовує конструкцію сітки тензорного продукту у більш високих розмірах, а це означає, що вам доведеться оцінювати функцію за експоненціально зростаючою кількістю точок у міру збільшення розмірності.

Прихильність до розрізненої квадратури сітки полягає в тому, що ви можете отримати однакову точність порядку (в асимптотичному сенсі), використовуючи невеликий підмножина сітки тензорного продукту. Рідкі точки, які ви обираєте, виявляються такими, які точно інтегрують одночлени до потрібної загальної міри . Обчислювальна економія (порівняно з сіткою тензорних виробів) значно збільшується у міру збільшення розмірності.

Однак у цього методу є недоліки, про які слід пам’ятати.

Цей метод не працює добре, якщо ваша функція не є рівною (або інакше не наближена поліноміальними функціями).
Хоча порядок точності квадратури сітки може бути еквівалентний сітці тензорних виробів, відносна точність може бути набагато гіршою. Це тому, що постійна порядок перед порядком точності сітки може бути дуже великою.
Рідкі сітки добре працюють при порівняно невеликих розмірах. Але з'являється вимір, після якого вам, мабуть, краще буде скористатися іншим методом (наприклад, Монте Карло або його варіантами).

Для отримання додаткової інформації про рідкісних сітках, я рекомендую Burkardt в Sparse Сітку в високої розмірності . Якщо вас цікавить код для генерування розріджених сіток, можливо, ви захочете розглянути ці файли matlab .

— Пол
джерело